книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
..pdft
g l* (< . 0 = |
a © |
k? |
|
(t, S exp |
j‘ |
|
|
|
|
d l - |
||||
|
|
_ |
k f (t, ?) exp j |
(x. + a |
^ |
+ a |
^ - ^ |
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- > 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k f |
(t, i) = |
1 + |
а2 (i) |
|
|
+ |
a2 (t) |
|
|
_ |
|
|||
|
- a‘(I) [(J, © |
- |
к |
© ) |
|
-----3 ( - ^ |
- ) 2] + |
|||||||
|
|
|
+ |
а |
2 0 |
|
Л<Д0 |
а(Ю |
ж |
+ |
|
|||
|
|
|
|
( |
- ^ - а |
|
|
|||||||
+ a1 (0 |
ЛоЮ |
и «МО |
|
л , и \ |
+ |
<|*х. |
|
|||||||
|
|
Л |
■(' |
|
|
Л |
|
|
dt |
) |
^~ |
|
dt2-(М О -М О )] |
|
|
|
|
|
|
(a, s = l , 2 ; |
s ^ o ) . |
|
|
||||||
|
n |
|
£f"(7 . |
|
1 |
do |
|
I |
= |
|
|
|
||
|
П р и м е р . |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
В данном случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
я ,,= |
I 5 — 1 |
|
|
Яд -- |
|
/ 5 + 1 |
|
a = |
|||||
|
|
2/ |
|
|
|
|
|
|
|
2/ |
|
|
|
У5 * |
Учитывая это, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
/ s - i |
з - Уб |
- ( |
Уб+1 |
з+ УЪ |
|
||||||
|
(1, м |
- V << 2 £ 2 |
|
2 I 2 ), |
||||||||||
|
|
I о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J1) |
|
|
|
|
|
|
|
<“е1'+р) |
(Р = у ъ = * о,895), |
|||||
гг да 1) = -p i Л 1_э - |
|
|||||||||||||
«р |
(0 1) =■ - p i Л |
' -3 - |
|
r V |
+|i) |
if» = |
y p g - * 0 ,9 8 5 ). |
|||||||
Для сравнения приведем точное выражение импульсной переходной функции, известное для данного примера:
г ,д а 9 = |
<P= 1 ). |
|
Как видим, отличие приближенного выражения |
(t, g) |
|
от точного gi (t, |) |
незначительно. |
|
Расчеты по формуле (7.20) приводят практически к тем же результатам, некоторое различие имеется только в значениях коэффициентов перед скобкой. Так, например, согласно (7.20)
25 |
ivPfc1—Р |
/HM+Pi |
|
W |
b [ n |
1 1 |
т У |
§ 8. Реакция системы на показательное возмущение. Передаточная функция
Реакция системы (по всем выходам) на сигнал в виде по казательной функции exp (М), действующий (на промежут ке (—оо, t)) на систему по /-му входу, согласно (3.4) пред ставляется в виде
t
* / ( М = |
I g ,{ t - t',t') ^ d t' |
|
|
— оо |
|
При замене переменных t —V= s имеем |
|
|
хI(К t) = |
оо |
|
$ gf(s, t —s)eь «~s>ds. |
|
|
|
о |
|
Реакция системы по выходу i на входной сигнал |
в виде |
|
показательной функции, поданный на /-й вход, |
|
|
xu(X,t) = wt!(X,t)eut |
(8.1) |
|
где |
00 |
|
|
|
|
Щ1 (К 0 = j gij (s, t — s) e-^ds. |
(8.2) |
|
|
6 |
|
Функция W{j {X, f), определенная соотношением (8.2), называется передаточной функцией системы (соответствую щей /-му входу и t-му выходу)*). Столбцовая матрица
оо
Wf (X, t) = j* gf (S, t — s) e~Ksds
о
*) Передаточная функция wij{X, t) определена только в области схо димости интеграла в соотношении (8.2); во многих практических случа ях (но не всегда) возможно путем аналитического продолжения область определения передаточной функции распространить на всю ^-плоскость, исключая некоторые особые точки.
представляет передаточные функции системы, отвечающие /-му входу и всем ее выходам. Полный набор передаточных функций системы, имеющей I входов и п выходов, дается п X /-матрицей
|
W(Я, t) = |
(НУ]. (Я, t) |
оуа (Я, t) |
wt (Я, /)), |
|
которая |
связана с |
матрицей |
импульсныхпередаточных |
||
функций |
системы |
следующими |
эквивалентнымисоотноше |
||
ниями: |
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W(X,t)= [о (s, t — s) e-^ds, |
(8.3а) |
|||
|
|
О |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
W (X, t) = j G(t —t', f) e~>-«-‘‘Uf. |
(8.36) |
|||
|
|
—oo |
|
|
|
Согласно (8.1) /-й столбец матрицы W (Я, t) |
|
||||
|
|
Wj(Kt) = |
|
|
(8.4) |
где Xj (Я, t) — решение дифференциального уравнения |
|||||
|
A { t) - ^ ^ B ( t) x , + h,(t)^, |
(8 .5 ) |
|||
отвечающее нулевому состоянию системы (т. е. имеется в виду то решение уравнения (8.5), которое отвечает тривиаль ному (нулевому) решению соответствующего однородного уравнения).
Столбцовая матрица Wj (Я, /) является решением диффе ренциального уравнения
VJ(0 - ХЕп) W + А (/) h, (t), |
(8 .6) |
отвечающим нулевому состоянию системы, в чем можно убе диться путем подстановки в это уравнение выражения (8.4). Значит, матрица передаточных функций W (Я, /) является решением дифференциального уравнения
- ^ = (У (/) - ХЕ„\ W + А~‘(<) Я (t),
соответствующим нулевому состоянию системы.
