Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2916 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Прогиб и функцию напряжений выбираем в виде (6.65)			для ващемления или
(6.66) для скользящего края.
Зависимости Р0 — Р (С0) для рассматриваемых случаев при различных k — 1;
3; б и р = 1 приведёны соответственно на рис.		6.12 и 6.13. На риС. 6.14 и 6,15
даны зависимости Р(С0) при Л = 5	и различных	р = 1;	1,5; 2; 2,5;	3, пока
зывающие влияние параметра (1 на	величину Р0,
Оказалось [38], что результаты вычислений в пятом и четвертом				прибли-.
жении совпадают всюду, эа исключением области неустойчивости. Из				рис. 6.14

и6.15 видно, что параметр (1 существенно влияет на вначение Рй.

4.МЕТОД БУБНОВА-ГАЛЕРКИНА

Выражения (6.4) можно, использовав интегрирование по час тям и формулы Остроградского, привести к виду [81]

И ((L, (Ыи N2 , S) + i i , (Ми Мз, Я) + | ( s f ) +

+ щ™Н+ ~ ( N , D , + Sh) + АВрЛ lu+

+ { M JV I , N2 , S) + ± U (M U Мь Я ) + | ( ^ ) +

+ щ (N ih + S9i) + l H + АВрг] bü +

+	( M u М 2, Я)] + \|[-5-Ы М >.			Я ) ] -
	- AB		1 [B (W,9, + S9,)] +
+ 1 W		(N S 2 + S».)l + ЛВр,j bw\ A B ditf +
			Г
	-b î [$NV— N°ï 8uv+ {S V- s°}but +
	g
+	ÎQ* -	Q°) bw+	- M?vî 8&v] dst = 0,	(6.67)

где, согласно п. 2 гл. 1:

N, =, Ni cos2 Y "Ь 5 sin2Y + M sin2 т + j sin 2Y + щ ) H ~

— •£ sin 2y [ y sin 2y (М2 — M 1) -f- cos 2Y#

S, = -J sin 2T (N2- N,) + cos 2TS +		(c- \|^	+	H +
+ ( ^	+ TÇ1) [T sin 2T W , -	M ,) +	cos 2ТЯ],
Q! = cos Y (Qi — Wi$i — 5^2) + sin Y (Q2 — ^ 2^2 — SOi) 4-
+ { - SJT	I + -c¥ I ) [T 15,111i w - * 0 +			cos w	]
	AT,* = cos2YMI + sin 2YH 4- sin2Y^ 2.				(6.68)

Величины, помеченные нулями, считаются заданными на контуре. В выражении (6.67) усилия и моменты должны быть заменены


с помощью закона	Гука	деформациями, а последние — переме-
щениями. Вместо перемещений			и их вариаций	необходимо под
ставить выражения	(6.6)	и (6.7) и произвести		интегрирование.
В результате придем к системе			алгебраических	уравнений, ана

логичной системе (6.9). Найдя из этой системы постоянные a*, bk, Ck и подставив в (6:6), получим перемещения точек оболочки, отвечающие уравнениям равновесия при внешних нагрузках и заданным статическим граничным условиям.

Выражения в фигурных скобках равенства (6.67), приравнен ные нулю, представляют собой уравнения равновесия нелиней ной теории оболочек.

В теории оболочек применяются также уравнения, выведен ные на основе предположений для пологих оболочек, а именно уравнения смешанного типа. Последние имеют вид (6.43). Если в вариационном уравнении (6.43) контурные интегралы исчезают,

то из него следуют уравнения метода Бубнова — Галеркина			для
пологих оболочек:
$$R ntw dG — 0;	И Я 22&Ф<К? = 0 ,		(6.69)
о	о
где R u и R 22 находятся из выражения		(6.45).	Буб
На возможность и целесообразность		применения метода	Буб

нова— Галеркина к обоим уравнениям линейной теории пологих оболочек указал'В. 3. Власов [11], нелинейной — К. 3. Галимов

[15].

Раздельное интегрирование уравнений имеет то достоинство, что оба уравнения теории пологих оболочек удовлетворяются .с одинаковой точностью. Контурные интегралы исчезают, напри мер, в следующих случаях: а) при выполнении статических гра ничных условий на контуре; б) при жестком защемлении контура; в) при шарнирном опирании контура; г) при свободном опирании контура; д) при смешанных граничных условиях, состоящих из перечисленных выше.

J52

Раздельное интегрирование уравнений пологих оболочек воз можно также в некоторых других случаях [38].

Для получения решения задачи вариационным методом Буб нова—*Галеркина выше использовано начало возможных переме щений. Вообще, могут быть получены выражения, основанные на других вариационных принципах, например, на принципе возможных изменений напряженного состояния. Чаше всего этот метод связывают с условием ортогональности. Если обозначить

уравнение граничной	задачи через L (ф) = 0", а решение ф						искать
в виде		N

	Ф(<*>	P) = Е	aw («» Р)»
то по методу Бубнова — Галеркина
î \L (W у, (a, P) ABdadp = 0				( / = 1 , 2 ........ N).
G
Отсюда получаем систему нелинейных				алгебраических		уравнений
для определения коэффициентов а/.					являются	достаточно
Методы Ритца и	Бубнова — Галеркина
гибкими. Функции		а>(/>	не связаны никакими			дополни
тельными соотношениями		(ортогональность			и т. п.), кроме		под
чинения их граничным условиям			достаточно общего			характера.

Замечания относительно повышения точности решения задачи, изложенные в предыдущем параграфе, полностью переносятся на

метод	Бубнова — Галеркина.	/г
Вариационные методы во многих случаях являются единствен
но возможными для решения задач		теории оболочек. Это	отно
сится в основном к нелинейным задачам. Получающиеся			алгеб
раические уравнения также будут нелинейными и найти			их ре
шение	довольно сложно. Отсюда	вытекает, что рациональный

выбор координатных функций представляется весьма важным.

Достаточно часто				аппроксимирующие			функции в вариационных
методах задаются				в виде
				N		N
		ф (а, (3) = 2 а/<р4-(а,				(3) =	J	а Л ( а )	F»(p),
где	ф — искомая			i=i		i=i
где	ф — искомая			функция;	а,	(3 — криволинейные координаты-
В.	3.	Власов	в	качестве аппроксимирующих функций						Xi	и Yt
предлагал брать балочные функции [11].
	Пример У. Рассмотрим [13]				деформацию			гибкой	удлиненной	пластины,
шарнирно опертой			по длинным сторонам (см. рис. 2.1)						и нагруженной		равно
мерно		распределенной		поперечной	нагрузкой q.			Точное	решение такой		задачи
рассмотрено б гл.			2.
	Вариационное уравнение, согласно (6.67), запишется в виде
				h
				d4w		d'Àw	bwdy = 0.
				DAI di/4 ~~		dy2	bwdy = 0.
				DAI di/4 ~~		dy2

			ъу
		W= CjCOS 2J I			(6.71}
					(6.71}
где Ci определяет стрелу прогиба: до (0) = ci-
Внося до из (6.71)	и	выражение	одо = cos	ocj в вариационное уравне
ние (6.70) и произведя интегрирование, получаем
•к		Ti'8 b		Ici = 0.
£4 jg Ci+ Na ha			4	Ici = 0.
		Ьa	4
Откуда
'	n	u®	я®
		M6464Ci +	^ 8 166® * Ci ~ q’		(6.72)

В последнем выражении неизвестной является также Na. Как и в гл. 2, пред

положим, что края пластины не сближаются.						0, получаем, что N2 =		DNt2.
Принимая для бесконечно длинной оболочки ej =						0, получаем, что N2 =		DNt2.
Тогда
-А =							dy =* О,
Отсюда				ь
				ь
уа=				Eh%*
уа=		1668 (1 — V8) 1
8	~	1668 (1 — V8) 1
Подставив полученное значение Na в (6.72),					получим		выражение для нахож
дения зависимости q — q(cj)
n				Eh		з
м m iCi+ 1664 i6(i—v8) ci = 9*
Вводя безразмерные величины
Ci	до (0)			16<7&4 (1 — V8)
С~ h ~		h	*	Р ~	Eh4		»
найдем	тс®.			я® „
	тс®.			я® „	Р,
	48 £ +			Ig С8 =	Р,
или								(6.73)
6.38Ç - f- 19,14 С8= Я.								(6.73)
Второй член в этом выражении обусловлен					усилиями в срединной плоскости,
первый — изгибными усилиями. Удельный вес каждого члена меняется								в зави
симости от величины прогиба ?. На				рис. 6.16 и 6.17 приведены зависимости
между безразмерными нагрузкой		Р,	тангенциальным о2м и наибольшим					изгиб-

ным с2и напряжениями и прогибом ?. При этом, исходя из (1.103): _

°22 • 462 4yv2ba n8п

O92 ♦ 46® 4 • 6М2 - 6® я®

тсу

°2“ _ ~ о д — D n№= ; ”2» “ ~ п д г =

" 2 * С032ь

Сплошные линии на рисунке отвечают точному			решению	(см. гл. 2,	п.	1),
построенному по формулам		(2.14), пунктирные — приближенному. Как			видно,
при Ç<	2,5 приближенное	решение практически	совпадает	с точным,	а	при
2,5 < С	< Ш мало отличается друг от друга.				между
Численные результаты		показывают, что при Ç= 4 расхождение

точным и приближенным решениями составляет: по стреле прогиба— 2,5%, по мембранному напряжению — 1,2%, по изгибному напряжению — 18%. Такое

хорошее совпадение результатов уже при одном параметре варьирования объя сняется тем, что прогиб в виде (6.71) достаточно точно определяет изогнутую срединную поверхность бесконечной полоски даже при больших прогибах.

Пример 10. Квадратная пластина, шарнирно опертая по краям, нагружена в срединной плоскости усилиями qi (q2 = q^ = 0). Пластина оперта по краям

у = 0, Ь на прямолинейные жесткие ребра так,							что края пластины свободно
скользят вдоль	ребер. В этом случае отсутствуют сдвигающие усилия в средин
ной плоскости.					в виде
Прогиб пластины зададим [13]
		.	пх .		пу	.	Злх .		1СО	(6 74)
	W = СЦ sm — sm — + C3i Sin — Sin— .
Подставив значения прогиба		(6.74)			во второе уравнение (1.125), получим
1 . . ..	1 2 W	2тех			2лу\	, 9	2	гс4/	Ькх , ГГ1. 2ку\	,
Th ЛА * “	Т с‘! т Ас08—			+ cos — J + Т			С31	-4(cos — + cos —		+j

+	cflc3l t ( -	c o s ^ f -Ь 4cos
	a* \	a
Отсюда	находим

+	4cos ^ c o s ? ^ - c o s lïïf cos Ы			•
a	a	a	a	a )

Ф = я Л[ | ( « - t e + „ a ) + 4 ^ e . t e + 4 .e . ^ +

+ 'CJT T ( -		cos 5 2 +		I	COS £ * + cos % * cos t k -
10	\		a	4	a	a	a
	___ Lcos —			COS— )1 +		^ .
		25	a		a j J	2

Края пластинки ÿ = 0, b будем считать свободно смещающимися. Поэтому выше принято <72= 0. Применив далее процедуру' метода Бубнова—Галеркина

для уравнения (6.69), придем к уравнениям относительно Cii и с3х.

п*

я2

п* ( я

213.

°>

~ Я1

32 •

I — g ciVсзI ~

С11сг\) -

^М~^~с31

4^ic3i

с2

*4 (

, 213 2

Cot _i_ 4-1г3 ^ — О

Г +

- ^ Г 2 ^

' "

3 , +

3V "

(6.76)

Вводя' безразмерные параметры

С=

Çbi

D _ M !

(6.77)

Сц* н ~ Eh2>

перепишем уравнения (6.76)

после исключения. из второго уравнения

q% в виде

р “

3(1 — -v2) +

8 С \

2 Т ^ 2 5

223

— СаФ2+

[—

С2— __ —___ ]ф +

_L С2 =

(6.78)

450 Г

•

Ll50

27 (1 — v2)JY

М 44

При V =

0,3

Р =

3,62 +

1,25С2 (I — 1,504» +

8,5242);

71,44® -

2742 + (о,96 — Ц 1 j ф +

1 = 0.

(6.79)

Из последнего уравнения при заданном Ç

находим ф. Подставив его в первое урав

нение (6.79), найдем величину

Р< Вели

чина ф дает вклад в величину

Р второго

чл^на разложения

(6.79).

представлена

на

Зависимость

Р = Р (С)

рис.

6.18.

Пунктиром

показана

кривая, полученная при удержании в w

одного члена (ф==0). Для рассматривае

мой задачи получены решения при учете

коэффициентов C13Î С13,

C33I. с2з,Сзз, Cjs,

Csi [13J.

5. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ НАГРУЖЕНИЙ ВЛАСОВА

Идея метода. Метод последовательных нагружений

(МПН)

является одним из методов линеаризации нелинейных

уравнений

теории гибких пластин и

оболочек.

Суть его состоит в

следую

щем [49, 62]. Пусть на гибкую оболочку действуют

силы,

кото

рые вызывают большие прогибы, величины которых можно опре делить следующим образом.

Вначале приложим к гибкой оболочке некоторую малую на грузку, вызывающую малые прогибы. Для определения этих прогибов используются обычные линейные уравнения теории обо лочек. Затем далее прикладываем малую нагрузку, также вызы вающую малый прогиб. Для определения приращений прогибон, деформаций и усилий — моментов снова используем линейные

уравнения, но учитывающие уже известные начальные внутрен ние усилия, деформации, перемещения, вызванные первоначаль ным приложением нагрузки. Далее прикладываем следующую малую часть нагрузки и находим приращение всех величин, как

и выше. Нагружение продолжаем п		раз, пока не получим прогиб*
вызванный	всей нагрузкой. Таким	образом, на каждом этапе
нагружения используется линейная		система уравнений с извест
ными из	предыдущих нагружений	начальными деформациями,
усилиями	и перемещениями.

В результате получаем, что прогиб оболочки будет равен сумме приращений прогибов на каждом нагружении в силу того, что использовались линейные уравнения.

Пусть деформированное и напряженное состояние оболочки в общем случае описывается некоторой нелинейной системой диф ференциальных уравнений

(^It	Х2,	• • «,	Xk, P'j 0 (/ “ 1, 2, • • «i Aï),		(6.80)
где Aj — известный нелинейный оператор;				xr — искомые функции.
Зафиксируем некоторое t'-oe состояние. Тогда
А]{х\,	*2,	. ...	x i Р‘) = 0 (/—	1, 2.........k).	(6.81)
Будем считать,	что	все	величины xi и	Р1 на (/ + 1)-ом	этапе
известны.

Последние соотношения можно записать также в более общем

виде
A {yi) = 0,	(6.82)

где А — оператор исходной системы уравнений; yi — вектор-стол бец неизвестных и нагрузки на /-ом этапе нагружения;

У= (^11Х2,	• • •» Xk,	Р)^•
Рассмотрим некоторое последующее (/ +		1)-е нагружение с при
ращениями За:,- и Ьр{. Тогда также выполняется равенство
A (yt +	Ьу{) = 0.	(6.83)
Рассмотрим разность

b A M ^ A i y i + W - A Q i ) .

Раскладывая формально последнее выражение по степеням Ьу,, получим

8Л Ы - А ’ (у,) Ьу, + -JA ’ Q ) (а д 2 + . . . +

+ ^ w (ÿ<)(W + 0 (l|8 ÿ r+l).

(предполагаем, что такое разложение для оператора А возможно).

Первое слагаемое правой части есть линейная функция								byi,		вто
рое— квадратичная	и т.		д.	Выражение A' (уд byt представляет
собой дифференциал	Фреше			нелинейного оператора A,-;				A' (yi) —
называется производной Фреше нелинейного оператора								А в точке
yi. Из функционального			анализа		известно f40],		что	линейная
•—►
функция byt вычисляется по формуле
A' (yù tyi — -ц- А (ус -J- toyi)t=Q.										(6.84)
Отбрасывая в ЬА(ус)		члены порядка \|\| оу1-\|\|л+1,					получим выра
жения вида
А ' Ы Ц , + 1	A’ (J)			+ ...		+ i - А 1”’ Ы	8~у1 = 0 .			(6.85)
При п — 1 имеем
		_ Л' <t/i) Вг/£ =				0.				(6.86)
Последнее выражение			и представляет собой уравнение метода
последовательных приближений с					погрешностью порядка				\|[ byi \|\|2.
Уравнение (6.86) будет		линейным					—►		линей
					относительно 8/д. Для
ных уравнений разработаны				достаточно эффективные методы						ре

шений [10, 30, 56]. В частности, к линеаризованным уравнениям

применяются вариационные методы [49, 62].								получим для при
Оставляя в выражениях			(6.85)		два члена,
ращений Ьу{ более	точное		уравнение				с более сложной			струк
турой.
Линеаризация исходных уравнений. Уравнения в смешанном
виде (1.86) при условии,			что 4 - = const, 4- = const,						приведем к
безразмерной форме путем введения безразмерных величин:
£ =	„ - J / - г -				’	9	Ehv	а = —•
'		b *		Т				b ’
R\h		Rçh				—i	—i	_ qa2b2
P1 = ^TÎ						-1				(6l87)
	92==~W;			K = ? l			+ *2 '	P ~^ËhÂ'
где а, 6, Л— размеры оболочки. Внося^эти величины									в	уравне
ния (1.86), придем к системе уравнений
Ak’. 1 2 { . - *		[ ( , r 4 g				S	+ ( f - + g ) g		-
	~	2щ		' т		] + р
Л 2	/а2с \ 2			а2с52ç			i_аЧ	afç
19 ~~ \dtdi\J				ас2 дт)2		'Pi an2		P2aç2’

