книги / Многоцикловая усталость при переменных амплитудах нагружения

альыых условиях эксплуатации, а также из-за большой сто­ имости усталостных испытаний (особенно при нерегулярном нагружении в связи с их длительностью) предложен ряд спосо­ бов замены чисто экспериментальпых методов реализации этапов определения долговечности методами, использу­ ющими расчеты с помощью ЭВМ и предполагающими приме­ нение экспериментально определяемых характеристик ма­ териала, получаемых на гладких образцах при регулярном нагружении.

Рассмотрим поэтапно некоторые варианты моделирования локального поведения материала и расчетного опреде­ ления усталостной долговечности. Первым этапом модели­ рования является этап определения локальных напряжений и деформаций при нерегулярном циклическом нагружении.

Определение локальных напряжений и деформаций по известным поминальным напряжениям стн (t) (или по нагруз­ ке Р (t) = а<зи (/), где а — коэффициент, зависящий от гео­

метрии детали и концентратора) осуществляется с помощью известного соотношения Нейбера [127], связывающего кон­ центрацию напряжений и деформации в случае упругопла­ стического поведения материала с теоретическим коэффици­ ентом концентрации К :

куда входят размахи соответствующих величин. Последнее соотношение связывает нагрузку, локальные напряжения и деформации, поэтому для определения каждого локально­ го параметра (о (t), либо е (t), либо зависимости a (f) — е (t))

необходимо использовать еще одну связь между o n e . Такая связь может быть получена в предположении, что о и е ведут себя так же, как напряжения и деформации в гладком образ­ це, и с использованием ряда предположений о характере свя­ зи а и е при циклическом нерегулярном нагружении.

При циклическом нагружении зависимость а — е имеет

вид петли гистерезиса, при этом в случае симметричного на­ гружения на стадии стабилизации параметров петли (что со­ ответствует примерно половине усталостной долговечности гладкого образца) точки петель, соответствующие изменению направления деформирования (например, А, Б, В, Г, Д , Е

(рис. 63, а)), образуют диаграмму амплитуд циклического де­ формирования, которая может быть использована для оценки

Щ

Рис. 63. Петли гистерезиса и диаграмма амплитуд циклического де­ формирования.

формы диаграммы деформирования в каждом полуцикле нагрузки и разгрузки. Приближенно диаграммы деформиро­ вания можно описать удвоением диаграммы амплитуд цикли­ ческого деформирования, как показано на рис. 63, б, где кривые деформирования, образующие петли гистерезиса, смещены и сопоставлены с линией ОАБВ (рис. 63, а). Таким

образом, если диаграмма амплитуд циклического деформи­ рования описывается функцией

т. е. форма кривых деформирования в каждом полуцикле, описывается функцией

С учетом того что петли гистерезиса в координатах а — е смещены относительно начала координат, уравнение восхо­ дящих отрезков петель гистерезиса приобретает вид

а нисходящих отрезков

где в'а, о'а — координаты точки предыдущего изменения на­

правления деформирования.

Уравнения петель гистерезиса (3.40) и (3.41) в сочетании с правилом Нейбера (3.37) позволяют построить диаграммы деформирования а — в, например, для истории нагружения, изображенной на рис. 64, а (в номинальных напряжениях),

Щ

Рис. 64. Определение локальпых диаграмм деформирования с помощью пранила Ненбера (штриховая и штрихпунктпрная линии — гииербола, Иейбера, соответствующая текущему и предыдущим размахам соответственно).

Первый размах напряжений Дсп,, соответствует нагружению по кривой амплитуд циклического деформирования (3.38) до пересечения с гиперболой Нейбера (3.37) (рис. 64, б), т. е. до значений ааь e„i, при подстановке которых в правую часть выражения (3.37) получаем величину, соответствующую размаху Д<Т1Н, т. е. для нахождения aai и eai получаем урав­

нения

Bal == / (CTal);

(AA<T„i)2//£ =

Деформирование локального объема, соответствующего размаху номинальных напряжений A<T2;I. производится со­

(рис. 64, г).

При более сложных историях изменения номинальных напряжений, таких, как показано на рис. 62, а, диаграммы циклического деформирования образуют замкнутые петли гистерезиса (см. рис. 62, е).

Для расчета реализующихся в процессе нерегулярного деформирования петель гистерезиса, выделение которых является основой для дальнейшего подсчета накопленного повреждения, разработаны правила, основанные на экспе­ риментальном изучении диаграмм циклического деформиро­ вания гладких образцов [205, 206]. При этом предполагает­ ся наличие эффекта памяти (см. рис. 62, а), когда диаграмма циклического деформирования достигает точки 2 \ замыкая петлю 2—3—2', дальнейшее деформирование материала про­ исходит по диаграмме 1—2—4 так, как будто не было проме­ жуточного цикла 2—3—2\ В более общем виде можно сфор­

мулировать такие правила выделения замкнутых петель

гистерезиса, которые, как Легко видеть, тесно связаны и полностью согласуются со схематизацией нерегулярной на­ грузки методом потока дождя и полных циклов:

а) когда деформация достигает значения, при котором ранее было изменено направление деформирования, диаграм­ ма циклического деформирования замыкает петлю и дальней­ шее деформирование происходит так, как будто не было ре­

ния (соответствующие экстремумам нагрузки) исключаются из дальнейшего рассмотрения закона циклического деформи­ рования.

Изложенные правила построения диаграмм деформирова­ ния могут быть применены для любой истории нерегулярно­ го циклического нагружения. Единственное дополнение, которое пе является слишком ограничительным, заключает­ ся в том, что история нагружения должна начинаться и за­ канчиваться наибольшим пиком нагрузки. При этом все полуциклы объединяются в пары, образующие петли гисте­ резиса, а в первом (наибольшем) пике нагрузки кривая де­ формирования совпадает с диаграммой амплитуд цикличе­ ского деформирования. Таким образом, этап моделирования поведения материала в вершине надреза завершается постро­ ением совокупности замкнутых петель гистерезиса, т. е. за­ висимости a (t) — е (t)> соответствующей заданной номиналь­

ной нагрузке.

В качестве возможных иных подходов к моделированию локального поведения материала следует упомянуть, вопервых, использование в соотношениях Нейбера вместо тео­ ретического коэффициента концентрации эффективное его значение и, во-вторых, определение связи номинальной на­ грузки с локальными параметрами напряженно-деформиро­

рые применялись для определения локальных зависимостей о (t) — е (t), а форма диаграммы амплитуда номинальной на­

грузки — амплитуда локальной деформации определяется численно путем решения соответствующей упругопластиче­ ской задачи. В принципе возможен подход, основанный на решении упругопластической задачи для каждого полуцикла нагрузки, однако в настоящее время оп не может быть реализован из-за больших затрат машинного времени.

Следующий этап прогнозирования долговечности заклю­ чается в расчете усталостного повреждения от выделенных циклов нагрузки. Этот расчет осуществляется на основе

линейной гипотезы суммирования повреждений и предпола­ гает известной усталостную долговечность материала (глад­ кого образца), подвергнутого циклическому регулярному нагружению с параметрами того цикла, повреждение от ко­ торого рассчитывается.

При расчете усталостной долговечности в ряде работ предлагается рассматривать два случая. Первый случай — когда упругая часть размаха Де деформации цикла, т. е. Да/Z?, больше размаха пластической деформации, т. е. Дер, и второй случай — когда реализуется противоположный знак

неравенства — <; Дер. В первом случае долговечность

определяется до параметрам цикла в напряжениях — ам­ плитуды аа и среднего ат с использованием, например,

степенного уравнения кривой усталости и наиболее адекватпого способа учета среднего напряжения цикла. Во втором случае повреждающее значение цикла определяется разма­ хом пластической деформации цикла, которая связана с долговечностью степенным уравнением типа Коффина — Мэй­ сона [138], при этом принимается, что среднее значение на­ пряжений и деформаций цикла (т. е. положепие петли гисте­ резиса па плоскости а — е) не влияет на долговечность.

Метод прогнозирования долговечности при эксплуатаци­ онном нагружении, основанный на расчете локальных на­ пряжений и деформаций, обладает тем преимуществом по сравнению с методом номинальных напряжений, что комплекс­ ным образом учитывается взаимосвязь механических харак­ теристик материала, истории нагружения и геометрии де­ тали, при этом учитывается влияние средних напряжений циклов (в том числе и обусловленных остаточными напряже­ ниями). Кроме того, исходные данные для применения рас­ чета с помощью локальных характеристик получаются при испытаниях гладких образцов и не зависят от формы исследу­ емой детали и концентратора напряжений. И хотя расчеты долговечностей для реальных историй нагружения требуют применения ЭВМ и большого расхода машинного времени, преимущества и перспективность подхода, основанного на рассмотрении локальных деформаций, не вызывает сомнений.

5.ВЕРОЯТНОСТНАЯ ОЦЕНКА УСТАЛОСТНОЙ ДОЛГОВЕЧНОСТИ

СПОМОЩЬЮ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТРАКТОВКИ ГИПОТЕЗ НАКОПЛЕНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ

Вбольшинстве работ, посвященных изучению закономер­ ностей накопления повреждений, соотношения для прогнози­ рования долговечностей трактуются в детерминистическом

Здесь N 0 — базовое число циклов; q — ад — индивидуаль­

ный предел выносливости, рассматриваемый как случайная величина, распределенная по закону Вейбулла

где а0 > О, а0 > 0, а 1 — константы трехпараметриче­

ского распределения (параметры сдвига, масштаба, формы). Целесообразность использования таких моделей ограни­ чена в связи с необходимостью априорного принятия пред­ положений о форме уравнения индивидуальной кривой усталости и зависимости параметров этого уравнения от инди­ видуальных свойств образца, а также принятия вероятностной модели для описания изменчивости этих свойств. Следует учитывать, что обычно эти предположения затруднитель­ но или даже невозможно подвергнуть экспериментальной

проверке.

