Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Игнатьев_Майорова_МА_1часть

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

454.84 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

xy2 = x2 sin(x + y):

rE[ENIE. u^ITYWAQ, ^TO y ESTX FUNKCIQ OT x, PRODIFFERENCIRUEM PO x OBE ^ASTI SOOTNO[ENIQ:

y2 + 2xyy0 = 2x sin(x + y) + x2 cos(x + y)(1 + y0):

rAZRE[IM POLU^ENNOE WYRAVENIE OTNOSITELXNO y :

2xyy0 ¡ x2 cos(x + y)y0 = 2x sin(x + y) + x2 cos(x + y) ¡ y2;

y0 = 2x sin(x + y) + x2 cos(x + y) ¡ y2 : 2xy ¡ x2 cos(x + y)

3.1.8. dIFFERENCIROWANIE FUNKCIJ, ZADANNYH PARAMETRI^ESKI

oPREDELENIE 4. eSLI FUNKCIQ y = y(x) I ARGUMENT x WYRAVENY ^EREZ TRETX@ PEREMENNU@, NAZYWAEMU@ PARAMETROM: x = '(t); y = = Ã(t), TO FUNKCIQ y NAZYWAETSQ PARAMETRI^ESKI ZADANNOJ.

eSLI FUNKCII ' I Ã DIFFERENCIRUEMY PO t, PRI^EM '0(t) =6 0, TO

yx0 = yt00 = '00(t): xt Ã (t)

pRIMER 1. pRODIFFERENCIROWATX FUNKCI@, ZADANNU@ PARAMETRI^ES-

KI: x = 1 ¡ t2; y = t ¡ t3.

rE[ENIE. nAJDEM SNA^ALA x0t = 2t, yt0 = 1 ¡ 3t2. tOGDA

yx0 = yt00 = 1 ¡ 3t2 = 3t ¡ 1 : xt ¡2t 2 2t

pRIMER 2. pRODIFFERENCIROWATX FUNKCI@, ZADANNU@ PARAMETRI^ES-

KI: x = t ¡ sin t; y = 1 ¡ cos t:

rE[ENIE. sNA^ALA NAJDEM x0t = 1 ¡ cost; yt0 = sin t. sLEDOWATELXNO,

	=	y0	=		sin t
yx0		t					:
yx0		x0		1	¡	cos t	:
		t			¡

3.1.9. zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ

cELX PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ | OTRABOTATX NAWYKI LOGARIFMI^ESKOGO DIFFERENCIROWANIQ I WY^ISLENIQ PROIZWODNYH NEQWNO I PARAMETRI- ^ESKI ZADANNYH FUNKCIJ.

pRODIFFERENCIROWATX DANNYE FUNKCII, ISPOLXZUQ PRAWILO LOGARIFMI^ESKOGO DIFFERENCIROWANIQ:

1: f(x) = xx2:

3: f(x) = (sin x)cos x:

5: f(x) = (x ¡ 2)2(x + 1)1=3 : (x ¡ 5)3

7: f(x) = x1=x:


	p
	p		x	:
9: f(x) = 2x				:	¡ 1)2 ¶		:
11: f(x) =	µ (x2				¡ 1)2 ¶		:
		x(x2				+ 1)	1=3

2: f(x) = (x + 1)2=x:

4: f(x) = x3ex2 sin 2x:

6: f(x) = (x + 1)3(x ¡ 2)1=4 : (x ¡ 3)2=5

8: f(x) =	µ1 + x¶		:
		x	x

10: f(x) = µx2 + 1¶sin x:

nAJTI PROIZWODNYE NEQWNO ZADANNYH FUNKCIJ:

12: x4 + y4 = x2y2:

14: 2y ln y = x:

16: 1 + xey:

18: x sin y ¡ cos y + cos 2y = 0: 20: x ¡ y = arcsin x ¡ arcsin y:

13: sin(xy) + cos(xy) = tg(x + y):

15: xy = yx:

17: y = x + arctg y:

19: y sin x ¡ cos x ¡ y = 0:

nAJTI PROIZWODNYE PARAMETRI^ESKI ZADANNYH FUNKCIJ:

t3
21: x = t2; y =		¡ t:				22: x = e2t; y = e3t:
21: x = t2; y =	3	¡ t:				22: x = e2t; y = e3t:
			a(1		cos x):	2	3
23: x = a(t ¡3 cos t); y =			a(1	¡	cos x):	24: x = tt	; y = t + t:t
23: x = a(t ¡3 cos t); y =			3	¡		24: x = tt	; y = t + t:t	sin t:
25: x = a cos t; y = a sin t:						26: x = e	cos t; y = e	sin t:

