РГР_1_2011

- 11 -

поперечных сечениях стержня. Эпюры принято штриховать перпендикуляр- но продольной оси стержня и указывать на них знак и характерные значе- ния ВСФ.

Порядок действий (алгоритм) при построении эпюр ВСФ включает в себя следующие этапы.

1. Определяем опорные реакции.

В консольных стержнях этот пункт можно не выполнять, если рас- сматривать равновесие части стержня, не содержащей опору. (Для балок, имеющих две шарнирные опоры, удобно записывать уравнения равновесия моментов относительно каждой из опор. Вычисленные таким образом реак- ции следует проверить, записав неиспользованное до этого явно уравнение равновесия для проекций всех сил на вертикальную ось.)

2.Разбиваем стержень на участки. Границами участков стержня следу-

ет принимать: а) начало и конец стержня; б) точки приложения сосредото- ченных силовых факторов (сил, моментов); в) начало и конец области дей- ствия распределенной нагрузки, изменяющейся по одному закону.

3.Отдельно для произвольного поперечного сечения на каждом из уча- стков стержня применяем метод сечений и получаем из уравнений равнове- сия для рассматриваемого участка аналитические выражения для ВСФ.

4.Если функции ВСФ на участках достаточно сложные, то для по- строения эпюр следует вычислить их значения в характерных точках и со- ставить таблицы значений.

5.По таблицам значений ВСФ, учитывая характер их аналитических функций, строим эпюры ВСФ.

6.Правильность построения эпюр по специальным правилам, которые основаны на следующих соображениях.

При изгибе балки эпюры (функции) Q(x) и M(x) связаны между собой дифференциальными уравнениями равновесия [1], предельно простыми по форме. В практических задачах можно считать, что они представляют собой просто дифференциальные зависимости между изгибающим моментом M(x), перерезывающей силой Q(x) и интенсивностью распределенной поперечной нагрузки q(x):

- 12 -

Из геометрического смысла производной следует ряд правил проверки правильности построения эпюр Q(x) и M(x). Действительно, отношение бес- конечно малого приращения функции M(x) к бесконечно малому прираще- нию ее аргумента, как видно из рис. 1.7, дает тангенс угла α. Это угол накло- на касательной к рассматриваемой функции в данной точке. В результате по-

где угол β это угол наклона эпюры перерезывающей силы Q(x) в данной точ-

ке к оси x. Таким образом, изображение распределенной нагрузки q(x) пред- ставляет собой график наклонов эпюры перерезывающих сил Q(x).

Для проверки правильности построения эпюр можно использовать и формулу (5). Кривизна плоской кривой y(x) выражается формулой, известной

из аналитической геометрии

- 13 -

Знаменатель этой формулы всегда положительная величина, поэтому знак кривизны определяется ее числителем. Но согласно формуле (5), для эпюры M(x) второй производной оказывается распределенная нагрузка. Положи- тельная кривизна кривой выпуклостью вниз получается, если распределен- ная нагрузка направлена вверх (в сторону оси y). Кривизна получается отри- цательной, выпуклостью вверх, если распределенная нагрузка направлена вниз (противоположно оси y). Запоминать, однако, эти формулировки со знаками не обязательно. Куда проще запомнить вытекающее из них правило,

называемое правилом зонтика или дождя: выпуклость эпюры моментов все- гда направлена навстречу распределенной нагрузке.

Другая группа правил проверки основана на самих уравнениях равно- весия отсеченной части (т.е. уравнениях равновесия в интегральной форме), а также на правиле знаков для ВСФ.

Далее приведена сводка правил проверки эпюр (в скобках указаны ва- рианты формулировки для других эпюр или другого случая):

1)на участке, где Q < 0 (q < 0, т.е. направлена вниз), эпюра M убывает (Q убывает);

2)на участке, где Q > 0 (q > 0, т.е. направлена вверх), эпюра M воз- растает (Q возрастает);

3)в точке, в которой Q (q) пересекает ось, эпюра M (Q) имеет экс-

тремум;

4)в точке, в которой эпюра Q (q) меняет знак с плюса на минус, на эпюре M (Q) расположен максимум;

5)в точке, в которой эпюра Q (q) меняет знак с минуса на плюс, на эпюре M (Q) расположен минимум;

6)на участке, где Q (q) убывает (возрастает), эпюра M (Q) выпукла вверх (вниз);

7)на участке, где Q = 0 (q = 0), эпюра M (Q) параллельна оси X, т.е. по- стоянна;

8)на участке, где q = 0, эпюра M изменяется по прямой;

9)на участке, где q постоянна, эпюра Q изменяется по прямой, а эпю- ра M – по квадратичной параболе. Вообще, если q представлена степенной функцией, то последующая эпюра имеет степень на единицу больше преды- дущей;

10)выпуклость эпюры моментов направлена навстречу распределен- ной нагрузке;

11)в точке, в которой q пересекает ось, эпюра M имеет точку перегиба, т.к. изменяется знак кривизны этой кривой;

-14 -

12)в сечении, в котором приложена сосредоточенная сила, эпюра Q имеет скачок на величину этой силы;

13)в сечении, в котором приложена сосредоточенная сила эпюра M имеет излом в сторону силы;

14)в сечении, в котором приложен сосредоточенный момент, эпюра M имеет скачок на величину этого момента в сторону сжатых волокон;

15)если в сечении не приложен сосредоточенный силовой фактор (си- ла или момент), соответствующая эпюра скачка иметь не может;

16)для принятого правила знаков эпюра моментов в результате по- строения должна оказаться на сжатых волокнах изогнутой оси балки.

Последний пункт требует пояснения. При изгибе балки моментами, на- правленными согласно рис. 1.4, верхние его продольные волокна ока- зываются сжатыми, а нижние – растянутыми. В случае, приведенном на ри- сунке, эпюра моментов должна оказаться сверху. При обратном направлении моментов сжатое волокно окажется снизу и эпюра моментов будет отрица- тельной и изображается ниже оси балки. Не всегда легко указать, где распо- ложено сжатое волокно, но, когда это возможно, следует воспользоваться данным свойством эпюры для ее проверки.

Появление скачков очевидно. Когда на рис. 1.1 координата x становит- ся больше координаты a точки приложения силы и момента, к уравнениям на новом участке добавляются слагаемые от этих факторов, которых не было на предыдущем участке, что и приводит к разрыву в соответствующем графике. Выражение для изгибающего момента на новом участке будет также содер- жать слагаемое от силы, представляющее собой произведение силы на плечо. Такое слагаемое представляет собой прямую, которая добавляется к тому, что было на предыдущем участке. Это и вызывает излом эпюры в сторону силы (правило 14).

Правила с 10 по 16 следует помнить, они не сложные. Первые же 9 лучше получать непосредственно в ходе проверки эпюр по дифференциаль- ным зависимостям, вспоминая, что предыдущая эпюра представляет собой наклоны последующей.

Если Вам понятны основные идеи раздела, то детально изучить его лучше рассматривая построение эпюр для конкретных примеров, выполняя последовательно пункты порядка построения эпюр и возвращаясь, при необ- ходимости, к другим положениям этого раздела.

-15 -

2.ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ДЛЯ КОНСОЛЬНЫХ БАЛОК

- 16 -

весии, поэтому для внешних и внутренних сил, действующих на изображен- ную на рис. 2.2 часть, будут справедливы следующие уравнения равновесия:

Еще раз отметим, что первое уравнение представляет собой сумму проекций всех сил, приложенных к части стержня, изображенной на рис. 2.2, на ось y; второе, моментное уравнение представляет собой сумму моментов всех сил, приложенных к этой части, относительно текущей точки оси стержня в про- извольном сечении X1. Напомним, что момент силы относительно точки ра-

вен произведению силы на плечо. Плечо силы относительно точки это дли- на перпендикуляра, опущенного из точки (относительно которой вычисля- ется момент) на направление действия силы. Момент от неизвестной внут-

ренней силы Q(x) относительно точки X1оказывается нулевым (у этой силы нет плеча относительно точки X1), за счет чего уравнения разделяются и в каждое входит по одной неизвестной величине. При записи уравнений рав- новесия используется необязательное в данном случае правило знаков теоре- тической механики, согласно которому направление в сторону оси считается положительным, а направление обратное оси – отрицательным, направление против часовой стрелки положительным, а направление по часовой стрелке – отрицательным. В результате положительная перерезывающая сила Q(x) входит в уравнение равновесия со знаком минус. Правило знаков сопротив-

ления материалов использовано для указания направления неизвестных ВСФ, при записи же уравнений равновесия оно не используется.

Алгоритм метода сечений для произвольной точки первого участка вы- полнен. Применим теперь этот же алгоритм к произвольной точке второго участка X 2 (рис. 2.1). Намечать эту точку лучше не в середине участка, что-

бы нечаянно не вписать в соотношение лишний коэффициент ½. Выполнив мысленно первые два пункта алгоритма метода сечений (разрезав и отбро- сив), изобразим рассматриваемую левую (от сечения в точке X 2 ) часть стержня на отдельном рисунке 2.3. Координату произвольной точки x2 есте-

ственно измерять от того же начала, что и общую координату x, но пределы изменения ее для точек участка BC получаются: a ≤ x2 ≤ 2a .

заменить внутренними силовыми факторами. Это вполне возможно, ведь участок AB уже рассмотрен. Но это еще одна операция, а следовательно, до- полнительный источник ошибок. Для стержней с небольшим числом участ- ков эту операцию лучше не делать. Запишем условие равновесия сил в на- правлении оси y для части стержня на рис. 2.3. Получаем

где слагаемое q(x2 − a) представляет собой равнодействующую силу от рас- пределенной нагрузки, которая заменяет эту нагрузку, она обозначена Q2 ,

изображена штриховой линией. Точка приложения равнодействующей рав- номерной нагрузки находится посередине отрезка BX 2 , на который эта на-

грузка действует на рис. 2.3. Записав условие равновесия моментов относи-

Аналитические выражения для ВСФ на участках получены. Далее по алгоритму построения эпюр надо вычислить характерные их значения. На- чинать следует с эпюры перерезывающих сил. На участке AB значение Q(x)

- 18 -

не зависит от x1 (2.1), поэтому эпюра постоянна

Q(x) = P =1кН ,

на участке BC выражение (2.2) для эпюры содержит x2 в первой степени, поэтому эпюра представляет собой прямую линию, которую на отрезке

удобнее всего строить по значениям на концах отрезка

Q(x2 = a) =1кН,

Q(x2 = 2a) = -7 кН ,

Откуда видно, что эпюра перерезывающих сил на участке BC меняет знак с плюса на минус, что свидетельствует о том, что на участке BC на эпюре мо- ментов максимум. Это экстремальное значение следует найти.

Выполним поиск экстремума. Сначала найдем x2Э , при котором пере-

резывающая сила обращается в ноль

Qy (x2Э ) = 0 = P − q(x2Э − a) ,

=1× 2,25 кН × м + 2 кН × м - 4 кН (2,25 - 2)2 м2 = 4,125 кН × м .

м2

Поскольку эпюра моментов на втором участке представляет собой со- гласно (2.8) квадратную параболу, то для этого участка лучше составить таб- лицу характерных значений искомых величин (табл. 2.1). В качестве данных этой таблицы следует использовать результаты уже проведенных вычисле- ний, а кроме того, вычислить значения моментов в начале середине и конце участка.

откуда

Знак минус у результата показывает, что данный момент действует на балку противоположно опорному моменту, показанному на рис. 2.5. По величине и направлению этот момент, как и должно быть, совпадает с внутренним мо- ментом в точке С на эпюре. Действительно, внутренний момент представля- ет собой влияние правой части (опоры) на левую (на балку). Эпюра момен- тов получается всегда со стороны сжатых продольных волокон. Тогда внут- ренний момент на эпюре в крайнем правом сечении тоже направлен по часо- вой стрелке (сверху вниз).

Продолжим проверку эпюры моментов, просматривая далее эпюру слева направо. В крайнем левом сечении нет сосредоточенного момента,