книги / Составные стержни и пластинки
..pdfТ = С„ ChAx + С ~ а с * 2/ ( П Е Е З ) . |
(25.1) |
|
Z |
r |
|
На концах балки при у = t |
граничные условия будут |
|
Т ( 1) = 0 ; |
т " ( 1) = 0 . |
|
После подстановки в них (1) и определения из полученных уравнений произвольных постоянных ^иС^ получим окончательно:
(25.2)
Т ~Т - - |
3 |
ЗГА S E O |
|
Первые члены в обоих равенствах представляют собой значения Т и ‘Г, возникающие в монолитной балке, а вторые члены выражают влияние податливости связей сдвига. Действительно, если податли вость связей сдвига равна нулю, то А =? оо , и выражения (2) будут:
|
|
|
q c x |
|
|
Т=Тм ~ Z P Z E J (г ~ Л |
‘ |
|
|
|
|
Поэтому выражения (2) можно представить так: |
|
|
|||
K c h M - c h b x ) 1 |
, |
|
s h M |
\ |
(25.3) |
т - тм 1- А г (£г~хг)сЬА< |
|
|
M e t , Л i |
)■ |
|
|
|
|
|||
В середине пролета при х = О |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
(25.4) |
-~ги ( / - A1 l z |
A 2- t 2, ch А1 |
- ) |
|
||
|
|
||||
Максимальные скалывающие напряжения возникают на опорах при х - 1
Тmax - 2гм (m a x ) |
(25.5) |
ЭДе Г м (m ax У —максимальные скалывающие напряжения в монолитной балке.
Касательная к эпюре скалывающих напряжений горизонтальна в точках х - ± I (рис. 45, F), так как
T'(t)=0 ,
Для определения напряженного состояния такой балки (рис. 46, а) воспользуемся методом начальных параметров. Ранее было приведено общее решение (8.3) дифференциального урав нения (8.1) при любой нагрузке:
л
Т - sh Ах + С chAx + (4 /A)J A ( t) s h A ( x - t ) d t ;
2 0 х
V - A c h Ал +Cz A shA * +<£ J л (VchA(x-t)ct-t.
О
Заменим произвольные постоянные С\ и ^начальными значения ми Т и Т , которые принимают эти функции при х = 0~Тои г. Полу чим формулы, необходимые для применения метода начальных параметров:
Л
T=7^cbAx + ^ - s h A x |
+-J- f A ( t ) s h A ( x ~ t ) d ± 3 |
|
Л |
О X |
' (26. D |
Т -Ъ сЬХх +-Т AshАх +<;jAUJebA (x-i)dt |
|
|
В рассматриваемом случае нам известны значения 7^=0 и T(L) - = 0. Поэтому можем написать следующее уравнение, в котором неизвестной величиной является Г0:
T(L) = - $ L .ShAL + -$- f A W s h h l L - V c L t . |
(26.2) |
О
Свободный член 4
А А (х) |
Z £ ^ |
E B J |
|
|
на участке от левой опоры до точки х —а приложения силы Р, а |
|
на участке от точки приложения силыР до правой опоры |
|
А = - |
r i z L - Л - и - х ) |
|
E E J |
|
L |
Вычисляя интеграл j£ mA *(t)sJS hML—t)dt i:t отдельно по участкам
от £= 0 до ^ |
и от i* = a<х |
до |
~ I , |
получим |
|
L |
|
|
|
|
|
j A ( t ) s h A ( x - t ) d t |
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
Ш т ! а |
U |
~ t ) d |
i - Z P I i J ^ |
iLay |
|
~(*-~Q-)shAL ].
Из уравнения (2 ) находим:
Г=-----
0 Sh
Подставляя это значение Х0 , а также Т0— 0 в первую формулу
( 1) , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'T- |
Рс |
|
|
s h A ( i - a ) { L - q |
Sh Ал -h |
||||
2TLZEJ - |
н |
- |
|
sh А а |
|
А |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
. |
Л |
|
|
|
|
|
|
|
t |
-4j—J |
Л (-t)shA (* ~ 't) d t . |
|
|
||||
Для левого участка балки (0<х<0) |
|
|
|
|
|||||
* |
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
J A < t > s h A ( x - t ) d t = ~ ^ j 2 2 £ - J t s h A ( x - t ) d t = |
|||||||||
|
P ( L - a ) c , , |
, , ^ |
|
|
|
||||
И |
Pc |
j' L ~ a |
з |
shA ( L - a ) s h A x |
|
||||
|
|
||||||||
Т = 2Г2ЕJ |
L |
L |
|
|
A s h XL |
|
(26.3) |
||
|
Pc |
f L - q |
|
s h Л ( L - CL) |
|
|
|||
|
|
Ch Ax |
|
||||||
Z - T = P Z E J [ h |
|
S h A h |
|
||||||
|
|
|
|
||||||
Для правого участка ( a < x<L ) выражение для T можно полу |
|||||||||
чить, заменив ачерез Ь а их через |
1 - х |
|
|
|
|
||||
Г= |
Р с __ Г a ( L - x ) |
|
s h A d ’ShA (Ь - х ) |
|
* |
||||
L |
Ь |
|
|
A sh A L |
|
||||
|
|
|
|
||||||
f - r L |
Рс |
|
|
|
S h |
A CL |
•ch A (L-X;|J- |
||
дГХЕЭ |
1 |
- Г |
|
S h A L |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
Эпюра Г показана на рис. 4 6 ,5. Максимальные сдвигающие напря
жения Ттах возникают в сечениях а |
= 0 и x —L . |
|
||
t ( o ) ~ |
Рс Г L -а. |
s h А ( L -а.) 1. |
||
t r Z E J l |
и |
s h A d |
] ’ |
|
|
|
Р с |
s h A a |
(26.4) |
V ( L ) |
\ |
|||
|
s h A L |
j |
||
|
r E E J |
|||
Последние два выражения представляют собой функции влия ния сдвигающих напряжений на опорах, умноженные на величину груза Я, и графически выражаются линиями влияния Х0 и??/).Мак симальная ордината в этих линиях влияния располагается не над
соответствующими опорами, а на некотором расстоянии от них (рис. 46, в ).