3.2. pONQTIE DIFFERENCIALA FUNKCII

3.2.1. oPREDELENIE DIFFERENCIALA

oPREDELENIE 5. wYRAVENIE dy = y0dx = f0(x)dx OPREDELQET DIFFE- RENCIAL FUNKCII y = f(x).

pRIMER 1. nAJTI DIFFERENCIAL FUNKCII y = ln tg x2.

rE[ENIE.

dy = y0dx =µ ln tg

¶0dx =

dx =

tg x2

cos2 x2

2 sin x2 ¢ cos x2

sin x

3.2.2.sWOJSTWA DIFFERENCIALA

1)d(u ¨ v) = du ¨ dv;

2)d(u ¢ v) = v ¢ du + dv ¢ u;

3) d(c ¢ u) = c ¢ du;

c = const;

4) d

du ¡ u ¢ dv

;

µv ¶

5) dc = 0;

c = const:

pRIMER 1. nAJTI DIFFERENCIAL FUNKCII

y =

49 ¡ x

+ 3 arcsin

rE[ENIE.

dy = µ

p49 ¡ x2 + 3 arcsin

¶0dx =

(

2x)

p49 ¡ x2

¶dx:

r1 ¡

49 ¡ x

pRIMER 2. nAJTI DIFFERENCIAL dy NEQWNO ZADANNOJ FUNKCII ln qx2 + y2 = arctg xy :

rE[ENIE. wY^ISLIM DIFFERENCIAL OT LEWOJ I PRAWOJ ^ASTEJ RAWENSTWA, ISPOLXZUQ SWOJSTWA DIFFERENCIALA:

d(ln qx2 + y2) = d(arctg xy );

(2xdx + 2ydy) =

xdy ¡ ydx

px2 + y2

¢ 2px2

+ y2 ¢

1 + y22 ¢

tEPERX RAZRE[IM POLU^ENNOE RAWENSTWO OTNOSITELXNO dy:

ydy

xdy

= ¡

xdx

ydx

;

x2 + y2

dy = ¡xy ¡+ xydx:

iSPOLXZUQ PRIBLIVENNOE RAWENSTWO PRIRA]ENIQ FUNKCII ¢y EE DIFFERENCIALU dy, POLU^IM: ¢y = f(x + ¢x) ¡ f(x) ¼ f0(x)¢x, OTKUDA f(x + ¢x) ¼ f(x) + f0(x)¢x. |TA FORMULA POZWOLQET PRIBLIVENNO WY^ISLQTX ZNA^ENIE FUNKCII W OKRESTNOSTI TO^KI x ^EREZ ZNA^ENIQ FUNKCII I EE PROIZWODNOJ W \TOJ TO^KE.

p pRIMER 3. sOHRANQQ TRI ZNAKA POSLE ZAPQTOJ, WY^ISLITX 4 15; 8.

rE[ENIE. rASSMOTRIM FUNKCI@ y = p4

. pOLOVIM x = 16, ¢x = 0:2.

tAK KAK y0 = (p4

)0 =

1x¡3=4

, TO y0

. pO\TOMU

jx=16

4p163

1 4¢8

15:8 =

0:2 = px

jx=16

+ (px)0

¢x = 2 +

(

0:2) = 1:994.

jx=16

pRIMER 4. pRIBLIVENNO WY^ISLITX tg 46±.

rE[ENIE. wEDEM FUNKCI@ y = tg x. pUSTX x = 45±, ¢x = 1± =

180

3:14

= 0:017. tOGDA S U^ETOM TOGO,

^TO y0

(tg x)0 =

180

cos2 x

WY^ISLIM:

tg 46± = tg(45± + 1±) = tg xjx=45± + (tg x)j0x=45± ¢ ¢x =

= tg 45± +

¢ 0; 017 = 1 +

¢ 0; 017 = 1 + 2 ¢ 0; 017 = 1; 034:

cos2 45±

(p1

3.2.3. zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ

cELX PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ | ISPOLXZUQ SWOJSTWA DIFFERENCIALOW, NAU^ITXSQ WY^ISLQTX DIFFERENCIALY FUNKCIJ.

nAJTI DIFFERENCIALY ZADANNYH FUNKCIJ:

1=4

1: f(x) = 3x ¡ 2

x + x

+ ln x:

2: f(x) = sin2x ¡ 3 cos x +2

2:5x3 ¡ tg x:

3: f(x) = (x

¡ 3x + 3)(x

+ 2x ¡ 1):