§ 10 . Построение передаточной функции
10.1. Передаточная функция стационарной системы.
Учитывая (2.1) и |
(8.36), |
в случае |
стационарной системы |
(А = const, Н = |
const) |
имеем |
|
t |
|
t |
|
W(X) = J |
|
= \ |
eua- i)e-u '- ,">dt'A-'H = |
— GO |
|
■— CO |
|
|
|
OQ |
|
= ]' eVse~uds A~'H = L(eUs) A~'H,
0
или, поскольку
L (eUi) = Q,E— U)-'
(C M. § 4 гл. VII), TO
W (X) = {%E-U)-yA~xH. |
(10.1) |
Пусть J = diag (У2 (X^), Jz (Я2), ..., Jp (Xp)) — жорданова форма матрицы U, a К = (Kv Kt, •••, KP) — соответствую щая преобразующая матрица, так что
|
/ |
|
|
(М х |
|
и = K J M |
\м = / г 1 = |
\М Р |
|
||
|
\ |
|
|
|
|
Тогда (10 .1 ) можно записать в виде |
|
||||
W(Л) = 2 |
Ка |
|
|
|
|
а=-1 |
|
|
|
|
|
причем |
|
|
|
|
ka—1 |
Ekn |
|
Hk |
|
|
|
* |
|
|
Hk |
||
кО |
*п |
+ |
+ |
Ъ |
|
(XEka — Ja)_1 = %Л |
+ |
|
|
||
( X - X j
10 ,2 . Передаточная функция нестационарной системы. Рассмотрим некоторые из возможных путей построения пе
редаточной функции |
нестационарной системы. |
|
|
10 .2 .1 . И с п о л ь з о в а н и е |
в ы р а ж е н и я и м |
||
п у л ь с н о й п е р е х о д н о й |
ф у н к ц и и . |
Учиты |
|
вая (2.3), из (8.3) имеем |
|
|
|
t |
|
|
|
U?(X,t) = ] |
— V) A~l(i')H(О е K{t |
ndt' |
|
Учитывая это, получаем |
|
W (X, <) = я (X, t) + Ru (*,,0 + 4 - Яи (Я, о + |
(10.2) |
Матрицу R (A,, t) можно трактовать как матрицу переда точных функций системы в условиях, когда ее параметры в момент времени i заморожены (т. е. имеют постоянные значения, соответствующие моменту времени t).
Если импульсная переходная функция в качестве вто
рого аргумента имеет не t, а медленное время т = |
et, то |
||
тогда |
|
|
|
|
|
00 |
|
|
W(А, т) = |
| О(s, т — es) e~ksds |
|
|
|
о |
|
и разложение (10.2) принимает вид |
|
||
W(А, х) = |
R (А, х) + |
&RU (А, х) -f- -gp- «*#22 (k,т) + |
|
10.2.3. |
П е р е д а т о ч н а я ф у н к ц и я |
к а к р е |
|
ш е н и е д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о у р а в н е н и я . Передаточная функция может быть построена и как решение дифференциального уравнения (8.6). Для решения уравне ния (8.6) или по крайней мере упрощения этой задачи мож но воспользоваться методом расщепления дифференциаль ной системы на подсистемы меньшего порядка. С этой целью наряду с (8.6) введем в рассмотрение уравнение
= [UС*) — №п] w + А~1(х) hj (t) |
(т = ei), (10.3) |
которое при е = 1 совпадаете (8.6). |
U (х) уравнения |
Пусть собственные значения матрицы |
(10.3) разбиваются на непересекающиеся группы A(i0), А(20>, ...
=2. .... р; £ *< ,= я), так что она может быть
представлена в форме
и = S К„А„Мо.
0—1
В этих условиях собственные значения матрицы U — АЕ
также |
разбиваются на |
соответствующие |
группы |
вида |
Х[а>- |
X . W — X.......*,£> - |
X (а = 1 ,2 ........ р; |
= |
в), а |
и соответственно w f (Я, t) =
= iltf'W . f Y V (К 0 Vf> V , t')M V [t')A - '(t')h ,(t')d t'.
-CO
В более компактной форме w f (Я, t) =
1 |
i |
|
= K U) ( t ) |
j Y : n |
( % , Г ) М ( Г ) ( П А - ' ( O h / V ' ) # ' . |
— CO
Здесь
|
|
'MP' |
Klr) = {K\r |
K t |
Kf), Mf,) = |
|
|
Ж'< |
Y,r) = |
diag (Y\'\ V f .........Yf). |
|
В частном случае, когда собственные значения матрицы U простые, разбивая эти собственные значения на п «групп» (по одному собственному значению в каждой «группе»), будем иметь
|
|
|
2 |
*!,' |
(О Л |
|
|
|
|
а=1 |
|
|
|
|
= |
< * ? ( 0 - |
ч |
й ? |
- |
/И ? ’ (0 л - 1 (/) А , ( 0 |
|
|
(ст = |
1 , 2 ......... п). |
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
ч>У (К I) = |
|
|
|
|
|
|
“ |
; |
л' |
|
|
|
|
= 2 К » 1 (0 |
j |
« Р J ( t f |
(Г ) - |
А) Л ’ М ? 1(/') <4_ l (<') A, (<') d i \ |
||
a=\ |
—oo |
r |
|
|
|
|
или, более компактно,
(Я, 0 =
//
= K{r)(t) j exp j (A(r)(i" )~ l £ n)d tM m
где
A ^ d i a g ^ i 'U ^ , . . . , Я<г)).