Тема 10. Разностные уравнения импульсных систем

10.1. Основные понятия о разностных уравнениях

Будем полагать, что входным сигналом системы, приведенной на рис.9.2, является не а последовательностьмгновенных значений непрерывной функцииВ качестве выходного сигнала системы будем рассматривать последовательностьy(iT) мгновенных значений непрерывного сигналаy(t). Условно это отображено на рис. 10.1. наличием ключа на выходе непрерывной части.

Часто оказывается удобным считать расстояния между дискретными значениями функции равным единице. При этом вводится понятие об относительной переменной времени а решетчатая функцияпредставляется в виде функции

Скорость изменения решетчатой функции характеризуется разностью первого порядка, которая является аналогом производной непрерывной функции времени. Разность первого порядка (первая разность) для любой последовательностиf(i) определяется в момент временикак разность между будущим значением последовательности прии текущим значением приt=iT:

(10.1)

Аналогом второй производной непрерывной функции для последовательности является конечная разность второго порядка или вторая разность

(10.2)

Разность -го порядка определяется рекуррентным соотношениемили в общем виде

(10.3)

где - биноминальные коэффициенты.

В качестве аналога дифференциального уравнения можно рассматривать уравнение в конечных разностях

(10.4)

где

Однако при исследовании дискретных систем удобнее пользоваться уравнением

(10.5)

которое получается из (10.4) с учетом (10.3). Оно и называется разностным уравнением.

Если ввести новую переменную времени то уравнение (10.5) можно представить в виде

(10.6)

более удобном для пошагового вычисления значений выходной величины при

10.2. Решение разностных уравнений

Разностные уравнения по существу являются рекуррентными соотношениями, позволяющими при последовательно шаг за шагом (т.е. рекуррентно) вычислять значения выходной величиныпри заданных ее начальных значениях и любых заданных аналитически, графически или таблично значениях входной величины

Выразим из уравнения (10.6) текущее значение выходной величины

(10.7)

Значения выходной величины являются предыдущими по отношению к текущему значениюy(k). Так как временной интервал поиска решения уравнения (10.7) начинается со значенияk=0 (t₀=0), то величиныдолжны быть заданы как начальные значения, например,y(i)=0 приi<0. Тогда при заданных значениях входной величиныu(i) из уравнения (10.7) можно последовательно найтиy(0),y(1),y(2),…

Пример 1.Найти значенияy(k),k=0, 1, 2, 3,…для разностного уравнения

y(i+2)-0,27y(i+1)+0,135y(i)=0,865u(i+1)(10.8)

При начальных значениях y(k)=0 приk<0 и единичной входной последовательностиu(0)=u(1)=…=1,u(k)=0 приk<0.

Решение. Приведём уравнение (10.8) к виду (10.7):

y(i)=0,27y(i-1)-0,135y(i-2)+0,865u(i-1). (10.9)

Используя начальные условия, получим:

и так далее.

Общее решение неоднородного разностного уравнения (10.5) и (10.6) представляется в виде суммы переходной и вынужденной составляющих. Переходная составляющая, т.е. общее решение однородного уравнения

(10.10)

определяется по аналогии с решением дифференциального уравнения в виде

(10.11)

Введем новую комплексную переменную

. (10.12)

Подставим (10.12) в выражение (10.11) и, опуская для упрощения записи параметр Т, получим решение однородного разностного уравнения в виде

, (10.13)

где С– константа, зависящая от начальных условий.

Подставим решение (10.13) в однородное уравнение (3.23):

(10.14)

Из выражения (10.14) следует, что

(10.15)

Решая характеристическое уравнение (10.15), найдем корни Еслинекратные корни характеристического уравнения, то переходная составляющая общего решения неоднородного разностного уравнения

(10.16)

Из (10.16), в частности, вытекает условие затухания свободного движения системы, описываемой разностным уравнением (10.5), т.е. условие устойчивости:

(10.17)

Вынужденную составляющую определяют по виду правой части уравнения (10.5).

Пример 2.Найти общее решение неоднородного разностного уравнения (10.8).Решение.Характеристическое уравнениеимеет пару комплексно-сопряженных корней

где

Так как условие (10.17) выполняется, система устойчива.

Общее решение однородного уравнения (переходная или свободная составляющая ) имеет вид:

(10.18)

Вынужденную составляющую y_Вищем по виду правой части уравнения (10.8), значения которой с течением времени не изменяются. Это значит, что после затухания переходной составляющей (10.18) призначения выходной переменной будут оставаться неизменными и равными вынужденной составляющейy_В, т.е. при. Так как, то из (10.8) получим вынужденную составляющую в виде:

(10.19)

Общее решение неоднородного уравнения (10.8) получим, сложив выражения (10.19) и (10.18):

(10.20)

Чтобы найти константы ивычислим значенияy(0) иy(1) из уравнения (10.8):y(0)=0,y(1)=0,865.

Подставляя значения y(0)=0,y(1)=0,865 в (10.20), получим уравнения

из которых найдемC₁=C₂=-0,5.

Искомое решение получим в виде:

(10.21)

Подставляя в (10.21) значения i=0,1,2,…, получим тот же ряд значенийy(i) (табл.10.1), что и при рекуррентном вычислении по формуле (10.9).

Таблица 10.1

	0	1	2	3	4	5	6	7
	0	0,865	1,0985	1,0448	0,9988	0,9936	0,9984	1,0004