4: f(x) = (

x + 1)(

¡ 1):

5: f(x) = (1 + p

)(1 +

6: f(x) =

x + 1

x ¡ 1

7: f(x) =

3x2 + 1

8: f(x) =

x2 + x + 1

9: f(x) =

x + x ¡ 1

10: f(x) =

(1 ¡ x2)(1 ¡ 24x3)

x3 + 1

11: f(x) = µ2x3 + 3x2 + 6x + 1¶ :

12: f(x) = µx3 ¡

+ 3¶ :

+ 1

13: f(x) = µ

14: f(x) = p1 ¡ x2:

1 + p

15: f(x) =

16: f(x) =

1 + p

(x2 ¡ x + 1)2

17: f(x) =

18: f(x) = sin 3x:

(2x ¡ 1)1=3

(x2 + 2)3=4

19: f(x) = 3 sin 3x + 5:

20: f(x) = q

1 + 2 tg x:

21: f(x) = sin p1 + x2:

22: f(x) =

µ1 + sin2 x¶

1 ¡ p

24: f(x) = s

23: f(x) = cos2

1 + px

25: f(x) = sin(sin x):

26: f(x) = v1 + tg x + 1:

27: f(x) = sin2 cos 3x:

28: f(x) =

arcsin x

arccos x

nAJTI PRIBLIVENNOE ZNA^ENIE UKAZANNOJ WELI^INY:

p p p

29: 5 31: 30: cos 32±: 31: 4 254: 32: sin 44±: 33: 3 26:

3.3. pROIZWODNYE I DIFFERENCIALY WYS[IH PORQDKOW

3.3.1. pROIZWODNYE WYS[IH PORQDKOW

oPREDELENIE 6. pROIZWODNOJ n-OGO PORQDKA (n = 2; 3; :::) OT FUNK- CII y = f(x) NAZYWAETSQ PERWAQ PROIZWODNAQ OT PROIZWODNOJ (n ¡ 1)-GO PORQDKA, T.E.

y(n) = (y(n¡1))0 = (f(n¡1)(x))0:

w ^ASTNOSTI
y00 = (y0)0 = (f0(x))0;	y000 = (y00)0 = (f00(x))0:

pRIMER 1. nAJTI TRETX@ PROIZWODNU@ OT FUNKCII y = e2x¡1.

rE[ENIE. pOSLEDOWATELXNO DIFFERENCIRUEM FUNKCI@ TRI RAZA:

y0 = (e2x¡1)0 = 2e2x¡1; y00 = (2e2x¡1)0 = 4e2x¡1; y000 = (4e2x¡1)0 = 8e2x¡1: pRIMER 2. nAJTI WTORU@ PROIZWODNU@ y00 OT NEQWNO ZADANNOJ FUNK-

CII x ¡ y + ln y = e.
rE[ENIE. nAJDEM SNA^ALA PERWU@ PROIZWODNU@:					y0 = y ¡ 1:
1 ¡ y0 + y ¢ y0	= 0;	y0	µ1 ¡ y¶	= 1;	y0 = y ¡ 1:
1			1			y

dIFFERENCIRUQ PERWU@ PROIZWODNU@, NAJDEM WTORU@ PROIZODNU@, SNO-

WA S^ITAQ y FUNKCIEJ OT x: y00 =

y0(y ¡ 1) ¡ yy0

. pODSTAWIW S@DA RANEE

(y ¡ 1)2

NAJDENNOE ZNA^ENIE y0, POLU^IM

y00 =

(y ¡ 1) ¡ y ¢

y¡1

(y ¡ 1)3

(1 ¡ y)3

(y ¡ 1)2

pRIMER 3. nAJTI WTORU@ PROIZWODNU@ yx00

OT PARAMETRI^ESKI ZADAN-

NOJ FUNKCII x = arcsin t; y = ln(1 ¡ t2).

rE[ENIE. nAJDEM PERWU@ PROIZWODNU@:

yt0

¢ (¡2t)

1 t2

yx0 =

= ¡

1 ¡ t2

tAK KAK ONA ESTX FUNKCIQ OT t, TO DLQ NAHOVDENIQ WTOROJ PROIZWODNOJ ZAPI[EM PERWU@ PROIZWODNU@ PARAMETRI^ESKI:

x = Ã(t); yx0 = F (t)

I PRIMENIM K NEJ PRAWILO DIFFERENCIROWANIQ PARAMETRI^ESKI ZADANNOJ FUNKCII:

2t(¡2t)