К безразмерному виду приводятся также деформации, соот ношения упругости и соотношения Коши. Пусть зафиксировано некоторое i'-ое напряженно-деформированное состояние, отвечаю щее перемещению tu функции усилий <р; и нагрузке pi. Рассмот


рим далее состояние,				соответствующее		некоторому возмущению
нагрузки	pi	Ьр{.	Этому		состоянию	нагрузки будут отвечать
возмущенные		значения		прогиба С/ +		и функции усилий <рг -f- 8<р*.
Исходная	система		(6.88)		при возмущенных параметрах будет

иметь вид

д \ А

i l (Ci + 5С() = 12(1 — V3) p r ' + ÿ + W W + W +

Вычитая из уравнений		(6.90)		почленно			уравнения		(6.88), по
лучим уравнения
Д?8<р* + Д+л&С « у					L (8С/,		8С;),
— Дх+8<р -f Г-—~ — ôr Д? — Д?18С* — Дpi +								L («Сь	&<Р*Ь (6.91)
1.12(1 —г )				J
где						д2
						д2
Дх+А=а ДА-f Дх, Дk — рГ1						+ P1		dÿï;
д .= *	àXd*				ryàX		d2 .		(6.92)
	0TJ2 5S2 + ÔC2			ÔTJ2		ÔtfiJ W			(6.92)
	0TJ2 5S2 + ÔC2			ÔTJ2		ÔtfiJ W
. _	d2?r a2	,	dS i			n	d2
9 ~	at,2 d p	+	Ô62	дт,2		^	asav

Нелинейные относительно приращений операторы L(x, у) опреде

ляются выражениями (1.87).

Если величина приращения нагрузки bpt выбрана достаточно малой, то приращения 8Ç* и Stp* также будут малыми величинами. Очевидно, что при достаточно малых 8Ç/ и 8ср* можно пренебречь

L (8Ç;, SC*) и L (SC;,		Sep;) как величинами второго					порядка малости.
Из сравнения выражений (6.86) и (6.91) имеем:
л ' Л	Г	Г	AiScp 4- (ДА -ь Дх) 8С					!
A {ÿ)	У -	[ _	(Да+	Дх) Ь(?+ ,^оД2 _				8С J -
		Г	Д,		Дх+ftl Г8С1
		LvoAl— \		— Дх+А_\| [&<Р_Г						(6.93)
										(6.94)
где
		,0 =	12(1- "у2)1 *'“ [С’ <р)Г-							(в’95)
Рассматривая (6.91) при L ( 8 С ; ,					8 С=;) О	и L (S C;, 8< р;) =				0, по
лучим систему	дифференциальных				уравнений,		линейную			отно
сительно неизвестных 8 С ; и S ep ;. Здесь на каждом этапе									справед
лив принцип суперпозиции. Заметим, что при								многократном
повторении процедуры МПН				погрешности, вызванные					отбрасы
ванием нелинейных членов в				уравнениях		(6.91),		накапливаются
и величина их зависит			от номера		;. Для	получения более точ
ных значений шаг нагружения				Др; должен		быть		более	мелким.

Иногда для получения более точных решений используют также

систему уравнений (6.91). Решение ее			ищется методом последо
вательных приближений:
	п+1 + (Д* + Дх) ÎC;. *+1 =		\	L (SC;,	SC;, „);
— (Д* +	Дх) 8?;, я+] + (уоДр —	Kt, n+i ~ ор* +			L ( S C ;,я, 8<р;, п)•
							(6.96)
Индекс п	указывает номер итерации (й =			0, 1, 2, ...).			Недостат.
ком метода является то, что последовательные						приближения
медленно сходятся, особенно		в области		критических			нагрузок.
Более эффективным методом решения				нелинейных			уравнений
(6.91) является метод Ньютона в модифицированной						форме [83].
Как указывалось в гл. 4, на сходимость метода					Ньютона сильно

влияет выбор начального приближения. Начальное приближение задачи может быть найдено с помощью МПН [49], дальнейшее уточнение решения находится с помощью модифицированного метода Ньютона. Комбинация этих двух методов позволяет эф фективно решать нелинейные задачи теории оболочек.

Указанная выше методика переновится также на уравнения (1.90), (1.91), т. е. уравнения в перемещениях. Уравнения отно сительно приращений /-го этапа нагружения записываются в виде:

LiiSw; + Liibvt 4- £i3&C;=s 11 (SC;, SC;);

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2916 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги