Игнатьев_Майорова_МА_1часть

2. oPREDELQETSQ ZNAK y00 SLEWA I SPRAWA OT KAVDOJ IZ NAJDENNYH TO^EK, W KOTORYH y00 = 0. iSSLEDUEMAQ TO^KA BUDET ABSCISSOJ TO^KI PEREGIBA, ESLI PO RAZNYE STORONY OT NEE y00 IMEET RAZNYE ZNAKI.

pRIMER 1. oPREDELITX NAPRAWLENIE WYPUKLOSTI I TO^KI PEREGIBA KRIWOJ y = 3x5 ¡ 5x4 + 4:

rE[ENIE. nAHODIM TO^KI PEREGIBA KRIWOJ, RUKOWODSTWUQSX UKAZANNYM PRAWILOM:

1. i]EM TO^KI x, W KOTORYH y00 = 0 ILI NE SU]ESTWUET. iMEEM: y0 = 15x4 ¡ 20x3, y00 = 60x3 ¡ 60x2 = 60x2(x ¡ 1).

wTORAQ PROIZWODNAQ y00 RAWNA NUL@ W TO^KAH x = 0 I x = 1. |TI TO^KI QWLQ@TSQ ISKOMYMI.

2. iSSLEDUEM NAJDENNYE TO^KI, OPREDELQQ ZNAK y00 SLEWA I SPRAWA OT KAVDOJ IZ NIH. zAPI[EM \TO ISSLEDOWANIE W TABLICU, PODOBNU@ TOJ, KOTORAQ SOSTAWLQLASX PRI OTYSKANII TO^EK \KSTREMUMA.

iZ TABLICY SLEDUET, ^TO x = 1 ESTX ABSCISSA TO^KI PEREGIBA KRIWOJ y(1) = 2.

pRIMER 2. oPREDELITX NAPRAWLENIE WYPUKLOSTI I TO^KI PEREGIBA KRIWOJ y = 1=(x + 1)3.

rE[ENIE. oPREDELIM WTORU@ PROIZWODNU@ y00. iMEEM: y0 = ¡ 3 , (x + 4)4

y00 = 12 : zAMETIM, ^TO y00 NE MOVET OBRA]ATXSQ W NULX, A PRI

(x + 1)5

x = ¡1 ONA NE SU]ESTWUET. oDNAKO TO^KA x = ¡1 NE MOVET BYTX ABSCISSOJ TO^KI PEREGIBA, TAK KAK PRI x < ¡1; y00 < 0; PRI x > ¡1; y00 > 0. pO\TOMU W INTERWALE (¡1; ¡1) KRIWAQ WYPUKLA WWERH, A W INTERWALE

(¡1; +1) | WNIZ.

pRI OTSUTSTWII TO^EK PEREGIBA \TA KRIWAQ MENQET NAPRAWLENIE WYPUKLOSTI PRI PEREHODE x ^EREZ TO^KU RAZRYWA x = ¡1.

61

3.5.4. aSIMPTOTY GRAFIKA FUNKCII

oPREDELENIE 12. pRQMAQ x = c NAZYWAETSQ WERTIKALXNOJ ASIMP- TOTOJ GRAFIKA FUNKCII y = f(x), ESLI HOTQ BY ODIN IZ PREDELOW

oPREDELENIE 13. pRQMAQ y = kx + b NAZYWAETSQ NAKLONNOJ ASIMP- TOTOJ GRAFIKA FUNKCII y = f(x) PRI x ! +1 ( PRI x ! ¡1), ESLI \TA FUNKCIQ PREDSTAWIMA W WIDE f(x) = kx + b + ®(x), GDE ®(x) ! 0

PRI x ! +1 (x ! ¡1).

tEOREMA 11. dLQ TOGO, ^TOBY PRQMAQ y = kx + b BYLA NAKLONNOJ ASIMPTOTOJ GRAFIKA FUNKCII y = f(x) PRI x ! +1, (x ! ¡1), NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY SU]ESTWOWALI KONE^NYE PREDELY

rE[ENIE. oPREDELIM SNA^ALA WERTIKALXNU@ ASIMPTOTU. nA OSNO-

TEPERX NAKLONNU@ ASIMPTOTU GRAFIKA \TOJ FUNKCII. dLQ \TOGO NUVNO OPREDELITX ZNA^ENIQ k I b W URAWNENII PRQMOJ y = kx + b. iMEEM:

tAKIM OBRAZOM, PRQMAQ y = 3x QWLQETSQ NAKLONNOJ ASIMPTOTOJ PRI x ! +1 ( I PRI x ! ¡1). nA RIS. 3 PRIWEDEN GRAFIK \TOJ FUNKCII.

pRIMER 2. nAJTI ASIMPTOTY GRAFIKA FUNKCII 2x2 + x. x + 1

rE[ENIE. oPREDELQEM WERTIKALXNU@ ASIMPTOTU. zAMETIM, ^TO

2x2 + x = +1, T.E. PRQMAQ x = ¡1 QWLQETSQ WERTIKALXNOJ ASIMPTOTOJ. x + 1

62

pROWEDEM TEPERX ANALIZ SU]ESTWOWANIQ NAKLONNOJ ASIMPTOTY:

pRQMAQ y = 2x ¡ 1 QWLQETSQ NAKLONNOJ ASIMPTOTOJ GRAFIKA DANNOJ FUNKCII ( RIS. 3 ).

rIS. 3

3.5.5. sHEMA POSTROENIQ GRAFIKA FUNKCII

sHEMA POSTROENIQ GRAFIKA FUNKCII OSNOWANA NA ANALIZE SLEDU@]IH WOPROSOW.

A) nAJTI OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII I TO^KI RAZRYWA.

B) uSTANOWITX, QWLQETSQ LI FUNKCIQ ^ETNOJ, NE^ETNOJ, PERIODI^ESKOJ.

cELX \TOGO ISSLEDOWANIQ | SOKRATITX WYKLADKI. eSLI FUNKCIQ ^ETNAQ ILI NE^ETNAQ, TO WMESTO WSEJ OBLASTI OPREDELENIQ DOSTATO^NO RASSMOTRETX LI[X TU EE ^ASTX, KOTORAQ PRINADLEVIT POLOVITELXNOJ POLUOSI ABSCISS. nA \TOJ ^ASTI OBLASTI OPREDELENIQ NUVNO PROWESTI POLNOE ISSLEDOWANIE FUNKCII, A ZATEM POSTROITX EE GRAFIK. dALEE, POLXZUQSX SIMMETRIEJ, DOSTROITX \TOT GRAFIK NA WSEJ OBLASTI OPREDELENIQ. eSLI FUNKCIQ PERIODI^ESKAQ, TO DOSTATO^NO PROWESTI ISSLEDOWANIE FUNKCII NA L@BOM OTREZKE, DLINA KOTOROGO RAWNA PERIODU FUNKCII, A ZATEM, POSTROIW GRAFIK NA \TOM OTREZKE, RASPROSTRANITX EGO NA WS@ OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII.

63

W) eSLI W TO^KE x = c FUNKCIQ IMEET RAZRYW, PRI^EM f(c+) ILI f(c¡) OBRA]AETSQ W BESKONE^NOSTX, TO x = c | WERTIKALXNAQ ASIMPTOTA GRAFIKA FUNKCII. zATEM SLEDUET USTANOWITX S POMO]X@ TEOREMY 11., IMEET LI GRAFIK FUNKCII I NAKLONNYE ASIMPTOTY. eSLI NAKLONNYH ASIMPTOT NET, TO NUVNO ISSLEDOWATX, QWLQETSQ LI FUNKCIQ OGRANI^ENNOJ PRI x ! ¨1 ILI NEOGRANI^ENNOJ.

G) oPREDELITX TO^KI PERESE^ENIQ GRAFIKA FUNKCII S OSX@ Ox. dLQ \TOGO NUVNO RE[ITX URAWNENIE f(x) = 0. rE[ENIQ \TOGO URAWNENIQ I TO^KI RAZRYWA FUNKCII RAZBIWA@T EE OBLASTX OPREDELENIQ NA PROMEVUTKI ZNAKOPOSTOQNSTWA FUNKCII.

D) nAJTI LOKALXNYE \KSTREMUMY I PROMEVUTKI WOZRASTANIQ I UBYWANIQ FUNKCII.

E) nAJTI PROMEVUTKI WYPUKLOSTI WWERH I WNIZ I TO^KI PEREGIBA. V) pOSTROITX PO DANNYM ISSLEDOWANIQM GRAFIK FUNKCII.

pRIMER 1. pOSTROITX GRAFIK FUNKCII y = x4 ¡ 8x2 + 16.

rE[ENIE. A) zADANNAQ FUNKCIQ OPREDELENA I NEPRERYWNA NA WSEJ DEJSTWITELXNOJ OSI.

B) fUNKCIQ ^ETNAQ, TAK KAK f(¡x) = f(x). ~ETNOSTX FUNKCII UKAZYWAET NA SIMMETRI@ EE GRAFIKA OTNOSITELXNO OSI ORDINAT.

W) fUNKCIQ NE IMEET TO^EK RAZRYWA. sLEDOWATELXNO, U NEE NET WERTIKALXNYH ASIMPTOT. pROWEDEM ANALIZ SU]ESTWOWANIQ GORIZONTALXNYH ASIMPTOT. pROWEDEM ANALIZ SU]ESTWOWANIQ GORIZONTALXNYH ASIMPTOT. dLQ \TOGO NUVNO OPREDELITX ZNA^ENIQ k I b W URAWNENII GORIZONTALXNOJ ASIMPTOTY y = kx + b. nA OSNOWANII TEOREMY 11. IMEEM:

tAK KAK PREDEL ZNA^ENIQ k RAWEN +1, OPREDELQTX WELI^INU b W \TOM SLU^AE NE IMEET SMYSLA. zAKL@^AEM, ^TO NAKLONNOJ ASIMPTOTY U GRAFIKA \TOJ FUNKCII TAKVE NET. iSSLEDUEM, QWLQETSQ LI FUNKCIQ OGRANI^ENNOJ PRI x ! ¨1 ILI NET. pRI x ! ¨1 x4 ¡ 8x2 + 16 STREMITSQ K +1, T.E. TO^KI GRAFIKA S WOZRASTANIEM ZNA^ENIJ j x j UDALQ@TSQ WWERH OT OSI ABSCISS.

G) tO^KU PERESE^ENIQ GRAFIKA S OSX@ Oy OPREDELQEM PODSTANOWKOJ W FUNKCI@ ZNA^ENIQ x = 0, ^TO DAET (0; 16); TO^KI PERESE^ENIQ GRAFIKA

64

S OSX@ Ox NAHODIM IZ URAWNENIQ x4 ¡ 8x2 + 16 = 0, KORNI KOTOROGO x1;2 = ¡2; x3;4 = 2 QWLQ@TSQ ABSCISSAMI TO^EK (¡2; 0) I (0; 2). nO W \TIH TO^KAH GRAFIK NE PERESEKAET, A KASAETSQ OSI Ox, TAK KAK KAVDOE IZ ^ISEL ¡2 I 2 QWLQETSQ DWOJNYM KORNEM DANNOJ FUNKCII, W ^EM LEGKO UBEDITXSQ, ZAPISAW EE W WIDE y = (x + 2)2(x ¡ 2)2.

D) nAJDEM PROMEVUTKI WOZRASTANIQ I UBYWANIQ FUNKCII I TO^KI \KSTREMUMA. pERWAQ PRIZWODNAQ DANNOJ FUNKCII y = 4x3 ¡ 16x, PREOBRAZOWANNAQ K WIDU 4x(x2 ¡ 4), POZWOLQET OPREDELITX TRI EE KORNQ: x1 = ¡2; x2 = 0; x3 = 2. |TI KORNI RAZBIWA@T WS@ DEJSTWITELXNU@ OSX NA ^ETYRE PROMEVUTKA: 1) (¡1; ¡2); 2) (¡2; 0); 3) (0; 2) I 4) (2; +1).

w PERWOM PROMEVUTKE, T.E. x 2 (¡1; ¡2); y < 0, SLEDOWATELXNO, FUNKCIQ UBYWAET; WO WTOROM PROMEVUTKE x 2 (¡2; 0); y0 > 0 I FUNKCIQ WOZRASTAET.

~ETNOSTX DANNOJ FUNKCII (T.E. SIMMETRIQ EE GRAFIKA OTNOSITELXNO OSI Oy) POZWOLQET USTANOWITX, ^TO W TRETXEM PROMEVUTKE FUNKCIQ UBYWAET, A W ^ETWERTOM | WOZRASTAET.

sPRAWEDLIWOSTX \TIH WYWODOW DLQ KAVDOGO IZ PROMEVUTKOW LEGKO PROWERQETSQ: L@BOE ZNA^ENIE x IZ PERWOGO PROMEVUTKA OBRA]AET PROIZWODNU@ W OTRICATELXNOE ^ISLO, A L@BOE ZNA^ENIE x IZ ^ETWERTOGO PROMEVUTKA OBRA]AET PROIZWODNU@ W POLOVITELXNOE ^ISLO.

rASSMATRIWAQ POWEDENIE PERWOJ PROIZWODNOJ W OKRESTNOSTI KAVDOGO EE KORNQ, IMEEM:

^EM OPREDELQETSQ MINIMUM FUNKCII W TO^KE (¡2; 0);

T.E. IMEEM MAKSIMUM W TO^KE (0; 16).

dLQ x = 2, ISHODQ IZ SIMMETRII GRAFIKA OTNOSITELXNO OSI Oy, OPREDELQEM MINIMUM FUNKCII W TO^KE (2; 0).

E) nAJDEM PROMEVUTKI WYPUKLOSTI GRAFIKA WWERH I WNIZ I TO^KI PEREGIBA. wTORAQ PROIZWODNAQ DANNOJ FUNKCII y00 = (4x3 ¡ 16x) = = 12x2 ¡ 16 IMEET DWA KORNQ: x1 = ¡2=p3 I x2 = 2=p3, KOTORYE

65

w PERWOM PROMEVUTKE y0 > 0; SLEDOWATELXNO, GRAFIK NAPRAWLEN WYPUKLOSTX@ WNIZ; WO WTOROM PROMEVUTKE, T.E. x 2 (¡2=p3; 2=p3), y00 < 0, A \TO ZNA^IT, ^TO GRAFIK OBRA]EN SWOEJ WYPUKLOSTX@ WWERH; W TRETXEM PROMEVUTKE, T.E. x > 2=p3, WYPUKLOSTX GRAFIKA NAPRAWLENA WNIZ (y0 > 0).

tO^KI x1 I x2 HARAKTERIZU@TSQ TEM, ^TO W KAVDOJ IZ NIH PROISHODIT ZAMENA NAPRAWLENIQ WYPUKLOSTI GRAFIKA. dEJSTWITELXNO:

nA OSNOWANII POLU^ENNYH WO WSEH PUNKTAH DANNYH SOSTAWLQEM SWOD-

66

V) pO \TIM DANNYM STROIM GRAFIK ZADANNOJ FUNKCII ( RIS. 4 ).

rIS. 4

x2 + 4 pRIMER 2. pOSTROITX GRAFIK FUNKCII y = x2 ¡ 4.

rE[ENIE. A) oBLASTX@ SU]ESTWOWANIQ \TOJ FUNKCII QWLQETSQ WSQ DEJSTWITELXNAQ OSX ZA ISKL@^ENIEM DWUH TO^EK x1 = ¡2 I x2 = 2, W KOTORYH IMEET MESTO RAZRYW NEPRERYWNOSTI, TAK KAK FUNKCIQ W \TIH TO^KAH NE OPREDELENA.

B) fUNKCIQ ^ETNAQ, ^TO OPREDELQET SIMMETRI@ EE GRAFIKA OTNOSITELXNO OSI Oy.

W) tO^KAM RAZRYWA x1 = ¡2 I x2 = 2 SOOTWETSTWU@T WERTIKALXNYE ASIMPTOTY x = ¡2 I x = 2. dEJSTWITELXNO, W SOOTWETSTWII OPREDELENIQ WERTIKALXNOJ ASIMPTOTY W OKRESTNOSTI PERWOJ TO^KI RAZRYWA x = ¡2, TO^KI KRIWOJ, PRIBLIVAQSX K NEJ SLEWA, NEOGRANI^ENNO UDA-

LQ@TSQ W STORONU POLOVITELXNYH ORDINAT, T.E. lim x2 + 4 = +1.

x!¡2 x2 ¡ 4

aNALOGI^NO WEDUT SEBQ TO^KI KRIWOJ, PRIBLIVAQSX KO WTOROJ TO^KE RAZRYWA x = 2 SPRAWA.

w OKRESTNOSTI PERWOJ TO^KI RAZRYWA, TO^KI KRIWOJ, PRIBLIVAQSX K NEJ SPRAWA, NEOGRANI^ENNO UDALQ@TSQ W STORONU OTRICATELXNYH ORDINAT, TAK KAK PRI x > ¡2

aNALOGI^NOE POWEDENIE TO^EK KRIWOJ I PRI x ! 2¡. sLEDOWATELXNO, PRQMYE x = ¡2 I x = 2 QWLQ@TSQ WERTIKALXNYMI ASIMPTOTAMI. pROWEDEM TEPERX ANALIZ SU]ESTWU@]EJ GORIZONTALXNOJ ASIMPTOTY.

67

iTAK, W SOOTWETSTWII S TEOREMOJ 11. IMEEM:

OTKUDA ZAKL@^AEM, ^TO URAWNENIE GORIZONTALXNOJ ASIMPTOTY IMEET WID: y = 0 ¢ x + 1.

iSSLEDUEM POWEDENIE FUNKCII NA BESKONE^NOSTI. s WOZRASTANIEM PO ABSOL@TNOJ WELI^INE ZNA^ENIJ x, NA^INAQ S j x j> 2, ZNA^ENIQ FUNKCII UBYWA@T.

G) s OSX@ Oy GRAFIK FUNKCII PERESEKAETSQ W TO^KE (0; ¡1), A S OSX@ Ox NE PERESEKAETSQ, TAK KAK ^ISLITELX DANNOJ FUNKCII NE IMEET DEJSTWITELXNYH KORNEJ. wMESTE S TEM ZNAKI FUNKCII MENQ@TSQ PRI PEREHODE ZNA^ENIJ x ^EREZ ABSCISSY TO^EK RAZRYWA, A IMENNO: ZNA^E- NIQM j x j> 2 SOOTWETSTWU@T ZNA^ENIQ y > 0, A ZNA^ENIQM j x j< 2 | ZNA^ENIQ y < 0.

D) nAJDEM PROMEVUTKI WOZRASTANIQ I UBYWANIQ FUNKCII, A TAKVE TO^KI \KSTREMUMA. pROIZWODNAQ ZADANNOJ FUNKCII y0 = ¡16x=(x2 ¡4)2 IMEET SWOIM KORNEM x = 0. |TO KRITI^ESKAQ TO^KA. pROWERIM EE NA

^EM I OPREDELQETSQ MAKSIMUM FUNKCII (0; ¡1).

E) nAJDEM PROMEVUTKI WYPUKLOSTI WWERH I WNIZ, A TAKVE TO^KI PEREGIBA. pO WTOROJ PROIZWODNOJ:

y00 = 16(3x2 + 4) (x2 ¡ 4)2

WIDNO, ^TO ONA NE IMEET DEJSTWITELXNYH KORNEJ, I \TO ISKL@^AET SU- ]ESTWOWANIE U GRAFIKA FUNKCII TO^EK PEREGIBA. wMESTE S TEM PO KORNQM ZNAMENATELQ ¡2 I 2 MOVNO USTANOWITX, ^TO ZNAKI y00 PRI PEREHODE ^EREZ \TI ZNA^ENIQ x MENQ@TSQ. w SAMOM DELE

68

oTS@DA SLEDUET, ^TO PRI:

x < ¡2 GRAFIK NAPRAWLEN WYPUKLOSTX@ WNIZ; j x j< 2 GRAFIK NAPRAWLEN WYPUKLOSTX@ WWERH; x > 2 GRAFIK NAPRAWLEN WYPUKLOSTX@ WNIZ.

nA OSNOWANII POLU^ENNYH DANNYH SOSTAWLQEM TABLICU:

V) wY^ER^IWAEM GRAFIK ZADANNOJ FUNKCII ( RIS. 5 ).

rIS. 5.

69

3.5.6. zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ

cELX PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ | ISPOLXZUQ PRIWEDENNU@ SHEMU ISSLEDOWANIQ, OTRABOTATX NAWYKI ISSLEDOWANIQ I POSTOROENIQ GRAFIKOW FUNKCIJ.

iSSLEDOWATX I POSTROITX GRAFIKI ZADANNYH FUNKCIJ:

3.6.wOPROSY DLQ SAMOKONTROLQ

1.~TO NAZYWAETSQ PROIZWODNOJ FUNKCII W TO^KE?

2.kAKOW GEOMETRI^ESKIJ SMYSL PROIZWODNOJ?

3.nAPISATX URAWNENIQ KASATELXNOJ I NORMALI K GRAFIKU FUNKCII.

4.oPREDELITX UGOL MEVDU DWUMQ KRIWYMI.

5.pERE^ISLITX PROIZWODNYE \LEMENTARNYH FUNKCIJ.

6.pERE^ISLITX PRAWILA DIFFERENCIROWANIQ.

7.pO KAKOMU PRAWILU NAHODITSQ PROIZWODNAQ SLOVNOJ FUNKCII?

8.~TO TAKOE LOGARIFMI^ESKOE DIFFERENCIROWANIE?

9.kAK DIFFERENCIRUETSQ NEQWNO ZADANNAQ FUNKCIQ?

10.kAK DIFFERENCIRUETSQ PARAMETRI^ESKI ZADANNAQ FUNKCIQ?

70