Если принять во внимание выведенное ранее соотношение (22.5)
C / 7 Z E 3 = S „ / J M ,
то формулы (3) и (4) можно преобразовать к виду:
Г =Гм |
|
L |
s h A ( L - g ) sh Ax |
|
||
|
L - a |
s h A L |
|
Ax |
1 ‘ |
|
г - т м |
|
L |
s h A (L-a) |
ch Ax |
|
|
|
L - a |
sh x L |
|
|
||
-для левой части балки и |
|
|
|
|
||
|
|
|
s h A a |
$h A ( L - x ) | . |
||
II |
|
> - 4 - |
s h X L |
^4 |
s4! 1 |
4 |
|
—1 |
|||||
|
} |
|
s h A a |
|
|
> |
II |
--------I |
г |
L'hX(L - x ) J |
|
||
s h A L |
|
|||||
|
|
|
|
|
||
(26.5)
(26.6)
- для правой части балки.
Через и Тм здесь обозначены соответственно сдвигающие усилия и напряжения в монолитной балке того же сечения.
В частном случае, когда груз Р приложен в середине пролета бал ки, формулы (5) получают вид:
T =T ( I ----------1-______S^ |
X |
сЬАх |
(26.7) |
|
Ch(ALlZ) |
||||
Ch(ALjz) |
А х |
|||
(для левой части балки). Максимальное напряжение при этом |
||||
|
|
. AL .. XL |
||
м(тах)\ |
Chf AL/ 2 |
) 2 |
Ц* |
|
Если на балке имеются два одинаковых груза Р t находящихся на равных расстояниях от середины пролета (рис. 47), то можно
получить из формул (3 ) |
- |
(6 ) для крайних участков балки: |
|||
Рс |
[ й 1,(т 4 |
|
ы , . J |
= 7“ |
chA ( - г - a ) |
|
-------- 7 -7 ----------- shAx-1 |
||||
гп Е З |
_Ach( ALf 2) |
|
M l A x c h ( A L / 2 ) |
||
Г=~ |
Ре |
|
|
M x - l J = r u j-ChX (■ it-a) |
||||
7 £ Е Э |
chfM /2) |
|
|
Cft ( A L /2 ) ChXx -1 |
||||
а для среднего участка балки: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
Рс |
shXa-chxi'jt~х) |
д |
shX<l’CbA{-jr-x) |
||||
7= |
= 7 |
|
Ха ch(XLfZ) |
|||||
7TZLE? |
A ch(XLfZ) |
J |
**1 |
|
||||
|
|
|
Pc' |
s h X a -shX ("T” |
|
|
||
|
Т - |
- TfZEd |
ch (AL/2) |
|
|
|||
Максимальное напряжение t ma)l возникает на опоре |
||||||||
|
|
Рс |
1- cbhik:- £ | = |
r |
|
|
c h X ^ - a ) |
|
tmax= tTS£J |
eh (XL f2)) J |
W ^/ПЯХ/> |
' |
ch(AL/Z) J |
||||
Максимальное сдвигающее усилие 7 в середине пролета
= |
т (i |
shXa__________ Y |
max |
|
Л |
« V |
Ад. ch(XL/2) ) |
27. БАЛКА >НАГРУЖЕННАЯ СИНУСОИДАЛЬНОЙ НАГРУЗКОЙ
Для этого случая (рис. 48) воспользуемся решением, данным в п. 14. Ряд (14.1) здесь будет представлен одним первым членом
Чс Sin ~
^ 1г т Ш ш и Ш 1{ т т ^ г г
А
* X |
’ |
|
L |
|
. ' |
T TYTW W |
Эпюра т |
■■
О4 0 L Z
й ^ 9о Sin. (ТГх/L)', |
М - ~ - ~ i |
sin |
( * r * / L ) , |
М °с |
9о I 2 с |
s in |
*Тл |
=А = |
|||
Z E J |
J T 2 Z E J |
|
ь |
Поэтому сдвигающая сила Т будет
Т -Т 0 sin (TTx/L).
Система (14.3) обратится в одно уравнение
|
9 О I* с |
|
(т + п г г У ъ - |
О, |
|
<7rz >EEJ |
||
|
||
откуда |
|
Й а ^ С |
% L2с sin (ЗГкft) |
; |
т = |
j r * Z E 3 ( T + f t ) |
Ж E F J |
Положив |
| = ° ° , получим сдвигающие усилия в монолитной бал |
||
ке: |
|
|
|
|
9 о 1 |
С Sin |
(JTx / L ) |
Поэтому |
м~ |
J r z 2 T £ E J |
|
|
|
2 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A ‘ L |
|
w V + J T 2/ ( L z $ ) |
TM Л 2 L г |
|
Эту формулу без большой погрешности можно применять и при других видах загружения. Так, для равномерно распределенной нагрузки в середине пролета получено (25.4)
Т=7^ ( 1 “ A z l z * X z L z ch(A L/Z))
Сравшетельные кривые зависимостей Т / 7^ от AL для синусо идальной и равномерно распределенной нагрузок представлены на рис. 49.
Скалывающие напряжения X при синусоидальной нагрузке распределяются по закону косинуса
cos (?TxfL)
” J T E B J 2Г+Яг/( 1 . г4) |
* |
X ZL ZJT Z 9 (27-1) |
г д е Тм—с к а л ы в а ю щ и е н а п р я ж е н и я в м о н о л и т н о й |
б а л к е . |
|
Отношение Т{тм — V в балке с синусоидальной нагрузкой не меняется вдоль пролета
X1 L2 |
= const. |
|
A2 L2 +Л2 |
||
|
Поэтому формула (23.6) для определения напряжений в составной балке приобретает здесь простой вид
Ж гбл + ^ 1 г 6 м
(27.2)
з г * - + Ь Ч . 1
Таким образом, продольные напряжения в составной балке при синусоидальной нагрузке являются средними взвешенными между напряжениями в монолитной балке того же сечения &м и напряже ниями в балке, лишенной связей сдвига бл , причем напряжениям 6Л придается вес Л", а напряжениям бм—вес А1 L z,
В частном случае^1=^Г напряжения б будут равны средней ариф метической бл и бм . При более короткой балке они будут приб лижаться к , а при более длинной и с более жеткими связями сдвига - к бМ.
28. БАЛКА С НЕСДВИГАЮЩИМИСЯ ТОРЦАМИ
Нами рассмотрено несколько случаев загружения балки, шар нирно опертой по концам и не имеющей каких либо препятствий у торцов к взаимному сдвигу отдельных брусьев. Граничные усло вия на концах такой балки были Т — 0, г"—0. Рассмотрим теперь шарнирно опертую балку, имеющую жесткую заделку, препят ствующую сдвигу на опорах (рис. 50). При этом на опорах вместе со сдвигом обращается в нуль .и сдвигающее напряжение Г. Мате матическое выражение граничных условий на концах будет
т'~ 0, |
Т " - \ г Т - 0 . |
(28.1) |
Возьмем случай равномерно распределенной |
нагрузки |
|
(см. рис. 45). Выше было получено общее решение для сдвигаю щих усилий Т в равномерно загруженной балке (25.1):
Т= Сz cb А х |
’ |
Z f Z E J |
|
откуда |
|
T " A C 2 s h A x - |
(28.2) |
Подставив в граничные условия
Т(±1)=0
Рис. 50
выражение (2 ) , найдем
,д о 1
z r ^ E D s h M
Отсюда |
9е |
sh АX |
\ |
|
Г= |
||||
2TZBJ |
s h A z |
) ' |
||
|
Суммарное сдвигающее усилие
Т= Г £ Е 1 |
г |
ch Л х |
|
Л |
sh хг |
( 2 8 3 ) |
|
|
|
|
где С —некоторая постоянная, которую можно найти из условия шарнирно* го опнрания на опоре (1):
т"~лгт- Q при Х=±1-
Подставив в это условие выражение Т (3), найдем
С - 1/Л2 - 1 г/ 2 .
Таким образом,
Г е _ *с
7ГВЕ 3
КII 2
В середине пролета
1( * |
t |
ch А к |
1 |
'1 1 |
Л |
s h X 1 |
tf- |
|
2 М |
ch Хх |
l |
[ » • Х г f l z - x z ) s h X l
7- - Т - |
4 е ( I * |
t |
|
1 \ |
0 T Z E 1 I 2 * А в ь х г |
л* /■ |
|||
На опорах |
|
|
|
|
т= т М ~ Т 1 Е 5 - ( - 1 * - - Т с П * гУ |
(Ж4) |
|||
Максимальные сдвигающие напряжения будут в точке, абсцисса ко торой определяется из.уравнения:
ChAx-shMf(At).
Общий вид эпюр Т vi Т показан на рис. 50.
Возьмем теперь случай сосредоточенной силы, приложенной в пролете балки с несдвигающими торцами (рис. 51, а). Подстав ляя во вторую формулу (26.1) значение ?(0) - 0 и T(L ) —0 , полу чим уравнение: