книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

Учитывая, что М* — (М\ М*р), имеем

сг«=|

Наконец, ё~А°* является фундаментальной матрицей под­ системы с номером о системы

у = р ля*

<Т=1

преобразует сопряженную систему (6.15) к расщепленной системе (6.17).

Назовем системы матриц Л!, Л2>— и Blt B2t... биортого-

нальными, если

BjAi = 0

Таким образом, фундаментальные матрицы решений системы однородных дифференциальных уравнений и со­ ответствующей сопряженной системы представляются по­ средством двух систем биортогональных матриц Klt «•••

...» JK.р и iMj, Л12, ..., Мр.

получаем

Интегральное уравнение (7.2) (типа Вольтерра) можно решить методом последовательных приближений. Будем иметь

и т. д.

Отсюда последовательно могут быть определены х(0>, х(1), ..., представляющие собой приближенные решения од­ нородной системы (7.1). Эта последовательность, как легко

где Т и 5 — невырожденные матрицы порядков m и п со­ ответственно.

Подставляя (7.4) в (7.3), получаем

Согласно (7,6) каждому решению X уравнения (7.3) соответствует единственное решение Z уравнения (7.5), и обратно.

Пусть

R = Т~х CS представим в виде блочных матриц:

где 2ц и Гц — матрицы типа kt X //.

При этом уравнение (7.5) расщепляется на тп матрич­

Каждое из матричных уравнений системы (7.7) представ­ ляет собой уравнение типа

где Eky Et — единичные матрицы порядков k и I соответ­ ственно, Hky Hi — матрицы сдвига порядков k и I соответ­ ственно, и и г — k X /-матрицы.

Для доказательства леммы достаточно показать, что уравнение (7.8) имеет единственное решение. Пусть

и = («</), г = (щ) ( / = 1 , 2 , . . . , k\ / = 1,2.........../).

Тогда матричное уравнение (7.8) эквивалентно следующей

Разрешая (7.9) относительно uih имеем

Рекуррентное соотношение (7.11) однозначно определя­ ет все иц. В самом деле, учитывая (7.10), находим

иР1— Xrpi

— ц

Зная иР1 , далее последовательно при г =* р — 1, р — 2, ...

...» 1 определяем значения всех элементов первого столбца матрицы и, пользуясь соотношением

И т. д.

Этот процесс подтверждает существование и единствен­

рицу А к квазидиагональному виду А = diag(Aj, Аа, ...» Ар) при условии, что у матриц Л5 и Л„ (s Ф а) нет общего соб­ ственного значения (в частности, Л может быть матрицей

а постоянные матрицы Ка» Аа представлены формальными рядами

Ко = 2 6 fc=»0

Подставим (7.12) в однородное уравнение (7.1) и исключим

-Jr— с помощью равенства (7.13). Получим

2 КаАоУо — (А -|- бВ) ^ КоУа‘

Это соотношение будет выполняться тождественно, если

Подставляя сюда ряды (7.14) и приравнивая члены, со­ держащие е в одинаковых степенях, имеем

AKW = к ™ л ?3.

При этом первое равенство (7.16) выполняется тождест­ венно. Из остальных равенств последовательно могут быть

Равенство (7.18) умножим на

о

Получим

AQif3= QoJA„ + МКаК'ь'1+ MDla~n,

где

Q?3 = MKot].

Ввиду квазидиагональной структуры матрицы Л ра­ венство (7.19) распадается на р независимых равенств

При S Ф О MsKa = 0, и потому

Так как As и Ля не имеют общих собственных значений, то матричное уравнение (7.22) по лемме 7.1 имеет единствен­ ное решение.

Неопределенной осталась лишь матрица Qocr1* Так как не осталось никаких невыполненных условий, то в качест­

ве С$ю можно взять произвольную постоянную матрицу порядка ka (ka — порядок блока Л0) и, в частности, можно

Полученные рекуррентные соотношения (7.21) и (7.23) принимают особенно простой вид, когда все собственные значения матрицы А простые. Тогда, если К составить из всех собственных векторов матрицы А, то Л будет диаго­ нальной матрицей, причем по главкой диагонали будут рас­ положены отвечающие этим собственным векторам собствен­ ные значения ..., Хп. При этом согласно (7.22)

Упрощается и выражение (7.21). Так как теперь А0, Qj* — скалярные величины, то

Л ?] = W = - MaD[k~l] .

Приближенное решение однородного уравнения (7.1) можно получить из формул (7.12) и (7.13), удерживая в формальных рядах (7.14) некоторое число первых членов:

7.4. Асимптотический метод для неоднородной системы. Решение неоднородной системы (7.1) будем строить в виде

Отсюда, приравнивая коэффициенты при уа и свободные члены, получим соотношение (7.15) и равенство

2 KaMafl (t) = h (t). d=l

Чтобы выражения (7.24) и (7.25) представляли собой

формальное решение уравнения (7.1), нужно А’а и Ла опре-

делить, как это указано выше, а Л40 выбрать так, чтобы выполнялось равенство

2 КсМа = Я. а—1

Матрицу М также будем строить в форме ряда по степе­ ням е:

М = М + 2 е*Л114. fe=i

Подставляя ряды, представляющие /С и JW, в (7.27) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получим

/Ш = £ , к м " 1 + к тм = о,

к м ™ +/с[|)ж[11+ /с[2)м = о,

Умножая все эти равенства слева на К~1, получим соот­ ношения, определяющие последовательно М , Л1[11, /ИС2),

М = К Г \

М[1>=■ — ЛТ~'7СГ1]Л1 = — М К т М ,

М ™ = — М ( К ШМ ™ + К т М)

и т. д.

Таким образом, и неоднородную систему (7.1) можно привести к расщепленному виду (7.25).

В частном случае, когда все собственные значения мат­ рицы А различны, систему (7.25) можно получить в виде независимых уравнений первого порядка.

Г л а в а VIII

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Решение и исследование нестационарной системы диф­

из-за переменности ее коэффициентов (элементов квадрат­ ных матриц А и В) обычно сопровождаются значительнымй трудностями. Расщепление, т. е. преобразование к систе­ ме, состоящей из некоторого числа не связанных друг с другом подсистем уравнений меньшего порядка, представ­ ляется очень эффективным средством упрощения дифферен­ циальной системы (0.1).

В настоящей и следующей главах приводятся два раз­ личных метода асимптотического расщепления и интегри­ рования линейной дифференциальной системы, содержа­ щей параметр е и совпадающей, в частности, при е = 1 с системой (0.1) *). Применимость этих методов для при­ ближенного расщепления и интегрирования дифференциаль­ ных систем вида (0.1) можно ограничить классом довольно распространенных в приложениях систем с медленно меняю­ щимися коэффициентами.

*) Асимптотическому расщеплению линейных дифференциальных систем, содержащих параметр, на независимые подсистемы уравнений пер­ вого порядка и асимптотическому интегрированию таких систем посвя­ щено большое количество работ. Некоторые из них указаны, в нашей краткой библиографии. Значительно более подробный перечень работ в этом направлении содержится в библиографии, приведенной в работах [7. 8, 49, 52].