калиталовложениям или количеству используемых ресурсов, а с замедлением, причем это замедление часто тем больше, чем больше объем производства. Это приводит к вогнутости так называемых производственных функций, выражающих зави­ симость объема выпускаемой продукции от израсходованных ресурсов. Наоборот, при фиксированном объеме производства дальнейшее снижение производственных затрат и стоимости единицы продукции по сравнению с достигнутым уровнем так­ же происходит с замедлением, что приводит к выпуклости целевых функций, описывающих стоимостные характеристики производства.

Ясно, что любую вогнутую целевую функцию, изменив знак, можно сделать выпуклой. Задачи оптимизации, в которых не­ обходимо найти наименьшее значение выпуклой целевой функ­ ции, рассматриваемой на выпуклом множестве, относят к за­ дачам выпуклого программирования. Частными случаями таких задач являются задачи квадратичного и линейного про­ граммирования. Задачи геометрического программирования при некоторых дополнительных условиях также являются за­ дачами выпуклого программирования.

Если множество допустимых решений оказывается конеч­ ным множеством, то мы имеем задачу дискретного про­ граммирования, а если к тому же координаты этих точек — целые числа, то — задачу целочисленного программи­ рования. Такие задачи (в том числе для линейной целевой функции) рассмотрены в [XX].

Вопросы и задачи

1 .1 . Решите задачи, рассмотренные в примерах 1.1 и 1.2, как путем построения функции Лагранжа, так и исключением из целевой функции одного из параметров оптимизации.

1 .2 . Получите (1.3) из необходимого условия экстремума функции (1 .2).

1.3.Найдите решение задач, рассмотренных в примерах 1.6

и1.7, как путем построения функции Лагранжа, так и исключе­ нием из целевой функции одного из параметров оптимизации.

1.4.Классифицируйте рассмотренные в 1 .2 -1 .4 задачи, отнеся каждую из них к тому или иному (или нескольким сразу) классу задач оптимизации и к одному или нескольким вариантам формулировок, рассмотренных в 1.5.

1.5.Найдите максимальное и минимальное значения функ­ ции T](h/H) (1.1) при h/H Е [0,1] и сравните результат с полу­ ченным в примере 1.3.

1 .6. Используя необходимые и достаточные условия экстре­ мума функции одного переменного, убедитесь, что функция /(а), рассмотренная в примере 1.4, достигает максимума в точ­ ке а* = 3.

1.7.Решите задачу оптимального проектирования бака го­ рючего, аналогичную рассмотренной в примере 1 .6, но при заданной площади S расходуемого листового материала мак­ симизируйте объем бака.

1.8.Как из прямоугольной листовой заготовки с отношени­ ем сторон 1 : 2 вырезать круговой сектор, из которого можно было бы изготовить коническую воронку наибольшего объема?

1.9.Покажите, что геометрический момент инерции ква­ дратного сечения относительно любой оси, лежащей в плоско­ сти квадрата со стороной Д\ / 2 и проходящей через его центр, постоянен и равен J = i?4/ 3 (см. пример 1.7).