13

Казанский государственный технический университет им.А.Н.Туполева

Институт радиоэлектроники и телекоммуникаций

Кафедра радиоэлектронных и телекоммуникационных систем

Лаборатория «Электродинамика и распространение радиоволн»

В.Р.Линдваль Лабораторная работа № ви-106 Волны в прямоугольном металлическом волноводе

Казань, 2006 г.

1. Цель работы.

Целью работы является изучение волн в прямоугольном металлическом волноводе и исследование их структуры с помощью виртуальной лабораторной установки.

2. Подготовка к работе.

Перед выполнением работы необходимо изучить соответствующий лекционный материал, настоящее описание и, при необходимости, рекомендованную литературу [1, с.155-162, 189-197; 2, с.231-241; 3, с.234-250].

3. Краткие теоретические сведения.

Прямоугольный металлический волновод представляет собой металлическую трубу с размерами сечения (рис.1). Внутри волновод заполнен материалом с относительной диэлектрической проницаемостьюи относительной магнитной проницаемостью. На практике в подавляющем большинстве случаев внутри волновода находится просто воздух.

Рис.1. Прямоугольный металлический волновод

Анализ волновода прямоугольного сечения (рис.1) проводится в декартовой системе координат, так как при этом границы волновода легко совмещаются с координатными поверхностями. В волноводе могут существовать волны E и H классов, а Т-волны существовать не могут.

Е-волны

Решение задачи для E- волн должно удовлетворять волновому уравнению для составляющей и граничным условиям на стенках волновода, которые считаем идеально проводящими. Мембранное уравнение для продольной компоненты поля имеет вид

. (1)

Продольная составляющая поля является касательной к поверхности стенок волновода. На границе с идеальным проводником касательная составляющая электрического поля равна нулю, следовательно,

(при и ; y=0 и y=b) (2)

Искомая функция в уравнении (1) зависит от двух аргументов x и y. Уравнение решается методом разделения переменных: искомая функция представляется в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит от одного аргумента. Запишем

(3)

подставим (3) в уравнение (1), обозначив производные функции одной переменной штрихами:

/

Разделим полученное равенство на

. (4)

Уравнение (4) состоит из трех слагаемых: первое из них зависит от переменной x, второе - от переменной y, а третье - не зависит от этих переменных. Это уравнение должно удовлетворяться в любой точке поперечного сечения волновода. В частности, можно двигаться параллельно оси x, сохраняя y=const. Второе и третье слагаемые при этом постоянны. Но и первое слагаемое не может меняться, не нарушая уравнение (4). Следовательно, данное уравнение удовлетворяется лишь в том случае, если все его слагаемые постоянны. Обозначим

(5)

Тогда уравнение (4) превращается в уравнение для поперечных коэффициентов:

(6)

где - поперечный коэффициент по осих, - поперечный коэффициент по осиу.

Дифференциальные уравнения (5) являются линейные уравнения второго порядка ирешения которых известны:

(7)

(8)

Функции Х(х) и Y(y) должны удовлетворять граничным условиям (2), т.е. X(x) = 0 при x=0 и х=а; Y(y) = 0 при y=0 и y=b. Следовательно, B = 0 и D = 0, если положить в (7) и (8) х = 0 и y = 0.

Требуется также, чтобы при х=а и y=b выполнялись равенства

и (9)

При этом вдоль каждой стороны волновода укладывается целое число полуволн синусоиды распределения поля, а коэффициенты

(10)

где m=1,2,3,… и n=1,2,3,… - целые положительные числа. Ни одно из них нельзя принять равным нулю, так как тогда тождественно обращается в нуль.

Обозначим и получим решение для продольной составляющей поля в виде

(11)

Найденное решение существует только при определенных значениях поперечных коэффициентов и. Вместе они определяют поперечный коэффициент фазы волновода. Он зависит от выбора чиселm и n и определяет критическую частоту:

(12)

Каждой комбинации m и n соответствует своя структура поля , т.е. определенный тип волны, который обозначаетсяПервый индексm определяет число полуволн в структуре укладывающихся вдоль осиx, а второй n - число полуволн вдоль оси y. Чем больше значения m и n, тем выше .

По условию определяется частота, необходимая для существования волны соответствующего типа.

Поперечные составляющие поля волны :

(13)

(14)

Простейшая волна Е-класса с минимальными индексами m=1 и n=1 обозначается как . Она имеет минимальную критическую частоту из всех E - волн.

На рис. 2 представлена картина поля волны . На рисунке линии электрического поля сплошные, магнитного - пунктирные. Черными кружками изображены линии, направленные к читателю, крестиками - от него.

Рисунок поля любой волны образуется повторением рисунка поля волны, с изменением направления его линий.

Рис.2. Картина силовых линий поля волны

Н-волны

Мембранное уравнение для продольной компоненты поля имеет вид

(15)

Оно решается методом разделения переменных. Это решение имеет вид:

(16)

На границе с идеальным проводником касательная составляющая магнитного поля достигает экстремума:

, (17)

где n- направление нормали ко всем стенкам волновода.

Необходимо решить уравнения: приx=0 и x=a; приy=0 и y=b.

При этом получаем А=0, С=0 и идентичные (10).

Следовательно, для Е-волн и Н-волн выражения для поперечного коэффициента и критической частоты (12) одинаковы. Продольная составляющая поля Н-волны

(18)

Поперечные составляющие поля волны :

(19)

(20)

В данном случае допустимо, чтобы m или n были порознь равны нулю. Тогда поле не меняется по одной из координат. Однако, если положить одновременно m=0 и n=0, то , что приводит к нулевым поперечным составляющим, т.е. свидетельствует об отсутствии электромагнитной волны. Простейшие волны этого класса с минимальными индексами:H₁₀, H₀₁, H₁₁,…

Волну, обладающую в волноводе данной формы минимальной критической частотой, называют основной. Наименьшие индексы у волн и . Если принятьa>b, то и критическая частота волны меньше, чем критические частоты волн ,и всех остальных волн с еще более сложной структурой. Поэтому волна в прямоугольном волноводе с a>b является основной, а все остальные типы волн именуют волнами высших порядков.

Структура волны показана на рисунке в трех проекциях (рис.3). Структура поля волн получается повторением картины волны по оси х m раз, если менять каждый раз направление линий напряженности поля. Структуры поля волн образуются простым поворотом предыдущих изображений на, т.е. переменой осейx и y.

Рис.3. Картина силовых линий поля волны

Для образования остальных типов волн класса Н исходной является волна (рис. 4). Повторяя эту структуру по горизонтали с переменой направлений линий поля, можно получить поле любойН-волны.

Рис.4. Картина силовых линий поля волны

4. Описание лабораторной установки.

Внешний вид лицевой панели виртуальной лабораторной установки приведён на рис.5.

В верхней её части расположен заголовок «Структура поля в прямоугольном металлическом волноводе» и кнопка останова STOP.

Рис.5. Лицевая панель ВИ «Структура поля в прямоугольном металлическом волноводе»

На левом краю лицевой панели находятся регуляторы, задающие параметры волновода: размеры a и b в мм, относительные диэлектрическую и магнитнуюпроницаемости заполнения волновода. Ниже расположены регуляторы, задающие индексыm и n типа волны и частоту в ГГц.

В средней части лицевой панели расположен переключатель класса волн с положениями «Волна Е» и «Волна Н». Этот переключатель не срабатывает, если один из индексов волны равен нулю. Если оба индекса волны равны нулю, загорается табло «Ошибка в исходных данных».

Если условие распространения волны в волноводе не выполняется, загорается табло «Частота меньше критической».

В правой части лицевой панели находятся три регулятора координат точки внутри волновода: «Координата X в мм», «Координата Y в мм», «Координата Z в мм». Пределы регулировки генераторов связаны с регуляторами размеров и параметров волновода и волны: ,,, где- длина волны в волноводе. Ниже находится регулятор амплитуды волны в волноводе.

У правого края лицевой панели находятся 6 цифровых индикаторов, в которых выводятся компоненты векторов напряженностей электрического и магнитного полей в точке с заданными координатами.

Включение прибора осуществляется нажатием на двунаправленную стрелку в строке кнопок окна LabVIEW, расположенная правее заголовка кнопка STOP выключает виртуальную лабораторную установку.