8. Амплитудная модуляция при сложном модулирующем сигнале.

Амплитудная модуляция при сложном модулирующем сигнале.

На практике однотональные AM-сигналы используются редко. Гораздо более реален случай, когда модулирующий низкочастотный сигнал имеет сложный спектральный состав. Математической моделью такого сигнала может быть, например, тригонометрическая сумма

Здесь частоты , образуют упорядоченную возрастающую последовательность в то время как амплитуды и начальные фазы Ф, - произвольны.

Подставив формулу (4.9) в (4.3), получим

Введем совокупность парциальных (частичных) коэффициентов модуляции

(4.11)

и запишем аналитическое выражение сложномодудированного (многотонального) АМ-сигнала в форме, которая обобщает выражение (4.4):

Спектральное разложение проводится так же, как и для однотонального АМ-сигнала:

На рис. 4.2, а изображена спектральная диаграмма модулирующего сигнала построенная в соответствии с формулой (4.9). Рис. 4.2,б воспроизводит спектральную диаграмму многотонального АМ-сигнала, отвечающего этому модулирующему колебанию.

Рис. 4.2. Спектральные диаграммы а — модулирующего сигнала; б — АМ-сигнала при многотональной модуляции

Итак, в спектре сложномодулированного АМ-сигнала, помимо несущего колебания, содержатся группы верхних и нижних боковых колебаний. Спектр верхних боковых колебаний является масштабной копией спектра модулирующего сигнала, сдвинутой в область высоких частот на величину Спектр нижних боковых колебаний также повторяет спектральную диаграмму сигнала располагается зеркально относительно несущей частоты

Из сказанного следует важный вывод: ширина спектра АМ-сигнала равна удвоенному значению наивысшей частоты в спектре модулирующего низкочастотного сигнала.

Пример 4.1. Оценить число вещательных радиоканалов, которые можно разместить в диапазоне частот от 0.5 до 1.5 МГц (примерные границы средневолнового вещательного диапазона).

Для удовлетворительного воспроизведения сигналов радиовещания необходимо воспроизводить звуковые частоты от 100 Гц до 12 кГц. Таким образом, полоса частот, отводимая одному АМ-каналу, равна 24 кГц. Чтобы избежать перекрестных помех между каналами, следует предусмотреть защитный интервал шириной в 1 кГц. Поэтому допустимое число каналов

9. Балансная и однополосная амплитудная модуляция.

Для более эффективного использования мощности передатчика можно формировать АМ-сигналы с подавленным несущим колебанием, реализуя так называемую балайсную амплитудную модуляцию. На основании формулы (4.4) представление однотонального АМ-сигнала с балансной модуляцией таково:

Имеет место перемножение двух сигналов — модулирующего и несущего.

Еще более интересное усовершенствование принципа обычной амплитудной модуляции заключается в формировании сигнала с подавленной верхней или нижней боковой полосой частот.

Сигналы с одной боковой полосой (ОБП или SSB-сигналы — от англ. single sideband) по внешним характеристикам напоминают обычные AM-сигналы. Например, однотональный ОБП-сигнал с подавленной нижней боковой частотой записывается в виде

Сравнение приведенных кривых показывает, что непосредственная демодуляция ОБП-сигнала по его огибающей будет сопровождаться значительными искажениями.

Дальнейшим усовершенствованием систем ОБП является частичное или полное подавление несущего колебания. При этом мощность передатчика используется еще более эффективно.

10. ЧМ – как вид угловой модуляции.

Предположим вначале, что полная фаза  связана с сигналом s(t) зависимостью

где  — значение частоты в отсутствие полезного сигнала; k — некоторый коэффициент пропорциональности. Модуляцию, отвечающую соотношению (4.19), называют фазовой модуляцией (ФМ):

Рис. 4.5. Фазовая модуляция: 1 — модулирующий низкочастотный сигнал; 2 — немодулироваиноегармоническое колебание; 3 — сигнал с фазовой модуляцией

Если сигнал  то ФМ-колебание является простым гармоническим колебанием. С увеличением значений сигнала  полная фаза  растет во времени быстрее, чем по линейному закону. При уменьшении значений модулирующего сигнала происходит спад скорости роста  во времени. На рис. 4.5 показано построение графика ФМ-сигнала.

В моменты времени, когда сигнал  достигает экстремальных значений, абсолютный фазовый сдвиг между ФМ-сигналом и смодулированным гармоническим колебанием оказывается наибольшим. Предельное значение этого фазового сдвига называют девиацией фазы . В общем случае, когда сигнал  изменяет знак, принято различать девиацию фазы вверх  и девиацию фазы вниз 

На векторной диаграмме изображающий вектор постоянной длины будет совершать вращение с непостояннойугловой скоростью. Мгновенная частота  сигнала с угловой модуляцией определяется как перваяпроизводная от полной фазы по времени:

так что

(4.22)

При частотной модуляции сигнала (ЧМ) между величинами  имеется связь вида

Поэтому

Естественными параметрами ЧМ-сигнала общего вида в соответствии с формулой (4.23) являются девиация частоты вверх Асов — ksaaa и девиация частоты вниз .

Если  — достаточно гладкая функция, то внешне осциллограммы ФМ- и ЧМ-сигналов не отличаются. Однако имеется принципиальная разница: фазовый сдвиг между ФМ-сигналом и немодулированным колебанием пропорционален s(t), в то время как для ЧМ-сигнала этот сдвиг пропорционален интегралу от передаваемого сообщения.

с увеличением значения сигнала s(t), полная фаза

Предельное значение этого фазового сдвига называется девиацией сдвига. В общем случае, когда s(t) меняет знак, принято различать девиации фазы как восходящие, так и нисходящие.

11. ФМ

12. Фильтры первого порядка

К простейшим фильтрам первого порядка относятся цепочки, содержащие активные сопротивления и один реактивный элемент: емкость или индуктивность, включенные последовательно или параллельно. На рис.6 изображены возможные включения элементов R иL, R и C.

Рис. 6

Цепочки вида a), b), c), d) питаются от источника напряжения, а цепочки вида e) и f) – от источника тока.

а) ФНЧ

б) ФВЧ

в) Полосовые фильтры

г) Режекторные фильтры

Способ обработки:

1. Аналоговые либо цифровые

2. Пассивные и активные

3. Линейные и нелинейные

Специальные:

а) ф.Чебышева

б) Ф.Бесселя

в) Буттерворта

Таким образом, простейшие апериодические цепочки порядка первого типа (вида a, d, f рис.6) являются фильтрами высокой частоты со спадом частоты АЧХ вне полосы пропускания (, ) 6 дб/октаву; простейшие цепочки второго типа (b, c, e) являются фильтрами низких частот со спадом АЧХ вне полосы пропускания (0,) также в 6 дб/октаву. Граничная частота здесь определяется по уровню пропускания половинной мощности или по спаду АЧХ на 3 дб от максимума.

13. Параллельный колебательный контур

Если соединить последовательно в электрическую цепь конденцатор и катушку индуктивности, то для синусоидального сигнала определенной частоты указанная схема будет демонстрировать нулевое реактивное сопротивление. Этот эффект называется резонансом колебательного контура., сама схема называется последовательным колебательным контуром. Частота возникновения резонанса называется частотой резонанса.

При резонансной частоте, в колебательном контуре падение напряжения равно «0», однако отдельно на элементах падение напряжения будет различным. При резонансной частоте они компенсируют друг друга.

При частотах близких к резонансной ток минимален. Данная схема является режекторным фильтром.

При высокой добротности полное сопротивление последовательного контура мало при частотах близких к резонансной резко повышается при удалении от нее. сопротивление высокодобротного параллельного колебательного контура весьма велико при резонансной и близкой к ней частотам и резко уменьшается при отдалении от нее.

14. Параллельный колебательный контур

15. Фильтр Чебышева, Баттерворта, Бесселя Фильтры Баттерворта и Чебышева. Фильтр Баттерворта обеспечивает наиболее плоскую характеристику в полосе пропускания, что достигается ценой плавности характеристики в переходной области т.е. между полосами пропускания и задерживания. Как будет показано дальше у него также плохая фазочастотная характеристика. Его амплитудно-частотная характеристика задается следующей формулой: U_вых/U_вх = 1/[1 + (ƒ/ƒ_c)²ⁿ]^1/2, где n определяет порядок фильтра (число полюсов). Увеличение числа полюсов дает возможность сделать более плоским участок характеристики в полосе пропускания и увеличить крутизну спада от полосы пропускания к полосе подавления, как это показано на рис. 5.10.

Рис. 5.10 Нормированные характеристики фильтров нижних частот Баттерворта. Обратите внимание увеличение крутизны спада характеристики с увеличением порядка фильтра.

Выбирая фильтр Баттерворта, мы ради максимально плоской характеристики поступаемся всем остальным. Его характеристика идет горизонтально, начиная от нулевой частоты, перегиб ее начинается на частоте среза ƒ_с - эта частота обычно соответствует точке -3 дБ.

В большинстве применений самым существенным обстоятельством является то, что неравномерность характеристики в полосе пропускания не должна превышать некоторой определенной величины, скажем 1 дБ. Фильтр Чебышева отвечает этому требованию, при этом допускается некоторая неравномерность характерности во всей полосе пропускания, но при этом сильно увеличивается острота ее излома. Для фильтра Чебышева задают число полюсов и неравномерность в полосе пропускания. Допуская увеличение неравномерности в полосе пропускания, получаем более острый излом. Амплитудно-частотная характеристика этого фильтра задается следующим соотношением U_вых/U_вх = 1/[1 + ε²C_n²(ƒ/ƒ_c)]^1/2, где С_n- полином Чебышева первого рода степени n, а ε - константа, определяющая неравномерность характеристики в полосе пропускания. Фильтр Чебышева, как и фильтр Баттерворта имеет фазочастотные характеристики, далекие от идеальных. На рис. 5.11 представлены для сравнения характеристики 6-полюсных фильтров нижних частот Чебышева и Баттерворта. Как легко заметить, и тот, и другой намного лучше 6-полюсного RC-фильтра.

Рис. 5.11. Сравнение характеристик некоторых обычно применяемых 6-полюсных фильтров нижних частот. Характеристики одних и тех же фильтров изображены и в логарифмическом (вверху), и в линейном (внизу) масштабе. 1 - фильтр Бесселя; 2 - фильтр Баттерворта; 3 - фильтр Чебышева (пульсации 0,5 дБ).

На самом деле фильтр Баттерворта с максимально плоской характеристикой в полосе пропускания не столь привлекателен, как это может показаться, поскольку в любом случае приходится мириться с некоторой неравномерностью в полосе пропускания (для фильтра Баттерворта это будет постепенное понижение характеристики при приближении к частоте ƒ_с, а для фильтра Чебышева-пульсации, распределенные по всей полосе пропускания). Кроме того, активные фильтры, построенные из элементов, номиналы которых имеют некоторый допуск, будут обладать характеристикой, отличающейся от расчетной, а это значит, что в действительности на характеристике фильтра Баттерворта всегда будет иметь место некоторая неравномерность в полосе пропускания. На рис. 5.12 проиллюстрировано влияние наиболее нежелательных отклонений значений емкости конденсатора и сопротивления резистора на характеристику фильтра.

Рис. 5.12. Влияние изменений параметров элементов на характеристику активного фильтра.

В свете вышеизложенного весьма рациональной структурой является фильтр Чебышева. Иногда его называют равноволновым фильтром, так как его характеристика в области перехода имеет большую крутизну за счет того, что по полосе пропускания распределено несколько равновеликих пульсаций, число которых возрастает вместе с порядком фильтра. Даже при сравнительно малых пульсациях (порядка 0,1 дБ) фильтр Чебышева обеспечивает намного большую крутизну характеристики в переходной области, чем фильтр Баттерворта. Чтобы выразить эту разницу количественно, предположим, что требуется фильтр с неравномерностью характеристики в полосе пропускания не более 0,1 дБ и затуханием 20 дБ на частоте, отличающейся на 25% от граничной частоты полосы пропускания. Расчет показывает, что в этом случае требуется 19-полюсный фильтр Баттерворта или всего лишь 8-полюсный фильтр Чебышева.

Мысль о том, что можно мириться с пульсациями характеристики в полосе пропускания ради увеличения крутизны переходного участка, доводится до своего логического завершения в идее так называемого эллиптического фильтра (или фильтра Кауэра), в котором допускаются пульсации характеристики как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания ради обеспечения крутизны переходного участка даже большей, чем у характеристики фильтра Чебышева. С помощью ЭВМ можно сконструировать эллиптические фильтры так же просто, как и классические фильтры Чебышева и Баттерворта. На рис. 5.13 представлено графическое задание амплитудно-частотной характеристики фильтра. В этом случае (фильтр нижних частот) определяются допустимый диапазон коэффициента передачи фильтра (т.е. неравномерность) в полосе пропускания, минимальная частота, на которой характеристика покидает полосу пропускания, максимальная частота, где характеристика переходит в полосу задерживания, и минимальное затухание в полосе задерживания.

Рис. 5.13. Задание параметров частотной характеристики фильтра.

Фильтры Бесселя. Как было установлено ранее, амплитудно-частотная характеристика фильтра не дает о нем полной информации. Фильтр с плоской амплитудно-частотной характеристикой может иметь большие сдвиги фаз. В результате этого форма сигнала, спектр которого лежит в полосе пропускания, будет искажена при прохождении через фильтр. В ситуации, при которой форма сигнала имеет первостепенное значение, желательно иметь в распоряжении линейно-фазовый фильтр (фильтр с постоянным временем запаздывания). Предъявление к фильтру требования обеспечения линейного изменения сдвига фазы в зависимости от частоты эквивалентно требованию постоянства времени запаздывания для сигнала, спектр которого расположен в полосе пропускания, т. е. отсутствия искажений формы сигнала. Фильтр Бесселя (также называемый фильтром Томсона) имеет наиболее плоский участок кривой времени запаздывания в полосе пропускания, подобно тому как фильтр Баттерворта имеет наиболее плоскую амплитудно-частотную характеристику. Чтобы понять, какое улучшение во временной области дает фильтр Бесселя, посмотрите на рис. 5.14, где изображены нормированные по частоте графики времени запаздывания для 6-полюсных фильтров нижних частот Бесселя и Баттерворта. Плохая характеристика времени запаздывания фильтра Баттерворта обуславливает появление эффектов типа выброса при прохождении через фильтр импульсных сигналов. С другой же стороны, за постоянство времен запаздывания у фильтра Бесселя приходится расплачиваться тем, что его амплитудно-частотная характеристика имеет еще более пологий переходной участок между полосами пропускания и задерживания, чем даже у характеристики фильтра Баттерворта.

Рис. 5.14. Сравнение временных запаздываний для 6-полосных фильтров нижних частот Бесселя (1) и Баттерворта (2). Фильтр Бесселя благодаря своим превосходным свойствам во временной области дает наименьшее искажение формы сигнала.

Существует много различных способов проектирования фильтров, в которых делаются попытки улучшить рабочие параметры фильтра Бесселя во временной области, частично жертвуя постоянством времени запаздывания ради уменьшения времени нарастания и улучшения амплитудно-частотной характеристики. Фильтр Гаусса имеет почти столь же хорошие фазочастотные характеристики, как и фильтр Бесселя, но при улучшенной переходной характеристике. Другой интересный класс представляют собой фильтры, позволяющие добиться одинаковых по величине пульсаций кривой времени запаздывания в полосе пропускания (аналогично пульсациям амплитудно-частотной характеристики фильтра Чебышева) и обеспечивающие примерно одинаковое запаздывание для сигналов со спектром вплоть до полосы задерживания. Еще один подход к созданию фильтров с постоянным временем запаздывания - это применение всепропускающих фильтров, называемых иначе корректорами во временной области. Эти фильтры обладают постоянной амплитудно-частотной характеристикой, а сдвиг фазы может меняться согласно конкретным требованиям. Таким образом, их можно применять для выравнивания времени запаздывания любых фильтров, в частности фильтров Баттерворта и Чебышева.