книги / Моделирование физико- химических процессов нефтепереработки и нефтехимии

Тогда задача интегрирования уравнения (V.9) может быть решена итеративно двумя различными разностными схемами. В явной схеме расчет у в каждой точке (; + 1)-го слоя выпол­

Проводя последовательный расчет величин у в точках (/+1)-го слоя, (/' + 2)-го слоя и т. д ., можно определить у в любой интере­ сующей исследователя точке сетки.

Решающее значение при численных расчетах имеет устойчи­ вость схемы расчета, т. е. ограниченность отклонения рассчиты­ ваемой и истинной величин при возрастании i и /. Показано [3, 4], что устойчивые схемы расчета обеспечивают сходимость решения. Из выполненных исследований 14], очевидно, что неявная схема более устойчива, и ей следует отдать предпочтение. Ряд неявных схем расчета процессов химической технологии, описываемых уравнениями в частных производных, приведен в литературе [5].

4. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ

При численном решении систем дифференциальных уравнений, описывающих химико-технологические процессы, должны быть заданы значения параметров, входящих в уравнения: констант скоростей, энергий активации, теплот реакций, коэффициентов массо- и теплопереноса и др. Оказалось, однако, что результаты расчета в некоторых случаях могут сильно меняться при неболь­ шом изменении параметра. Это явление называют параметриче­ ской чувствительностью. Ее исследование приобретает большое значение.

В качестве примера параметрической чувствительности обычно используют работу Билоуса й Амундсона [6] по расчету темпера­ турного профиля при проведении экзотермической реакции пер­ вого порядка в охлаждаемом реакторе идеального вытеснения. При температуре охлаждающей жидкости Тт (в уравнении, при­ веденном в табл. Н-З) 335 К не наблюдали значительного разо­ грева реакционной смеси — ее температура составляла ~ 3 4 5 К. Если же ТЫ1 повысить на 5°, то реакционная смесь разогревается, и температура «горячей точки» внутри реактора повышается по сравнению с предыдущим случаем на 67°. Понятно,что такое по-

* Для краткости в выражениях для F п / указана только одна функция.

151

вышение температуры сильно изменит результаты процесса. Бели не выполнить оценку параметрической чувствительности для экзотермического процесса, то неустойчивость процесса может привести к взрыву, а в случае эндотермического про­ цесса — к затуханию.

В литературе описан ряд способов исследования параметри­ ческой чувствительности для частных случав. Общий метод раз­ вит в работе [7], где параметрическая чувствительность оценена по значениям производных рассчитываемых величин у по пара­ метрам. Действительно, если рассчитываемая величина yt сильно зависит от параметра Ср то производная dyjdcj будет значительна по абсолютной величине.

Определяя производные dyjdcp можно выявить область, в которой они будут ограничены, и в дальнейшем проводить исследования и реализацию процессов именно в этой области. Величины dyjdcj легко найти, если математические описания представлены системами алгебраических уравнений. Этот случай мы не будем специально рассматривать, так как он является частным случаем общего подхода, изложенного ниже. Если же математическое описание содержит дифференциальные уравнения, то анализ параметрической чувствительности проводится по сле­ дующей методике, которую мы проиллюстрируем для проточных аппаратов.

Предположим, что составлено математическое описание реаль­ ного физико-химического процесса, учитывающее элементарные балансы массы, тепла и движения, в виде системы дифференциаль­ ных уравнений:

152

Такая форма математического описания применима для раз­ личных реакционных устройств с непрерывным потоком реагентов и продуктов. Для систем идеального вытеснения — это обычная форма уравнений.

Для систем идеального перемешивания количество превраща­ ющегося вещества обычно пропорционально размеру реактора

drt( Дщ

~ 1 Г ~ ~ =/г

Для систем с неидеальным потоком, когда концентрации Сс и скорости потока v различны для разных точек сечения реактора, величина щ представляет собой интеграл по сечению S элементар­ ных потоков вещества:

щ = J СC,i> dS

8

Результаты процесса и в этом случае характеризуются именно величинами пп т. е. количеством вещества, выходящего из реак­ тора в целом. Однако нужно учитывать, что f{ меняется по сече­ нию реактора, и в уравнения (V.10) входит средняя для всего сечения величина:

J U ‘ iS f i - s s

образуют решение системы (V.10), удовлетворяющее ^начальным условиям, то для нахождения сх, ..., с„ можно воспользоваться уравнениями:

Ф1 {Т'1 с1< •••» cqi ^Of ah ■••! flP» ^ o) —Ai

Следовательно, для определения всех параметров е17 ...» ся иэ одного опыта необходимо, чтобы число параметров q было меньше

153

Если выполняется условие (V.11), то с 1} ..., сд можно найти минимизацией (например, градиентным поиском) величины F:

При такой записи F не зависит от условий на входе в реактор, что существенно для проектирования. Суммирование ведется по всем к опытам. «Веса» ю, величин n lt ..., пр, Т и v выбираются на основе инженерных соображений *. Такой метод был исполь­ зован [8] при определении параметров описания платформинга.