µ¡p

¶t0

2 1 ¡ t

(yx0 )t0

1¡t2

y00

1 ¡ t2

t2 ¡ 1

xt0

(arcsin t)t0

¡ t2

oTMETIM, ^TO PO ANALOGII DLQ PROIZWODNOJ n-GO PORQDKA FUNKCII, ZADANNOJ PARAMETRI^ESKI, MOVNO ZAPISATX FORMULU:

yx(n) =	(y(n¡1))0
	x	t	:

		xt0

3.3.2. dIFFERENCIALY WYS[IH PORQDKOW

oPREDELENIE 7. dIFFERENCIALOM n-GO PORQDKA FUNKCII y = f(x) NAZYWAETSQ DIFFERENCIAL 1-GO PORQDKA OT DIFFERENCIALA (n ¡ 1)-GO PORQDKA, T.E. dny = d(dn¡1y).

wY^ISLQETSQ DIFFERENCIAL n-GO PORQDKA PO FORMULE

dny = f(n)(x)dxn: pRIMER 1. dLQ FUNKCII y = (2px ¡ 3)3 NAJTI d3y.

rE[ENIE. pOSLEDOWATELXNO DIFFERENCIRUQ, NAJDEM TRETX@ PROIZWODNU@ ZADANNOJ FUNKCII:

y0 = 3(2x ¡ 3)22

= 3(2x ¡ 3)2 p

;

y00 = 6(2x

3)2

+ 3(2x

3)2

¡21

(2x

3)2

;

px3

y000

(2x ¡ 3) + p

2 ¡

¢ 2(2x ¡ 3)2

= p

¡ 12(2x ¡ 3)

(2x ¡ 3)2

tOGDA

d3y = y000dx3

= µp

¡ 12(2x ¡ 3)

(2x ¡ 3)2

¶dx3:

3.3.3. zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ

cELX PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ | ISPOLXZUQ OPREDELENIE I SWOJSTWA PROIZWODNYH, NAU^ITXSQ NAHODITX PROIZWODNYE WYS[IH PORQDKOW.

oPREDELITX f00(x) ZADANNYH FUNKCIJ:

1: f(x) = µx2 + 1¶3:

2: f(x) = xex2:

3: f(x) =

4: f(x) = (1 + x2) arctg x:

1 + x3

6: f(x) = ln µx + p

¶:

5: f(x) = x2 ln x + 1:

1 + x2

7: f(x) = e

8: f(x) =

arcsin x:

1 ¡ x

nAJTI UKAZANNYE PROIZWODNYE DLQ SLEDU@]IH FUNKCIJ:

9: f(x) = cos2 x;

f000(x) =?

10: f(x) =

f(5)(x) =?

13¡ x

(4)

(x) =?

11: f(x) = x ln x

pRODIFFERENCIROWATX FUNKCII, ZADANNYE W NEQWNOM WIDE:

12: y = tg(x + y);

d3y

13: y = 1 + xey;

d2y

14: y = sin(x + y);

15: ex+y = xy;

y00

y00 =?

16: y3 + x3 ¡ 3axy = 0;

y00 =?

pRODIFFERENCIROWATX FUNKCII, ZADANNYE PARAMETRI^ESKI:

17: x = at2; y = bt3;	d2x	=?
17: x = at2; y = bt3;	dt2	=?
	dt2		d3y
18: x = a cos t; y = a sin t;			d3y	=?
18: x = a cos t; y = a sin t;			3	=?
		dx
19: x = a(' ¡ sin '); y = a(1 ¡ cos ');
20: x = a cos 3t; y = a sin 3t;					d3y			=?
20: x = a cos 3t; y = a sin 3t;					3			=?
					dx
21: x = x = ln t; y = t2 ¡ 1;					d2y
							=?
					dx2		=?
22: x = arcsin t; y = ln (1 ¡ t2);						d2y			=?
22: x = arcsin t; y = ln (1 ¡ t2);						dx2			=?

d2y dx2 =?

3.4. oSNOWNYE TEOREMY DIFFERENCIALXNOGO IS^ISLENIQ

3.4.1. tEOREMY fERMA, rOLLQ, lAGRANVA, kO[I

tEOREMA 1. (fERMA). pUSTX FUNKCIQ f(x) OPREDELENA NA INTERWA- LE (a; b) I W NEKOTOROJ TO^KE x0 \TOGO INTERWALA IMEET NAIBOLX[EE ILI NAIMENX[EE ZNA^ENIE. tOGDA, ESLI W TO^KE x0 SU]ESTWUET PRO- IZWODNAQ, TO ONA RAWNA NUL@, T.E. f0(x0) = 0.

