книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

определитель которой отличен от нуля, во-вторых, опре­ делитель обратной матрицы тоже отличен от нуля и, в-тре­ тьих, определители матриц А и Л-1 — взаимно обратные числа:

и- I—TV

Итак, обратную может иметь только невырожденная мат­ рица.

Всякая невырожденная матрица имеет обратную. В са­ мом деле, как это следует из равенств (5.1), обратной для матрицы А является, например, матрица

Каждая матрица может иметь только одну обратную. Действительно, пусть матрица С удовлетворяет, как и мат­

рица Л-1» условиям (6.1). Тогда

С = СЕ = С (АА~') = (СА) А~' = ЕА~1 = А~\

что и доказывает единственность обратной матрицы. Матрица, обратная произведению двух невырожденных

матриц Л и В, определяется равенством

В самом деле, умножая обе части равенства

(ЛВ)"1АВ = Е

справа на произведение обратных В-1Л-1, сразу получаем (6.4).

§7. Транспонирование матрицы

ипереход к сопряженной матрице

Матрица Л* = (а*/) с размерами' п X т называется со­ пряженной (или эрмитово сопряженной) по отношению к

матрице Л, если аы = aik, где а(к — число, комплексно

сопряженное элементу aik. В частности, для скалярной ве­ личины а, которую можно рассматривать как матрицу с размерами 1 X 1, я* — ~а.

Операции транспонирования и перехода к сопряженной матрице обладают следующими легко доказываемыми свой­ ствами:

Если матрица А совпадает со своей транспонированной (А = А'), то матрица А называется симметрической. Ес­ ли же А совпадает со своей сопряженной (А = Л*), то она называется эрмитовой. Симметрическими и эрмитовыми матрицами могут быть только квадратные матрицы.

§ 8. Блочные матрицы

Прямоугольную матрицу

горизонтальными и вертикальными линиями можно рас­ сечь на прямоугольные клетки (блоки):

( s < m , / < л ) .

Каждый из блоков (субматриц) Ац представляет собой некоторую прямоугольную матрицу (и, в частности, число)

блоки производится формально так, как если бы вместо бло­ ков стояли числовые элементы.

Для того чтобы правило умножения матриц можно бы­ ло перенести на блочные матрицы, необходимо, чтобы все горизонтальные размеры блоков в первом сомножителе сов­ падали с соответствующими вертикальными размерами бло­ ков во втором сомножителе. Иными словами, если

Л ц ^12

^21 ^22

Д>1 AS2

и, кроме того, число столбцов блока Ааь равно числу строк блока Вар (а = 1, 2, ..., s; р = 1, 2, ...» и\ б = 1, 2, ..., {), то возможно перемножение матриц А и В формально так, как если бы вместо блоков стояли числовые элементы:

6=1

Квадратная матрица, у которой все элементы, располо­ женные под (над) главной диагональю, равны нулю, назы­ вается верхней (нижней) треугольной матрицей.

Аналогичные понятия вводятся и для блочных матриц. Блочная матрица

называется верхней (нижней) квазитреугольной матрицей,

если все диагональные блоки и сама матрица А — квадрат­ ные матрицы, а все недиагональные блоки, расположенные под (над) диагональными блоками,— нулевые матрицы.

Блочная матрица А = {Ац) называется квазидиагональной, если все диагональные блоки и сама матрица А — квад­ ратные матрицы, а недиагональные блоки — нулевые мат­ рицы. Квазидиагональная матрица является частного вида квазитреугольной матрицей.

Определитель квазитреугольной матрицы А = (Ац)ррсвя­ зан с определителями диагональных блоков соотношением

могут быть не равны нулю только те, в которых индексы klt k2, ..., kr принадлежат множеству 1, 2, ..., г. Вследствие

В этих условиях число транспозиций элементов, необходи­ мых для приведения перестановки 1 , 2 , ..., п к расположе­

Рассматривая в общем случае матрицу

согласно (8.2) будем иметь det А = det Аи det Л22. Матри-

да А22 снова квазитреугольная. Проделав над ней ту же операцию, получим

det А = det Ап det Л22 det Л83.

После р — 1 таких шагов придем к соотношению (8.1). Таким же путем может быть доказано равенство (8 . 1 ) при­ менительно в верхней квазитреугольной матрице.

Преобразование величин xlt х2, ...» хп в величины у1% Уъ* •••» Ут посредством равенств (9.1) называется линейным преобразованием.

Система равенств (9.1) эквивалентна одному матричному равенству

в чем легко убедиться, выполнив умножение матриц в пра­ вой части этого равенства и приравняв друг другу соответ­ ствующие элементы матриц, расположенных слева и справа от знака равенства. Обозначая

Таким образом, линейное преобразование (9.1) одно­ значно определяет матрицу А и, обратно, всякая матрица А определяет некоторое линейное преобразование одной си­

стемы чисел в другую.

Допустим, что xlt х2, .... хп в свою очередь выража­

исключить Ху xZ}...» *п из равенств (9.1). В результате полу­

откуда и следуют соотношения (9.4), (9.5).

Эту операцию можно выполнить также, используя матПолагая

где С — матрица с размерами т X р, элементы которой, в соответствии с правилом умножения матриц, определяются формулой (9 5).

Г л а в а II

ВЕКТОРЫ, ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА, ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ

§ 1. Векторы и векторное пространство

Пусть дано некоторое множество R элементов j , y , z , ...

и числовое поле ZK.

Множество R элементов х , y , z , ... называется линейным пространством, если введены операции сложения элементов и умножения элемента из R на число из d i, т. е.

а) каждым двум элементам х у у £ R поставлен в соот­ ветствие элемент х + у 6 R, называемый суммой элементов х н у ,

б) каждому элементу х £ R и каждому числу X £ di поставлен в соответствие элементов X х € /?, называемый

произведением числа X на элемент х ,

иэти операции удовлетворяют постулатам:

1)+ у = у + х (коммутативность);

2) {х + у») + z = х + (у + г) (ассоциативность);

3) существует нулевой элемент 0 в R такой, что произве­ дение числа 0 на любой х £ R равно элементу 0:

0л: = 0;

4)1 х = х\

5)аф л;) = (сф) л:;

6)(а - f Р) х = ах + рлг;

7)а (х -f- у) — ах + &У-

Вдальнейшем элементы х,у),2, ... мы будет называть

векторами, а пространство/? — линейным векторным про• странством или просто векторным пространством.

Пр и м е р ы .

1.В геометрии, физике, механике рассматриваются на­ правленные отрезки (векторы), для которых операции сложения и умножения на число (действительное) вводятся