Другой подход, предназначенный для статистической трактовки линейной гипотезы накопления повреждений (и который может быть обобщен и на другие гипотезы), заклю­

где Np (<Ji) — квантильная кривая усталости (кривая рав­

ной вероятности усталостного разрушения).

Как показано в работе [9], соотношение (3. 46) является следствием (3.1), например в случае специальной модели, в которой предполагается, что

ная величина, отражающая статистический разброс долго­ вечности при фиксированном а.

Очевидно, что выражение (3.47) является обобщением модели (3.44). Это указывает на определенную общность рассмотренных статистических трактовок линейной гипоте­ зы (3.1). Предположение типа (3.46) позволяет достаточно просто оценивать квантили распределения долговечности, назначать безопасный ресурс и т. д. Недостаток модели (3.47) заключается в том, что дисперсия величины lg N оказывает­

ся не зависимой от уровня нагрузок а, что не всегда соответ-

ствует действительности [160, 161]. Из выражения (3.47) следуют соотношения, обычно проверяемые при эксперимен­ тальном исследовании долговечности при программном на­ гружении:

(3.48)

i=i

(что следует из выражений (3.46) и (3.47) при симметричном распределении £);

(что следует из выражений (3.46) и (3.47) при симметричном распределении lg |).

С помощью подходов, аналогичных сформулированным равенствами (3.43) или (3.46), можно прогнозировать ресурс по параметру вероятности и с использованием гипотез, от­ личных от линейной. Так, в литературе имеется описание подхода, предложенного В. П. Когаевым [81], основанного на корректированной линейной гипотезе Серепсена — Когаева, причем предполагается нормальное распределение пределов выносливости и применяется уравнение кривой усталости в виде (3.44).

Статистическая модель усталостного разрушения, пред­ назначенная для описания индивидуальных свойств образ­ цов и представленная формулами (3.44) — (3.45), является достаточно типичной для класса моделей, в основе которых лежат два следующих основополагающих утверждения:

1. Существует кривая усталости индивидуального об­ разца, выражаемая в виде детерминироваипой убывающей зависимости N от а (т. е. предполагается, что развитие

усталостного повреждения определяется «начальным каче­ ством» образца) [82, 83].

2. Кривые усталости индивидуальных образцов либо не пересекаются, либо совпадают.

Сформулированные утверждения невозможно непосред­ ственно проверить экспериментально. Косвенное подтвержде­ ние справедливости этих положений может быть получено с использованием измерений в процессе нагружения физи­ ческих величии (например, рассеяния энергии, неупругости, параметров акустической эмиссии и т. п.), которые лучше коррелируют с долговечностью, чем пагрузка сг, и поэтому позволяют на начальных стадиях испытаний «индивидуа­ лизировать» образцы [28, 168, 171, 173]. Основное значение изложенных положений заключается в том, что из них сле-

I4ie. 65. Различные модели для описания статистического разброса усталостной долговечности:

дует совпадение квантильпых кривых усталости с индиви­ дуальными кривыми усталости, что позволяет трактовать гипотезы суммирования повреждений, обычно формулируе­ мые для индивидуальных образцов, в статистическом аспек­ те, с помощью подходов квантильпого суммирования, папример (3.46). Примеры различных моделей для описания ста­ тистического разброса долговечностей представлены на рис. 65. Модели такого типа предполагают задание уравне­ ния кривой усталости N = N (p/q) в зависимости от парамет­ ра индивидуальных свойств образца q и закона распределе­ ния F (q) случайной величины q [17, 37, 51, 74, 81, 126, 173].

Наиболее простой и распространенной является модель типа а, для задания которой необходимо определить наклон кривой усталости b (обычно в логарифмических координа­ тах), точку перелома кривой усталости N0l тип и параметры распределения предела выносливости OR на базе N 0 (распре­

деления Вейбулла, нормальное или логнормальное). Для задания моделей типа б необходимо задать 8акон совместно­

ления долговечностей и <JRN не могут вводиться независи­

мо. Действительно, рассмотрим соотношение, определяющее кваитильную кривую усталости для логнормального распре­ деления долговечности в виде (1.59), которое можно запи­ сать так [82]:

где а (а) = Е (lg N ), b (а) = Sjg N — параметры распределе­ ния lg N в зависимости от а; Ф (г) — функция Лапласа.

Соотношение (3.50) можно интерпретировать как функ­ цию распределения пределов выносливости ORN на заданной базе N . Для этого необходимо задать в явном виде зависи­ мости Е (lg N) и sig N от <j. Тогда для плотности распределе­ ния р справедлива формула

откуда следует, что о имеет логнормальное распределение с

параметрами

В ряде сл учаев действительно приходится вводить в логнор­ мальное распределение предела выносливости порог [161]. Иногда для упрощения расчетов целесообразно заменять логнормальное распределение о на нормальное, что можно

Статистическая трактовка гипотез суммирования повре­ ждений позволяет осуществлять прогнозирование долговеч­ ности по параметру вероятности разрушения. Так, кваптильная запись расчетных соотношений позволяет определять долговечность при случайном нагружении N CP, соответст­ вующую вероятности разрушения Р. Для линейной гипоте­ зы N cp определяется по формуле