книги / Составные стержни и пластинки

y w = - M ° " I Z E 3 = q . l E £ j .

В случае абсолютно жестких связей сдвига (4 =ов) получим мо­ нолитную балку, изгибающуюся, согласно уравнению:

у 11- - М ы! (Е0 J o ).

36. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УПРУГОЙ ОСИ СОСТАВНОЙ БАЛКИ

Приведем некоторые решения для прогибов составной балки из двух брусьев, шарнирно опертой по концам со свободными для

Располагая начало координат в середине пролета балки, можно ограничиться только симметричной частью решения (2 ):

Введем обозначение

1/J>= 1 / Е Е З - l/(E- 7 J ,

Вторые члены в скобках формул (4) и (5) представляют собой прогиб монолитного стержня, -а первые —добавки, возникающие в результате податливости связей сдвига.

Если в торцах балки имеются жесткие препятствия сдвигам, то вместо граничных условий (3) надо положить

что означает отсутствие сдвигов по шву и сдвигающих напряже­ ний Т-

2 . Балка, нагруженная в середине пролета сосредоточенной си­ лой. Располагая начало координат на левой опоре, получим урав­ нение

y * - f y " = f p X/ (2 E 0 J0 )

и его решение:

На левом конце балки, поскольку М(0)~ О,

у ( О ) - 0, у “(О) ~ О}

следовательно,

Cz + C4 * 0 - A ZCZ = О ; С ^ С ^ О .

Поэтому

y = C l S h bx + C3 x ~ Рх3/ ( 12 Е0 3„).

В середине пролета при я - Z.

124

3.Балка, нагруженная равномерно распределенной нагрузкой

-const Ввиду симметрии нагрузки начало координат берем в середине пролета {I —половина пролета балки). Уравнение (34.11)

принимает вид

Подставляя (12) в условия (13), получим уравнения:

12S

Рис. 63

В середине балки имеем условия:

у '(1 )= 0 ; г ( 1 ) =0,

откуда следует:

Х С ,с Ь П 1 - А С г * н м + С } - Р 1г/ ( ЧЕв э0 )= 0;

W * £ E t y m(t)=0; P liZ E l+ fc ,сЬАU A \ s b h l ' P / U e ^ O i ^

cbA l * A 3Cl s h A l C- P / ( 2 D ) .

(37.5)

Поделив (5) на А1 и вычтя из (4), найдем:

С3* Р12/ (4Е0 U0 )+Pf(2A*~D)t

(37.6)

а подставив в (5) значения £f из (2 ) и £,из (3 ):

Теперь, используя выражения (2), (8 ), ( 1 ) и (6 ), можно написать:

(37.8)

Консольная балка длиной I , нагруженная на свободном конце сосредоточенной силой Р, а на другом конце жестко заделанная с отсутствием сдвигов по шву (рис. 64, а ) , эквивалентна половине шарнирно опертой балки, имеющей пролет 21 и загруженной в середине пролета силой —2Р (рис. 64, б ) . При этом прогибы кон­ сольной балки уксвязаны с прогибами шарнирно опертой балки е/ш зависимостью

Поэтому уравнение изогнутой оси консольной балки можно легко получить из выведенных ранее формул для прогиба шарнирно опер­ той балки, нагруженной сосредоточенной силой в середине про­ лета.

При свободном сдвиге на конце консоли получим, согласно (1), из формул (36.10) и (36.11), заменив в них у на у^и/^на 2 Р

При жестком закреплении против сдвигов на свободном конце консоли и таким же образом из формулы (37.8) получим

у - У к = S h M + s h A x + tfi - j f ( C h A l + c h A x ) +

X

Рис. 64

Формулы для прогибов консоли, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой приведем без вывода.

При отсутствии закреплений против сдвига на торце:

При жестком закреплении торца против сдвигов:

39. ПРОГИБ БАЛКИ, ЗАДЕЛАННОЙ ДВУМЯ КОНЦАМИ

Уравнение упругой оси балки, заделанной обоими концами, можно получить, суммируя решения для шарнирно опертой балки

и для балки, изогнутой постоянным моментом Л/, значение которо­ го определяется из условия равенства нулю угла наклона упругой оси на опорах.

Возьмем балку со свободными в отношении сдвига торцами, на­ груженную в середине пролета сосредоточенной силой Р. Из урав­ нения (36.10), выведенного для такой же балки с шарнирными опорами, получим: