книги / Теория и расчет авиационных лопаточных машин

После определения %к находится величина а, характеризующая потери смешения и волновые

G __ q ( h ) sin (afe + 6) q (kh) sin a„

Чтобы получить a < 1,0 в формуле для А,к, следует выбирать знак «минус». Очень часто в практике расчета используется не коэффици­ ент а, а коэффициент потерь (см. также с. 82—84)

Отметим, что если перейти к рассмотрению течения несжимае­ мой жидкости, то уравнения системы (5.72) дадут:

с нерасчетным (как говорят ударным) входом потока на решетку и имеет известную механическую интерпретацию. На рис. 5.13 пред­ ставлена также схема обтекания с нерасчетным входом потока. По­ тери в таком течении определяются кинетической энергией «по­ терянной» скорости Дс, которая равна разности векторов скоростей cL и ск: относя эти потери и энергии входной скорости с\, будем иметь

и * ) ’-

В дальнейшем мы используем полученные соотношения при опреде­ лении потерь в решетках турбомашин при нерасчетном их обтекании.

Рассмотренная модель течения нерасчетного входа потока (т. е. выравнивания потока) может быть использована только для решеток

пространение изложенного метода на случай круговой решетки требует дополнительного предположения о характере потока. Такое распространение для случая круговой вращающейся решетки было произведено в работе [35 I. Рассмотрим течение в круговой решетке. Схема круговой решетки приведена па рис. 5.16. По сравнению с рассмотренными выше выравниванием потоков в косом срезе и на входе в плоскую решетку в круговой решетке возникают следующие трудности.

1. В рассмотренных выше задачах сечение на выходе, где поток

и требуется определить радиус, на котором выравнивается поток (радиус выравнивания).

2. При составлении уравнения количества движения в проекции на радиус в него входят неизвестные силы давления потока на пла­

121

стины, тогда как в рассмотренных выше задачах пластины были параллельны и, составляя уравнение количества движения на направление пластин, можно было не рассматривать эти силы. Была предложена следующая схема течения. Поток, входящий па вращающуюся радиальную решетку под углом Pi < 90°, отрыва­ ется от поверхности ВХВ2. Возникшая зона отрыва простирается вплоть до радиуса г2 (он пока не определен), на котором поток вне­ запно выравнивается. Давление в зоне отрыва определяется полем

центробежных сил р р2 — р/2 {ill — и~)> где р2 —статическое давление в точке В2. Распределение скоростей по дуге 0 между пла­ стинами в силу вихревого характера течения нельзя принимать постоянным, оно было принято линейным: w^=wA + 2 n0 sin р. Принимается, что давление на стороне А гА2максимально, т. е. равно полному давлению, которое изменяется вдоль радиуса в соответст­

вии с уравнением Бернулли р* — ри2/2 -= р* — р/п/2. Ясно, что в принятой схеме течения сила взаимодействия пластин и жидкости получается максимальной, а радиус выравнивания потока (г2) — наи» больший.

Радиус выравнивания г2 определяется из уравнения моментов

Используя принятую схему течения, можно вычислить интеграле правой части (5.74), определяющий силу давления на пластину. Про­ изводя необходимые вычисления, из (5.74) окончательно получим урав­ нение дляопределения относительного радиуса выравниванияг = г2/г1!

Фoin рх cos |3i = (1 — г2) x

(5.75)

где и — u/wlcp-, ф = 2n/z; г —

число пластин.

К

122

Уравнение (5.75) позволяет определить радиус выравнивания г при Pi <90°. Заменяя pi - 180 — Р! и изменяя знак в квадратной скобке (5.88) с «—» на « Ь», получим значение радиуса выравнивания при р > 90°. Радиус выравнивания тем меньше, чем больше угол

потери выравнивания при течении через круговую вращающуюся решетку. Сущность возникающих при этом потерь поясняется рис. 5.17. Как было отмечено выше, в силу вихревого течения между пластинками (из-за действия кориолисовой силы) распределение скоростей не постоянно. Если при заданном расходе (постоянной скорости ш1ср) уменьшить число пластин, то при z0 -= 2 л ctg ах (корень уравнения (5.75) при pL~ 90°) на задней по вращению сто­ роне пластины скорости в точке A wA = 0 . При дальнейшем умень­ шении числа пластин на стороне пластины А ХА2 возникает обратный ток. Смешение зоны обратного тока с основным потоком и дает по­ тери выравнивания и величина г < 1,0 при рх =-90°.

Расчет выравнивания потока [351 производится решением урав­ нения импульсов в относительном движении (т. е. с учетом центро­

Здесь знак «—» при P < 90°, a «+» при px > 90°. Потери выравни­ вания при z = 2л ctg «х и Рх = 90°

Рис. 5.17. Схемы течения во вращающейся решетке пла­ стин при различном их числе:

а — г > 20; 6 — г0 - 2л ctg а х\

9 —г < г„

При и ■=0 формула (5.76) даст значения £вх в неподвижной кру­ говой решетке (см. рис. 5.18, штрихпунктир).

В круговой решетке силы давления пластин направлены протиЕ течения, что не способствует быстрому выравниванию потока, и ко­ эффициент £вх в круговой решетке больше, чем в прямой. Обсужден­

проекция кориолисовой силы направлена против потока и величина

лена по потоку, в результате чего поток, возмущенный решеткой, быстро выравнивается, и £вх при и Ф 0 существенно меньше, чем в неподвижной круговой и плоской решетках пластин. Полученные соотношения мы рассмотрим, обсуждая рабочий процесс в радиаль­ ных турбомашинах.

5.5. Течение вязкой жидкости через решетки

5.5.1. Плоский поток вязкой жидкости

При течении реальной жидкости через решетки при боль­ ших числах Рейнольдса Re > 105 влияние вязкости проявляется только в тонком пограничном слое, толщина которого 6 < ] ширины межлопаточного канала. Вне пограничного слоя поток можно счи­ тать невязким и применять для его измерения рассмотренные выше в этой главе методы расчета. Особо существенно влияние вязкости проявляется при отрыве пограничного слоя. Отрыв возникает на тех участках профиля, на которых градиент давления превосходит

где w — скорость на границе пограничного слоя (во внешнем невяз­ ком потоке).

Очевидно, что безотрывное обтекание труднее осуществить в компрессорных решетках, где в силу диффузорного характера

124

течения (р2 > Pi) существует общий положительный градиент дав­ ления. В турбинных решетках, как правило, возникают только местные положительные градиенты давления при общем конфузорном (р2 < Р\) течении. Рассмотрим параметры, по которым можно оце­ нить процесс течения вязкой жидкости через решетку профилей. Пусть нам известны все параметры потока (/?, р, w, Р) на входе в решетку и на выходе из нее. Тогда в соответствии с уравнением неразрывности можно написать выражение для расхода рабочего тела

Введем в рассмотрение такой идеальный изоэнтропический про­

цесс, в котором давление р2 за решеткой равно среднему действи- t

тельному давлению: pbS = -j- \ P*dy, а расход G0 и поток количе-

ства движения / 0 определяются выражениями:

(см., например, работу [47]) характерными толщинами пограничного

125

чины р2 и р2 не зависят от координаты в окружном направлении (вдоль шага). С учетом этого обстоятельства, разделив выражении (5.77) и (5.78) соответственно на G0 и У0» проинтегрировав эти соот! ношения (при этом интегралы в пределах 0—/, надо брать в двух! интервалах 0—б и б—/) и, используя выражения для характерные

Наконец, можно найти связь коэффициента изоэнтроиичности о и величины б** на выходе из решетки, используя известное соот­

определить коэффициенты потерь £, коэффициенты скорости ф, ф, или коэффициенты изоэнтропичности, необходимо знать характер­ ные толщины пограничного слоя и в первую очередь толщину по­ тери импульса б**. Эти величины определяются либо эксперимен­ тальным, либо расчетным путем. Современные методы расчета по­ граничного слоя заключаются в интегрировании уравнения импуль­ сов, которое для турбулентного пограничного слоя в несжимаемой жидкости имеет вид

пограничного слоя на профилях решеток с удовлетворительной точ­ ностью можно производить в несжимаемой жидкости, если брать только действительное-распределение скорости w0 на границе слоя, определенное для потока газа. Самый простой способ расчета тур­ булентного пограничного слоя в несжимаемой жидкости основан на использовании полуэмпирической функции, справедливой при

dwo/ds = 0 : £ = т/(р0Шо) « A (Re**)~1/m, где Re** == 8**w0/v\ т = = 4 и А = 0,01256 при известной степенной зависимости распре­

126

сов пограничного слоя интегрируется и даст для величины 6 **, отнесенной к характерной длине (например, хорде профиля), 6 ** —

^ 0,0361 Re~0’2£<y- 3 ’2 8 J w3>86dsj , где все скорости]отнесены к ско­

рости w2 за решеткой. Для оценочных расчетов и для получения обобщенных зависимостей при безотрывном обтекании (для решеток турбин), подставляя в эту формулу значения средних скоростей

wд и wVi по формуле (5.70), получим выражения для коэффициента потерь трения иа профиле:

По формуле (5.81) может быть определен коэффициент потерь трения на профиле, если заданы геометрические параметры: относи­ тельный шаг tlb и углы потока и р2. Кроме того, если задано рас­ пределение скорости по профилю решетки (обратная задача), то по формулам (5.70) и (5.81) можно оценить оптимальный (при минималь­ ных потерях) относительный шаг. Надежные данные по потерям в настоящее время получаются в результате систематических экспе­ риментальных исследований плоских решеток. В этом случае фор­ мулы (5.70) и (5.81) позволяют определить основные параметры, от которых зависят потери трения, и целенаправленно поставить соот­ ветствующий эксперимент.

Потери трения на профиле составляют только часть профильных потерь £пр, в состав которых входят также кромочные потери, оце­ ниваемые коэффициентом £кр, и волновые потери, и потери на вы­ равнивание.

Выходные кромки лопаток по конструктивным и технологическим соображениям нельзя выполнить бесконечно тонкими. Из-за трения при обтекании профиля давление за кромками конечной толщины меньше, чем давление в потоке между кромками. Многочисленные экспериментальные данные показывают, что для оценки относитель­

следующую оценку: ркром = —(0,08 ... 0 ,1 ) < 0 .

С учетом этой оценки рассмотрим задачу выравнивания потока за кромками конечной толщины. Схема течения приведена на рис. 5.19. Ограничимся случаем течения несжимаемой жидкости (как показывают расчеты влияния сжимаемости на угол выхода по­ тока р.2 и коэффициент потерь £кром невелики).

Уравнения неразрывности и количества движения в проекции на оси, параллельную и перпендикулярную фронту решетки для контура, изображенного пунктиром на рис. 5.19, принимают вид

127

7* Ккром

Из трех уравнений системы при заданном разрежении за кромками Ркром определяются три неизвестных параметра |32, Ръ и ш2 или экви­ валентные им безразмерные величины:

Отметим, что коэффициент кромочных потерь прямо зависит от отно­ сительной толщины кромки bit или (см. рис. 5.19) величины d/a. Этот факт мы используем, когда будем рассматривать обобщенные экспериментальные данные о потерях в решетках турбин. Резуль­ таты расчета углов р2 и коэффициентов £кром от Ut по приведенным формулам изображены на рис. 5.20. При увеличении относительной протяженности кромок лопаток угол |32 уменьшается по сравнению со значением угла в сечении к—к и увеличиваются кромочные по­ тери. При ркром = 0 абсолютная величина £кром очень мала, осо­ бенно при малых углах кромок рк. Наличие разрежения за кром­ ками (Ркром < 0) приводит к увеличению абсолютной величины потерь и к уменьшению влияния на них угла кромок. На величину угла р2, как видно из приведенных формул, величина разрежения за кромками не оказывает влияния. Итак, полученные данные позво­ ляют определить профильные потери в решетке.

В отличие от решеток турбин, где при общем конфузорном те­ чении возникают только местные отрывы пограничного слоя от профиля, в решетках компрессоров процесс торможения потока связан с развитым отрывом потока. Поэтому в настоящее время еще не разработаны в полном объеме аналитические методы оценки потерь в компрессорных решетках подобные тем, которые рассматри­ вались выше для решеток турбин. Трудность решения проблемы

128

Рис. 5.21. Схема эквивалентного диффузора (а) и его основные характеристики (б)

эффективного торможения потока связана с тем, что, если тормо­ жение происходит слишком быстро (в относительно коротком меж­ лопаточном канале), то происходит отрыв потока. В этом случае преобладают потери, связанные с отрывным характером обтекания. Если скорость торможения очень мала (длинный межлопаточный ка­ нал), то поток тормозится на большой длине и преобладающим становятся потери о стенки канала (потери трения).

Существо этой проблемы проще понять, если рассмотреть соот­ ветствующий компрессорной решетке диффузор (как говорят экви­ валентный диффузор). Смысл понятия эквивалентный диффузор поясняется на рис. 5.21. Рассмотрим сначала двухмерную (пло­ скую) компрессорную решетку и соответствующий ей двухмерный

Формула (5.84) показывает, что при максимальном КПД скорость увеличения действительного коэффициента повышения давления яд в зависимости от угла раскрытия диффузора равна скорости увели­ чения коэффициента повышения давления в идеальном диффузоре яд5. Поскольку величина яд в точке максимума КПД положитель­ ная и, кроме того, яд5 и (Зяд<? д\р также больше нуля, производная дЯд/дф в точке максимума КПД также положительна. Это значит, что при дальнейшем увеличении угла раскрытия ф от точки мак­ симума КПД, повышение давления в диффузоре будет продолжать расти. Этот рост прекратится тогда, когда дпД/дц> = 0. Определим условие максимума коэффициента повышения давления диффузора. Связь между яд и nRS легко получается из уравнения энергии (5.82) яд = яд5 — Др*/р. Дифференцируя это выражение по ф и прирав­ нивая производную дЯд/дф нулю, получим условие максимума коэф­ фициента повышения давления яд:

Итак, увеличивая угол ф от точки максимума КПД, величина яд будет расти до тех пор, пока дополнительные потери полного дав­ ления не скомпенсируют теоретический выигрыш в повышении давления, получаемый при увеличении отношения площадей диф­ фузора. Угол раскрытия диффузора ф определяет аэродинамическую нагрузку диффузора и, следовательно, соответствующую компрес­ сорную решетку. Покажем это. Разности площадей сечений единич­

Числитель выражения (5.85) характеризует степень торможения потока, а знаменатель определяет относительную ометаемую пло­ щадь, или относительную протяженность канала. Таким образом, величина угла ф определяет градиент скоростей и, следовательно,

130