Глава седьмая

ПОПЕРЕЧНЫ Е КОЛЕБАНИЯ КОРОТКИХ СТЕРЖ Н ЕЙ

1. Исходные уравнения

Во многих случаях геометрические размеры элементов ма­ шин таковы, что к ним трудно применить теорию изгиба тонких стержней и методику учета рассеяния энергии в колебательной системе, изложенную в шестой главе. Од­ нако случай учета рассеяния энергии при колебаниях стержней, когда нельзя пренебрегать влиянием энергии деформации за счет поперечных сил, а также влиянием инерции вращения массы элементов колеблющегося стерж­ ня, т. е. случай расчета поперечных колебаний коротких стержней с учетом энергетических потерь, практически весьма важен.

Приступая к выводу дифференциального уравнения по­ перечных колебаний короткого стержня (рис. 15, а), выби­ раем систему координат таким образом, чтобы в состоя­ нии покоя продольная ось стержня совпадала с осью ко­ ординат х. Силы, действующие на выделенный элемент стержня, показаны на рис. 15,6. Прежде всего рассмотрим силы, влияющие на поступательное движение. К их числу

относятся поперечные силы Q и — (Q+ dxj и силы инер­

ции рFtf^dx. Проектируя эти силы на вертикальную ось, получаем

_~р | dQ _/7 I\

где и — поступательное перемещение элемента.

Кроме поступательного движения рассматриваемый элемент совершает при колебаниях также вращение в пло­ скости хи под действием касательных и нормальных на­ пряжений. Чтобы составить уравнение движения, необхо­ димо определить цнерци^о вращения элемента стержня.

Угол между осью элемента и осью х зависит не только от поворота поперечного сечения стержня, но и от его сдвига.

Обозначая через 0 угол наклона касательной к упругой

линии без учета поперечных сил и через у — угол сдвига по нейтральной оси в том же поперечном сечении, получа­ ем полный угол между осью элемента и осью х в таком ви­

де: 57 = 0+ у . Между изгиба-

дх

ющим моментом, поперечной силой и указанными углами 0

н у существуют известные за­ висимости:

Таким образом, уравнение динамического равновесия моментов сил примет вид

(7.3)

( в - Т Е - ) Л - Л ж Л -

Учитывая выражения (7.2), получаем дифференциальные уравнения вращательного и поступательного движения эле­ мента:

Исключая из уравнений (7.4) и (7.5) угол 0, получаем дифференциальное уравнение колебаний короткого иде­ ально упругого стержня с учетом инерции вращения его массы и деформации сдвига:

В случае вынужденных установившихся колебаний при наличии различных сил сопротивления в системе, приводя­ щих к рассеянию энергии, дифференциальное уравнение (7.6) должно быть дополнено членом, характеризующим рассеяние энергии при колебании, а также членом, зави­ сящим от внешней возбуждающей силы, поддерживающей

колебания.

Если придерживаться гипотезы о зависимости рассея­ ния энергии в колебательной системе от суммарной энер­ гии деформации, зависящей отдельно от нормальных и от­ дельно от касательных напряжений, считая условно, что взаимовлияния различных видов рассеяния энергии отсут­ ствуют, то уравнение установившихся вынужденных по­ перечных колебаний короткого стержня с учетом затухания в общем виде можно записать следующим образом:

энергии в колебательной системе, характеризующее умень­ шение энергии деформации за счет соответственно дейст­ вия нормальных и касательных напряжений. Член &q cos соt характеризует внешнюю периодически действующую воз­ мущающую силу.

Прежде чем перейти к решению дифференциального уравнения (7.7), рассмотрим, что собой представляют

4— 4—

функционалы Ф(«) и ¥ ( « ) . Как и выше, будем исходить из нелинейной зависимости между нормальным напряже­ нием и относительным удлинением при восходящем и ни­ сходящем движении (нагрузке и разгрузке материала),

которую сокращенно можно представить в виде

где Оу — «упругое» напряжение, значение которого при на­ грузке и разгрузке не изменяется; <т3 — напряжение, вы­ званное потерями в материале, значение которого при на­ грузке и разгрузке различно.

В соответствии с выражениями (7.8) изгибающие мо­ менты в сечении стержня в любой момент времени при нагрузке и разгрузке могут быть представлены так:

М = Му + Мв;

(7.9)

М = Му М3,

где Му — момент сил упругости; Ms — момент сил ^трения, т. е. момент, вызванный потерями в колебательной систе­ ме, обусловленными нормальными напряжениями и пред­ ставляющими собой не что иное, как еФ(п).

Учитывая, что

где Sj — сумма декрементов колебаний за счет различных факторов, в том числе в общем случае и от амплитуды де­ формации. Имея в виду, что

( z -—координата точки сечения), выражение для изгиба­ ющих моментов в развернутом виде можно представить

системе, уменьшающие энергию деформации за счет ка­ сательных напряжений, отражена в уравнении (7.7) чле­

ном еЧг(и). Выражение для последнего функционала в случае восходящего и нисходящего движения получим, если примем определенную нелинейную зависимость между относительной деформацией сдвига у и касательными на­ пряжениями т. Следуя принятой гипотезе, положим

стержня на расстоянии z от главной оси инерции сечения. Формулы для определения сдвига и его амплитудного зна­ чения уа имеют вид

Развернутые выражения (7.15) для поперечной силы в любой момент времени при восходящем и нисходящем движении примут вид