Если для широкой области начальных условий минимальная величина F меньше допустимой (которая может быть определена заранее), математическое описание можно считать удовлетвори­ тельным, в противном случае — пет.

Точность математического описания можно оценить и другим методом. Если для широкой области начальных условий прове­ дено к опытов, причем для г опытов определены коэффициенты сг

...» сд минимизацией функции F и те же значения коэффициентов найдены для ш выборок, каждая из которых содержит /с/r опытов, то точность описания можно характеризовать дисперсией вели-

описание, естественно, не может быть применено для управления установкой; оно должно быть уточнено или изменено.

Поскольку неточность расчета вызывается неточностью ис­

и в уравнении (V.10) ожидаемое расхождение Дп,- можно предста­ вить в виде:

(V-12)

Л"‘ = “^ Г ЛС1Н— ^

Следовательно, для нахождения Ant нужно знать величины Дcv ..., Acq (как указано выше, они определяются при оценке точности модели), а также значения п>. = dnjdc;-, зависящие от параметра.

Основной причиной ошибки при нахождении с1} ..., cq можно считать, например, погрешности системы (V.10) и погрешности при определении cv ..., cq из условия минимума выражения типа (V.12). Значения параметров получают последовательными пробами. Если с®, ..., с® — принятые конечные значения пара-

* В частности, можно точнее подбирать то величины, которые более точно измерены.

154

метров, а с[, ...» c'q — значения их, полученные на предпослед­ нем шаге, то за оценку погрешности Acj в определении сх, ..., cq можно принять максимальное из чисел (с[—с®), ..., (cq—c°q).

При этом предполагаем, что размерности коэффициентов elt ..., cq одинаковы. Вообще же в математическое описание могут вхо­ дить коэффициенты с различными размерностями, однако, по­ скольку многие из них по теоретическим соображениям не зависят от размера реактора, всегда можно выбрать коэффициенты одина­ ковой размерности, изменение которых позволяет точно описы­ вать процесс в реакторе любого размера.

Оценку погрешности Дсц, связанную с неточностью системы (V.10), можно определить из опытных данных по наибольшей дис­

(V.10), соответствующие точным значениям параметров cv ..., cq

ствующие припятым приближенным значениям параметров с?, . . . ,

Cq и прежним начальным условиям. С точностью до малых выс­ шего порядка можно полагать:

Последние величины могут быть определены из дифференциаль­ ных уравнений, полученных частным дифференцированием системы (V.10) отдельно по с1? по с2, ..., по cq. Дифференцируя какое-либо из уравнений (V.10) по с-р найдем:

Введя обозначения (V.14) и учитывая, что d/dcj (dntfdl) = = djdl (дщ/дс}) и что переменной является только I, получим:

155

Следовательно, для определения всех производных, входящих в уравнения (V.13), получим:

участвующие в уравнениях (V .15), находятся непосредственно из теоретического выражения / и зависят каждая от п г, ..., пр, у, Т, с х, са, ..., cq. Предполагается, что параметры ех, ..., cq заменены найденными предварительно приближенными значениями с",

tqй°.

Р , vi означает независимость начальных условий от коэффициен­ тов математического описания.

на высокую параметрическую чувствительность, так же как и боль­ шое значение производной d n jd cj.•Однако без расчетов по системе (V-13) трудно сделать вывод о влиянии на щ различных пара­ метров.

156

Проиллюстрируем оценку параметрической чувствительности для следующего простого случая. Пусть математическое описание химико-технологического процесса имеет вид:

Для оценки параметрической чувствительности имеем:

nO(L)_n (£) = »'(£) Ас

где для п' (L) в соответствии с (V-15) получим:

Рис. V-2. Влияние размера проточного аппарата L на параметрическую чувствительность потока вещества, характеризуемую величиной Дп:

а •— входной поток постоянен; б — входной по^ок пропорционален раз­ меру аппарага.

