Свойства операции умножения вектора на число

1. (дистрибутивность числового множителя относительно суммы векторов);

2. (дистрибутивность векторного сомножителя относительно суммы чисел);

3. (ассоциативность относительно числовых множителей).

Рис. 10.

Доказательство свойств.

Первое свойство доказывается геометрически, на основе подобия двух параллелограммов (двух треугольников) (рис.10). Например, при рассмотрим два подобных параллелограмма с коэффициентом подобия . Диагональ большого параллелограмма получается из диагонали малого умножением последнего на , следовательно, вектор, совпадающий с большой диагональю, равен . С другой стороны этот же вектор равен , следовательно, .

Остальные свойства очевидны также из геометрических соображений.

Линейные операции над векторами и свойства этих операций позволяют производить выкладки в векторной алгебре по тем же правилам, по которым производятся аналогичные выкладки в обычной алгебре.

Замечание. Если вектор , то он называется противоположным векторуи обозначается символом; очевидно, что .

УСЛОВИЕ КОЛЛИНЕАРНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ

Теорема. Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда существует число такое, что

Доказательство необходимости условия. Дано, что . Предположим, что : тогда, обозначив число через , получим: , откуда по определению,.

Доказательство достаточности. Дано, что ; из определения операции умножения вектора на число следует, что .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие бывают векторы?

2. Какие векторы называются коллинеарными? Какие – компланарными?

3. Дайте определение суммы векторов.

4. Дайте определение произведения вектора на число.

5. Сформулируйте условие коллинеарности двух векторов.

§2. Линейная зависимость векторов

Выражение называется линейной комбинацией векторов ; числа называются коэффициентами линейной комбинации.

Определение. Векторы называется линейно зависимыми, если существует линейная комбинация этих векторов, равная нулю, причем коэффициенты линейной комбинации не все равны нулю

Определение. Если только при , то векторы называются линейно независимыми.

УСЛОВИЕ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ

Теорема. Два вектора илинейно зависимы тогда и только тогда, когда.

Доказательство необходимости условия. Дано: илинейно зависимы, т.е. существуют числаитакие, что . Пусть , тогда или , где , откуда .

Доказательство достаточности условия. Пусть , откуда следует, что существует число такое, что или . Последнее равенство означает, что векторы и линейно зависимы (коэффициентами линейной комбинации служат числа 1 и ).

Условие линейной зависимости трех векторов

Теорема. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство необходимости условия. Дано: , где. Пусть , тогда можно записать, что или , где . Таким образом, вектор является диагональю параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. векторы компланарны, но , следовательно, компланарны и векторы .

Доказательство достаточности условия. Пусть векторы компланарны. Если среди них есть коллинеарные, то они уже линейно зависимы. Например, если , то и.

Рис. 11.

Если среди векторов нет коллинеарных, то приводим их к общему началу и строим параллелограмм с диагональю, например, совпадающим с вектором , и сторонами параллельными и (рис. 11). Тогда , откуда , где

, т.е. векторы линейно зависимы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какое выражение называется линейной комбинацией векторов?

2. Какие векторы называются линейно зависимыми и какие линейно независимыми?

3. Сформулируйте условия линейной зависимости двух векторов, трех векторов.