F х F

(7.19) Первый член выражения (7.19) представляет собой попе­ речную силу Q , определяемую интегралом (7.16), а выраже-

3 ния, содержащие множитель -§•, являются исследуемыми

Подставим ряды (7.24) — (7.26) в дифференциальное урав­ нение (7.23). С учетом замены (7.27) и равенства (7.29) получим

+ е2«а + ...)] «4-gF8$ (<Ра cosв + e"i + *** +

-f a4eq jcos (0 — ф0) + ефх sin (0 — *Фо) +

-f- s2 | TJ>2 sin (0 — 1[)0) — -у* cos (0 — * )]} ^

Сгруппируем члены уравнения (7.30), содержащие качестве множителя малый параметр в нулевой, первой второй и т. д. степени; после этого, поскольку е^-О, при равниваем их нулю. Тогда вместо уравнения (7.30) полу чим следующую систему дифференциальных уравнений:

d£* “a®! a ^ g r + < * iy g r - — ctjAjipa cos 0 +

"Ь “a^i а cos 0 + ад©2 -{- 2а3оэ| Дхфа cos 0-J-

+ 2аз®с 4a^e C0S 0 + «3®с и2 + «4-^т ^ (?» в) +

*■+ —♦

В уравнении (7.33) F(£, 0) и /"(£, 0) — функционалы, уточня­ ющие во втором приближении величину рассеяния энергии в материале под влиянием нормальных и касательных на­ пряжений. С помощью уравнений (7.31)— (7.33) можно с различной степенью приближения исследовать влияние рассеяния энергии на поперечные колебания рассматрива­ емого короткого стержня.

Для определения постоянных интегрирования Ci, С2, С3 и С4 воспользуемся следующими условиями на концах стержня:

Приравнивая нулю определитель этой системы, получаем урав­ нение частоты

(A| — PA2) sin A2]

Запишем определитель в развернутом'виде и выполним не­ обходимые преобразования. В результате получим уравне­ ние частот

где A — постоянная, ее можно определить из условия, со­ гласно которому максимальный прогиб на конце колеблю­ щегося стержня равен амплитуде колебаний, т. е.

е=о

Рассматривая нулевое приближение, на основании фор­ мул (7.46) — (7.48) получаем

; (С, 0) = Г«Ф (£) COS ejt=1 = A [(kf 4- kl) (kl sh kl + k 2sin й2)]а= a.

0=0

Отсюда

(ft® 4- ft®) (fti sh kx 4 ft2 sin ft2)

Зная коэффициент А, на основании выражения (7.47) по­ лучаем постоянные интегрирования

о 0

По формулам (7.60) и (7.61) можно построить резо­ нансную кривую поперечных колебаний короткого стержня с учетом рассеяния энергии в системе. Напомним, что вхо­ дящая в последние формулы функция <р(£) определяется

Подставив в формулы (7.14) и (7.20) функцию проги­ ба в нулевом приближении, выраженную в относительных

Подставив выражения (7.62) и (7.63) в формулу (7.61), найдем

Л * - ± М

Если теперь подставить выражения (7.62) и (7.63) в формулы (7.60) и (7.61), а также учесть обозначения (7.22), то формулы для определения квадрата частоты й>1а в первом приближении и синуса угла сдвига фаз ф

примут такой вид:

J

Беря производные от прогиба и=1и согласно формуле (7.51) и фиксируя положение стержня при £— 0, по форму­ ле (7.67) получаем

ле и считаем, что все демпфирование, характеризуемое об­ щим декрементом колебаний 6 %, обусловлено потерей энергии в заделку, которая, как показывает эксперимент, прямо пропорциональна изгибающему моменту в местах заделки консоли. Последний может характеризоваться амплитудой относительных деформаций наружных воло­ кон у места заделки.

Таким образом, задаваясь максимальным напряжением от изгиба у места заделки стержня Отах=300 МПа, по­

лучаем значение максимальной относительной деформации у корня:

Коэффициент линейной зависимости изменения декремента как функции амплитуды г) найдем из формулы

Теперь имеются все данные для того, чтобы с помощью формул (7.64) и (7.65) построить амплитудно-частотную резонансную кривую колебаний короткого стержня с уче­ том рассеяния энергии в колебательной системе.

В качестве материала стержня примем сталь с модулем упругости при растяжении £ = 2 ,1 -105 МПа и удельным весом у = 7 ,8 3 • 104 Н/м3. Момент инерции сечения стержня /= 4 2 9 ,10-4 см4, площадь сечения £ = 1 ,0 8 см2; момент со­ противления изгибу 117=0,162 см3.

Собственная частота колебаний стержня, найденная из уравнения (7.46), со0=7,Ю 5.104 с-1. Функция прогибов со­ гласно формуле (7.50) численно выражается в виде ф(£) = = 0,558(—0,783 sh l,884£+ch i;884£) - f 0,537(sin 2,0584£ —

— cos 2,058430. Примем следующие значения декрементов колебаний:

6 г = 16,05 -$ - ( - 0 ) ^ : ej = 0 ,6 3 5 -f-

Подставляя приведенные конкретные данные в расчетные формулы (7.64) и (7.65), построим амплитудно-частотную резонансную кривую (рис. 16) для случая crmax= = 51,85 МПа; е#=0,8М П а и ат а х = Ю -3 см.