к исходному, а при больших L малы сами п (сырье почти пол­ ностью израсходовано, и любое п близко к 0). Вместе с тем отно­ сительное отклонение

I I Ас

------------ = аЬ

п

линейно растет с увеличением размера реактора. Аналогичный метод использован автором и для определения

границ применимости математического описания 181.

5. УСТОЙЧИВОСТЬ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Рассмотрение проблемы устойчивости физико-химических про­ цессов начнем с частного случая — проведения простой реакции в неизотермическом реакторе идеального перемешивания. Мате­

157

матическое описание нестационарного процесса имеет вид (си. главу II):

При установлении стационарного состояния (т—>-оо) С ф 6(х), Т ф Т (т) математическое описание переходит в систему нелиней­ ных алгебраических уравнений относительно С и Т. Такая система

не пересекаются), единственное решение (одна точка пересечения), два или три решения (две или три точки пересечения). Расчетная множественность стационарных состояний означает лишь, что реальный процесс «выберет» одно из них, наиболее устойчивое, которое и следует определить при расчете. При анализе физико-хи­ мических процессов с несколькими стационарными состояниями важно также изучить возможность перехода из одного стационар­ ного состояния в другое при небольшом изменении _ состава или характеристик сырья.

Перейдем от частной иллюстрации к общим проблемам. Ясно, что при математическом моделировании физико-химического про­ цесса необходимо установить: 1) является ли стационарное состоя­ ние единственным; 2) если стационарных состояний несколько, какое из них устойчиво и должно быть реализовано при осущест­ влении процесса; 3) возвратится ли система в стационарный ре­ жим, если она выведена из него за счет возмущения, или же

158

каким может быть возмущение, после которого система вернется к прежнему стационарному реяшму.

Таким образом, инженерное понятие устойчивости несколько отличается от понятия, используемого в математике (см. стр. 163). Последнее связано с бесконечно малыми возмущениями.

В процессах химической технологии, протекающих с выделе­ нием тепла, переход в неустойчивый режим (в области А В, рис. V-3) может привести или к затуханию процесса (нижняя точка на рисунке), или, наоборот, к увеличению скорости до предельной (верхняя точка). Для эндотермических процессов имеется один стационарный режим, и он устойчив. Физически это объясняется тем, что при повышении температуры в аппарате теплоотвод усиливается, а при ее понижении — уменьшается, и система всегда стремится к исходному стационарному реяшму.

Фактором, наиболее сильно влияющим на устойчивость физи­ ко-химического процесса в единичном аппарате, является темпе­ ратура. Поэтому наибольший инженерный интерес для единичных аппаратов представляет исследование температурной устойчи­ вости для экзотермических процессов. Однако при изучении систем аппаратов или управлении ими приходится исследовать устойчи­ вость, вызванную и другими факторами.

Определение единственности стационарного состояния

Определим вначале, является ли стационарное состояние не­ прерывной произвольной функции / (я), удовлетворяющее усло­ вию / (х) = 0, единственным. При наличии по крайней мере двух решений [/ (а^) = 0 и / (х2) == 0] в области х х—х г должна быть промежуточная точка х, для которой dfldx = 0. Если удастся доказать, что в исследуемой области

это будет означать отсутствие или единственность решения. Применить это условие для системы уравнений

рейти к функции одной переменной. Поскольку уравнения вида f (х) = 0 характеризуют стационарное состояние в аппарате идеального перемешивания, рассмотрим применение для него условия (V.16).

Пусть в таком аппарате осуществляется простая реакция, для которой уравнение скорости имеет вид:

w = k 0 exp ( - E /R T ) Ст

159

Примем и? положительной. Математическое описание процесса будет (см. главу И):

S VCQ— S vC = wV

где 6 и v — массовый поток (кг/с) и его линейная (м/с) скорость; G = Svp; р и с — плотность и теплоемкость потока; С0 и Т й — концентрация и температура входного потока; С и Т — то же, для выходного потока; V и F — объем и поверхность теплопере­ дачи аппарата; Гвн и К т— температура охладителя и коэффи­ циент теплопередачи; gnp — теплота процесса (отрицательна для экзотермических процессов); для небольшого интервала темпера­

тур q„р ф q {Т).

Выразим wV из первого уравнения и подставим во второе;

Тогда

Ф {T) —GcT0— GcT—K j у - ( T - T m ) V - q npwV = О

так как w растет с температурой. Если

Gc-\rKTF --------qnpV jjrp

или

G c+KTF = —qnpVw {y fib + - 7- ь )

TO dOldT = 0, и система имеет несколько стационарных состоя­ ний.

160