tEOREMA 2. (rOLLQ). pUSTX NA OTREZKE [a; b] OPREDELENA FUNKCIQ f(x), PRI^EM:

1)f(x) NEPRERYWNA NA [a; b];

2)f(x) DIFFERENIRUEMA NA (a; b);

3)f(a) = f(b).

tOGDA SU]ESTWUET TO^KA c 2 (a; b), W KOTOROJ f0(c) = 0.

tEOREMA 3. (lAGRANVA). pUSTX NA OTREZKE [a; b] OPREDELENA FUNK- CIQ f(x), PRI^EM:

1)f(x) NEPRERYWNA NA [a; b];

2)f(x) DIFFERENIRUEMA NA (a; b).

tOGDA SU]ESTWUET TO^KA c 2 (a; b) TAKAQ, ^TO SPRAWEDLIWA FORMULA

f(b) ¡ f(a) = f0(c): b ¡ a

tEOREMA 4. (kO[I). pUSTX FUNKCII f(x) I g(x) NEPRERYWNY NA [a; b] I DIFFERENCIRUEMY NA (a; b). pUSTX, KROME TOGO, g0(x) =6 0. tOGDA

SU]ESTWUET TO^KA c 2 (a; b) TAKAQ, ^TO SPRAWEDLIWA FORMULA

f(b) ¡ f(a)	=	f0(c)		:
g(b) ¡ g(a)			g0(c)

3.4.2. fORMULA tEJLORA

tEOREMA 5. (tEJLORA) pUSTX FUNKCIQ f(x) IMEET W TO^KE a I NEKOTOROJ EE OKRESTNOSTI PROIZWODNYE PORQDKA n + 1. pUSTX x | L@BOE ZNA^ENIE ARGUMENTA IZ UKAZANNOJ OKRESTNOSTI, x 6= a. tOGDA MEVDU TO^KAMI a I x NAJDETSQ TO^KA » TAKAQ, ^TO SPRAWEDLIWA FORMULA tEJLORA


f(x) = f(a) +		f0(a)	(x ¡ a) +		f00(a)		(x ¡ a)2 + :::
		1!			2!
::: +	f(n)(a)	(x ¡ a)n +		fn+1(»)		(x ¡ a)n+1:
	n!			(n + 1)!

pOSLEDNIJ ^LEN W FORMULE tEJLORA NAZYWAETSQ OSTATO^NYM ^LENOM W FORME lAGRANVA I OBOZNA^AETSQ Rn+1(x).

eSLI FUNKCIQ f(n+1)(x) OGRANI^ENA W OKRESTNOSTI TO^KI a, TO OSTATO^NYJ ^LEN Rn+1(x) QWLQETSQ BESKONE^NO MALOJ BOLEE WYSOKOGO PORQDKA, ^EM (x¡a)n PRI x ! a : Rn+1(x) = o((x¡a)n) PRI x ! a. pOSLEDNEE SOOTNO[ENIE NAZYWAETSQ OSTATO^NYM ^LENOM W FORME pEANO.

fORMULU tEJLORA PRI a = 0 PRINQTO NAZYWATX FORMULOJ mAKLORENA:

f(x) = f(0) +

(0)

x +

f00(0)

+ ::: +

f(n)(0)

+ Rn+1(x):

oSTATO^NYJ ^LEN MOVET BYTX ZAPISAN W FORME:

1) lAGRANVA Rn+1(x) = fn+1(µx)xn+1; 0 < µ < 1; (n + 1)!

2) pEANO Rn+1(x) = o(xn).

pRIMER 1. rAZLOVITX FUNKCI@ f(x) = ex PO FORMULE mAKLORENA.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.03.20162.03 Mб14ИГ и НГ Лекция 2.doc
#
22.03.2016581.63 Кб11ИГ и НГ Лекция 4.doc
#
22.03.2016455.17 Кб41ИГ и НГ Лекция 5.doc
#
22.03.2016268.29 Кб31ИГ и НГ Лекция 6.doc
#
22.03.2016486.4 Кб44ИГ и НГ Лекция 7.doc
#
12.03.2015454.84 Кб9Игнатьев_Майорова_МА_1часть.pdf
#
12.03.2015104.96 Кб9избирательное право.doc
#
28.08.2019990.21 Кб3измерения физ.вел..doc
#
13.08.2019331.26 Кб3ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ СИГНАЛЫ.doc
#
22.03.2016476.19 Кб85Изучение интегрированной среды разработки AVR Studio_.pdf
#
12.03.2015790.53 Кб11ИКМКОДЕКЦСК2.DOC