книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ
..pdf2. МЕТОД ДИСКРЕТНОЙ ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Будем рассматривать линейные краевые задачи вида —►
|
%- = A(t)x + f(t) ( a < t < b ) |
(4.21) |
|
с граничными |
условиями |
|
|
|
B\x(a) — bi', |
|
(4.22) |
|
B2x(b) = b2, |
|
(4.23) |
гдех{*ь х2, |
...» хп}т— вектор-столбец; |
f — вектор-столбец |
пра |
вой части; A (t)— заданная квадратная |
матрица порядка п; |
Ви |
|
В2— заданные прямоугольные матрицы |
соответственно порядков |
||
—- 4>
k x n и (п — k )x n (k < ri); bî, b2— заданные векторы. Предполагаем, кроме того, что в ряде точек ^£[а, Ь] могут
быть заданы дополнительные условия, налагаемые на искомую функцию x(t):
х+ (и) = Рог- (tt) - f gi, |
(4.24) |
где Pi — неособенная квадратная матрица порядка п; qi — «-мер ный вектор.
Таким образом, по существу рассматривается более общая крае вая задача для системы уравнений (4.21).
Краевую задачу (4.21), (4.22) можно было бы решать просто путем сведения к ряду задач Коши, решение которых находится каким-либо численным методом, например методом Рунге — Кутта
или Адамса — Штермера [7]. В связи с тем |
что |
при численном |
решении краевых задач теории оболочек имеют |
место краевые |
|
и локальные эффекты, вызывающие быстрый |
рост искомых функ |
|
ций, метод сведения краевых к задачам Коши приводит к неус тойчивости счета.
Для преодоления указанных трудностей разработан ряд мето дов, с помощью которых численное решение краевых задач сво дится к устойчивому вычислительному процессу.
Одним из таких методов, хорошо .зарекомендовавших себя в практике решения задач теории оболочек, является метод диск ретной ортогоналиаации Годунова [16].
Проведенные численные эксперименты показали эффективность и высокую точность данного метода, а также его простоту и удобст во при численном решении рассматриваемого класса задач на ЭВМ
[20, |
41, |
30]. |
к изложению сути метода. Решение краевой |
задачи |
||
. Перейдем |
||||||
(4.21) — (4.23) |
будем искать |
в виде |
|
|||
|
|
|
- |
^ |
- |
(4.25) |
|
|
|
* (0 = |
Ь |
Cixi (0 + Xm+\ (t), |
|
10i
где m = min {k, n — k) (для определенности полагаем m = я —Æ); |
|
х/— решения задач Коши для системы уравнений |
(4.21) при |
= 0 с начальными условиями, удовлетворяющими |
граничным ус- |
ловиям на левом конце интервала (4.22) при Ь\ = 0 ; хт+\ — реше
ние задачи Коши для системы |
(4.21) с |
начальными условиями, |
|
удовлетворяющими граничным |
условиям |
(4.22); т — число гра |
|
ничных условий на правом конце интервала интегрирования. |
|||
В частности, указанным требованиям можно удовлетворить, |
|||
поступая следующим образом. Граничные |
условия (4.22) |
в точке |
|
/ = а представим в развернутом виде: |
|
|
|
Ь\[Х\ -j- 6 12X2 4~ . • • 4* 6 j*X* 4“ |
4~ • • • 4~ blnXn = |
b\\ |
|
6 2 1X1 -f- 622X2 4” • • • 4" 6 г*Х* "Ь 6 2,ft+lX*-j-l -j- . . . -J- binXn “ |
6 2» |
||
|
|
|
• • (4.26) |
6*1X1 - f 6*2X2 + . . . + bkkXk + |
6ft,*+iX*+i -f- . . . + bknXn ss |
6*. |
|
Принимая, что 'коэффициенты первых k столбцов в равенствах (4.26) образуют неособенную матрицу, перенесем остальные столбцы
вправую часть. Тогда условия (4.26) запишем в виде:
611X1 + 612X2 4- . . . 4- b\kXk — 61 — 6i,*4-ix*+i — ... — binXn, 621X1 4- 622X2 -Ь • • • 4* 6г*х* — 62 — 62,ft+ix*+i — ... — 6глхл,
|
(4.27) |
6*ixi 4" 6*2X24- • • • 4* 6**x* ss 6*— 6*,*4.ix*+i — |
6*„хл. |
Присваивая компонентам x*+i, x*+2* ... , xn последовательно значения столбцов единичной матрицы и полагая 61 == 62 = . . . =з
= 6* = 0, определяем начальные условия для xf (/ = |
1, 2, ... , |
т); |
при x*+i =*х*+2 = . . . —хл as 0 находим начальные |
условия |
для |
Х/п+1* Метод дискретной ортогонализации дает возможность получить
устойчивый вычислительный процесс за счет ортогонализации векторов-решений задач Коши в конечном числе точек интервала
изменения аргумента. |
|
точками |
интегрирования ts |
||
Разобьем отрезок [а, 6] на части |
|||||
(s = 0, 1, ... , N) так, что to — я, |
t u ^ b . Среди этих точек выбе |
||||
рем точки ортогонализации Т{ (i sa 0, |
1, |
М). Выбор указанных |
|||
точек обычно обусловлен степенью требуемой точности |
решения |
||||
задачи, в'остальном он произволен. |
|
|
|
например |
|
Пусть в точке Г* каким-либо |
численным методом, |
||||
методом Рунге — Кутта, найдены решения |
задач Коши, |
которые |
|||
обозначим через и, (Tî) (г 1,2, . . |
m 4-1). |
Предполагая, что |
|||
в точке Т( заданы условия (4.24), рассмотрим векторы: |
|
||||
u t (Ti) = Pair (Т{) |
(г = |
1, 2, |
... , |
m); |
(4,28) |
Ы/Л+ I (Т() — P,Um+\ (T{) + git
где «г, U2 t * . . Mm— решения однородных задач, Mm+i — реше
ние неоднородной задачи |
Коши. |
|
|
|
|
Таким образом, в точке Tt до ортогонализации |
|
||||
~ut (Tl), |
ut (Ti), . . |
lit (Tijt |
Mm+1(7\)- |
(4.29) |
|
Проортонормируем |
векторы М/ (7\) (j = |
1, 2, |
m) в точке |
||
Tt и обозначим их |
|
|
|
|
|
Z\(Ti), |
Z2 (Ti), |
. <., Zm (Ti). |
(4,30) |
||
—» |
|
|
-* • |
|
|
Векторы zi выражаются через векторы uT следующим образом:
|
г-1 |
|
|
|
|
|
2г — |
yUrr•— Д] |
®rj2/J |
i? — |
• • •} «), |
(4,31) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
<М — (м,+, |
Zj) (/ < г); |
«>«• = |
|
(и+, |
Ü+) — S |
«а/. |
Вектор zm+1 не нормируется |
и вычисляется по формуле |
|||||
|
|
|
m |
^ |
|
|
|
2/n+l = Мт+1 |
|
®т+1,)2/* |
(4.32) |
||
На основании (4.31) и (4.32) при ( = Т[ получаем:
wjizi = u f ;
+
(1)22^2 — М2 — <1)21^1 ^
C033Z3= М3*— о>зîzî** — m2zt;
“*■ |
“'’J . |
—JL |
* * 4 . |
-*-4. |
®tnmZm = |
Um |
* ^m2^2 ■—1* « • |
^mm-l 2/n—î |
|
—*■ |
-» 1 |
**, » |
^ |
i_ |
1* 2m +1 = |
Mm+1— 0)m+l. 1^1 |
шт + 1,2^2 ~~ • • • — |
||
|
|
-*\j. |
+ |
(4,33) |
— 0)/л4-1,m—lZ/n—1 |
• |
|||
После преобразований |
из (4.33) |
имеем матричное равенства |
||
uf (Ti) |
|
ï |
(T,) |
ut(Ti) |
|
& (Ti) |
|
ш |
= 2< |
• |
|
|
• |
(4,34) |
|
• |
• |
||
ut(Ti) |
|
2m(Ti) |
|
_ Mm+1 (T;) _
где
«11 (Т{) |
0 |
0 |
0 |
” |
«21 (Ti) |
©22 (T{) |
0 |
0 |
|
«31 (Ti) |
«32 (Ti) |
«33 (Ti) |
0 |
|
Sf = 2(7V) |
|
|
|
|
«ml (Ti) |
«m2 (Ti) |
«m3 (Ti) |
0 |
|
_ «m+1,1 (Ti) |
«m+1,2 (T{) |
« т + 1 .з(7 ’<) |
1 _ |
|
Векторы zr(Ti) являются начальными значениями задач Коши |
||||
для однородной (г = 1, 2, |
.... т) и |
неоднородной |
(r = m + l ) |
|
систем дифференциальных уравнений (4.21) в интервале |
7\- < t < |
|||
T |
|
|
|
уравне |
В каждой точке ортогонализации 7\ решение системы |
||||
ний (4.21), удовлетворяющее граничным условиям на левом конце интервала (4.22), можно записать в виде двух выражений:
до ортогонализации |
|
|
|
|
|
|
т |
|
^ |
|
|
^ |
(4.3в) |
х(Т,) = Д |
Cj'- V |
(Tt) + И++, (Г,) |
||||
и после ортогонализации |
|
|
|
|
||
-* |
,п |
-* |
-* |
(4.37) |
||
X (Tl) = |
2 |
C f]Zj (Tÿ + |
zm+1 (T i). |
|||
/=1 |
|
|
|
|
|
|
Решение системы уравнений |
(4.21) |
в |
интервале Т{ < |
t < 7Vj-i |
||
можно представить в виде |
|
|
|
|
|
|
-* |
m |
■ - * |
_ |
|
|
|
x(t) = |
J] |
С/ |
(t) -|- |
2m+r(0* |
(4.38) |
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
После выполнения |
интегрирования |
на последнем |
участке |
|||
и ортогонализации в точке Тм по формуле (4.37) |
||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
* ( Г « ) = Д |
с |
Г г )(Гл,) + |
2OT+ I (7’AI). |
(4.39) |
||
Удовлетворяя граничным условиям на правом конце интервала интегрирования, т. е. подставляя (4.39) в (4.23), получаем систе му ni линейных алгебраических уравнений для определения не
известных CjM) (/=al, 2, ... , m). После нахождения С}М) реше ние краевой задачи (4.21)—(4.23) в точке ( =*Тм задается формулой (4.39). Этим заканчивается прямой ход решения задачи.
При обратном ходе по значениям постоянных С}1) (/ = 1, 2, ...,
m) определяются постоянные |
начиная с i = М. Для |
этого |
||
приравняем правые части выражений (4.36) и (4.37): |
|
|||
«И |
_ |
m |
|
|
Е |
c j - V (г,) + к+ г , = |
S |
(Г,) + ?„+, (г,). |
(4.40) |
г—1 |
«'==• |
|
|
|
» J
Подставляя вместо щ их значения из (2.14), имеем при t = Ti
С\* |
|
(Ü)2I2I + (02222)+ С3 |
^((03101 + (1)3222 + |
(03323) + |
||||||||
|
|
C |
f j- |
J \ |
—► |
|
|
|
—► |
|
|
|
|
|
|
m |
(<0/nl2i + |
(0/n222 |
+ |
• • • + |
<0n im Z m ) |
+ |
|
|
|
|
+ 1 ' ((0m-H,l2l + |
<Om+l,222 + |
. . ♦+ |
|
|
+ 1 *%т+\) = |
|
|||||
|
= C\l^Z\ + |
Ci^Zi + |
. . . + |
C$ZM + |
1 |
• Zm-f.1. |
|
(4.41) |
||||
Приравнивая |
коэффициенты |
при векторах Z/ |
(j = |
1, |
2, .. |
|||||||
m + |
1) в (4.21), |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Ф |
1~ {) = &0 |
( / = 1 , 2 , . . . , |
Л4), |
|
|
(4.42) |
||||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с**-1*= |
№ -1 с<‘>, |
|
|
|
|
|
||
где |
— транспонированная матрица |
(4.42); |
С<1>— вектор-столбец |
|||||||||
с компонентами |
С{°, |
С ^, ...» |
Cm, |
1. |
|
|
|
|
|
зна |
||
|
Таким образом, |
с помощью |
равенства (4.42) находятся |
|||||||||
чения постоянных С)1) во всех точках, начиная с |
i = М. |
По |
||||||||||
формуле (4.38) ' вычисляются решения х (Т () краевой задачи. |
|
|||||||||||
При реализации |
данного алгоритма на ЭВМ необходимо хра- |
|||||||||||
нить информацию о матрицах Q* и векторах zr(r= 1, 2...... m+1). В практике решения задач обычно не используется получае
мая информация во всех точках ортогонализации, а ограничи ваются только значениями искомых функций в ряде точек— так называемых точек выдачи результатов, которых часто значительно меньше, чем точек ортогонализации. В связи с этим можно су щественно сократить объем хранимой информации, используя следующий прием. Пусть 7\-_i и Ti+P— точки выдачи результатов.
Из равенства (4.22) можно получить
(4.43)
или
(4.44)
откуда находим
(4.45)
Итак, для нахождения вектора С^” 1* необходимо хранить ин-
р
формацию о произведении матриц П 2/+,, что приводит к су- /=о
щественной экономии памяти ЭВМ.
В том случае, когда в точке выдачи результатов Ti на иско мое решение наложены дополнительные условия (4.24), выраже
ние (4.37) определяет предельное значение х+(Т() справа.
Предельное значение слева х” (7\) определяется путем подста новки в выражение (4.25) значений
XÎ (Tl) = PiXj (Tt)\ |
*£+1 (Tl) =; P7xm+ 1 (Tl) + |
gt |
||
(/ =5 |
1, |
2, |
... , tri). |
(4,46) |
|
|
• • •: |
|
|
Тогда получаем
m
* + (Ti) = s C,(Ti) PÎxJ (T,) + P ,ïjr+1 (T,) + g, =.
/“ 1
откуда
S c, (TiUT (Ti) + *«-H (Tl) - PT1\X+(Ti) — # ] . |
(4.47) |
Приведенный алгоритм реализован в ряде программ для М-220, БЭСМ-6 и ЕС ЭВМ (2, 20, 30, 56].
3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН
Рассмотрим напряженно-деформированное состояние геометри чески нелинейных круглых пластин с переменной в радиальном направлении толщиной под действием осесимметричных нагрузок.
На ряде примеров проведем систематический анализ решения нелинейных задач теории круглых пластин и с помощью индук тивных приемов получим некоторые оценки точности их решений
131}.
Система ^нелинейных уравнений, описывающая данный класс задач, имеет вид (см. п. 4, гл. 3)
§ = T(x,iï) |
( X 0 < X < 1 ) , |
(4,48) |
где N = {Nrt u, Qr, Mr, w, 0r}. |
|
|
Будем рассматривать линейные граничные условия |
|
|
B i N (XQ) = bit |
B 2N ( \ ) - b 2 . |
(4,49) |
Для решения нелинейной краевой задачи (4.48), (4.49) в докритической стадии воспользуемся методом линеаризации, изло женным в п. 1 этой главы. В соответствии с методом линеаризадии строим итерационную схему:
dx = f(x , N ky + F ( № ) (N k+X— № k>); |
(4,60) |
|
BiW(M^(*o)===bi, |
£ 2Л?(*+,)(1)“ |
Й |
(4.51) |
||||||
|
W |
|
^ * 0 , |
1, |
2, |
|
), |
|
|
|
В развернутом виде для краевой |
задачи (4.48), (4.49) итера |
|||||||||
ционная схема |
(4.50) принимает вид (в безразмерных величинах): |
|||||||||
|
dNik+i) |
— 1 — ,N?+l) + J L u(k+i). |
|
|||||||
|
= |
|
||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
djç > _ |
ь _ £ „<.+„ |
|
|
_»<«>»<*+» + |
i O T ; |
|||||
dn(fe+i) |
, |
|
_ |
£ |
»<•>„(.+., _ |
i Ql*+» _ |
||||
----------^ |
|
|||||||||
dM<*+D |
|
|
|
hà |
|
|
|
x‘ |
|
|
= —QÎft+,>+ L M l-v2) |
^ |
1) _ 2 |
- l |
д,(‘+1). |
||||||
dx |
||||||||||
|
|
4JT |
|
|
|
* |
|
|||
du^+U |
|
|
dbrk+l) __ ± |
w(ft+l> __1. л(*+1) |
||||||
dx |
*' |
» |
||||||||
dx |
|
h3 Mr |
|
* ^ |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
(№t k = 0t |
1, |
2, |
...). |
|
(4.52) |
||||
Таким образом, исходная краевая |
задача для |
нелинейной си* |
||||||||
стемы обыкновенных дифференциальных уравнений сводится к по следовательности линейных краевых задач. Однако при этом воз никает ряд вопросов, связанных с численной реализацией итера ционного процесса. Решение линейной краевой задачи для £-го приближения будем находить методом дискретной ортогонализа ции, изложенным в предыдущем параграфе.
Полученная числовая информация должна быть использована в коэффициентах и правых частях следующего (k + 1)-го прибли жения. Это'-приводит к необходимости хранения в памяти ЭВМ
больших массивов значений функций Щк\ кроме того, объем необходимой информации с каждым следующим приближением увеличивается вдвое, что связано с решением задач Коши методом Рунге — Кутта. В некоторых задачах можно применять линейное или квадратичное интерполирование по дискретным значениям
функций N\k)[24, 41].
Однако в ряде задач такой подход вносит недопустимую по грешность, тогда можно проводить интерполяцию с помощью сплайн-функций [1, 52].
Следует отметить, что решение краевой задачи для системы (4.52) при каждом k является приближенным решением исходной нелинейной краевой задачи. Поэтому от допускаемой погрешности в решении краевой задачи для данного приближения и от исполь
зования этого решения для следующего приближения зависит скорость сходимости процесса и точность • получаемого решения.
В связи с отмеченным рассмотрим подход, основанный на ап
проксимации значений функций N\k^ с помощью кубических сплай нов [31], Вычисленные на предыдущем приближении значения функций в дискретном множестве точек представим в виде
М - |
Д N ^ A , (х) + J^±Bo(x) + - £ - Bn (X) |
|
|||||||
|
|
(k = 0, |
1, |
2, |
...). |
|
(4.53) |
||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■«g1 |
d N f> |
|
||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
(i = 1, 2, |
...» 6; |
j = |
0, |
1, |
2.........ft; s = 0, ft); |
|
|||
Aj(x), Bs(x)(j — 0, |
1, |
n; |
s = 0, |
ft) — фундаментальные |
куби |
||||
ческие сплайны, полученные из условий: |
|
|
|||||||
|
|
Am (Хр) = ^тр\ |
Am C^s) .= |
0 |
|
||||
(/?, |
ftz = 0, |
1, |
. . « ; |
|
s^O, |
ft); |
|
||
|
|
Вт fop) = 0; |
Вftt (Xs) = §ms |
|
|||||
(m, |
s = 0, |
л; |
p = 0, |
1, .... |
ft). |
(4.54) |
|||
_ |
|
|
|
|
dN\kù |
dN$ |
определяются точно |
||
При этом значения производных |
|
|
|
||||||
из системы уравнений (4.52) для данного k. Такой подход к ап проксимации функций позволяет для всех приближений итераци онного процесса использовать одни и те же базисные сплайны, что существенно упрощает решение задачи на ЭВМ.
При этом достигается достаточно высокая точность во всех внутренних точках интервала, в граничных точках выражения (4.53) являются точными. В результате аппроксимации коэффи циенты и правые части k-ro приближения определяются аналити ческими выражениями, что устраняет указанные недостатки.
Сходимость итерационного процесса (4.52) для рассматривае мого класса задач проверяется с помощью различных индуктивных приемов. На конкретных примерах проиллюстрируем аспекты вычислительной реализуемости и сходимости итерационного про цесса решения данного класса задач и проведем анализ напря женно-деформированного состояния некоторых гибких кольцевых пластин.
Пример 2. С целью получения некоторых оценок сходимости итерационного процесса рассмотрим задачу о деформации жестко закрепленной по внешнему контуру кольцевой пластины постоянной толщины Л0 под действием приложен ного на внутреннем контуре перерезывающего усилия Q0 (п. 4 гл. 3). Гранич ные условия:
« = 0,&/. = 0, Q, —Q0î
при х = 1 |
|
|
|
« = 0, w = |
О, |
»г = 0. |
Г4.66) |
При решении задачи принималось |
|
|
|
Р |
1, |
*0 = 0,2, п = 8. |
|
Qo = “ . Р = 4, А = |
|
||
Результаты решения задачи в точке х0 приведены для варианта |
I табл. 4.2, |
||
из которой видно, что уже в'четвертом приближении для всех функций имеет место совпадение до шести значащих цифр
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 4.2 |
|
Ва |
При |
и* |
* |
|
К |
W* |
* |
риант |
ближе |
Nr |
|
"г |
|||
|
ние |
|
|
|
|
|
|
I |
0 |
0 |
0,000000 |
20 |
4,705999 |
1,0561990 |
0 |
|
1 |
0 |
1,343001 |
20 |
4,101359 |
0,883097 |
0 |
|
2 |
0 |
1,446459 |
20 |
4,151989 |
0,898048 |
0 |
|
3 |
0 |
1,446308 |
20 |
4,150904 |
0,897877 |
0 |
п |
4 |
0 |
1,446308 |
20 |
4,150904 |
0,897877 |
0 |
0 |
6 |
0,000000 |
20 |
4,150904 |
1,189961 |
0,566903 |
|
|
I |
0 |
1,313352 |
20 |
4,150904 |
0,908850 |
0,017061 |
|
2 |
• 0 |
1,446234 |
20 |
4,150904 |
0,835576 |
0,0и0093 |
|
3 |
0 |
1,446308 |
20 |
4,150904 |
0,897877 |
0,000000 |
|
4 |
0 |
1,446308 |
20 |
4,150904 |
0,897877 |
0,000000 |
Было также проведено сравнение окончательных результатов с решением задачи при помощи метода возмущения (72] и обнаружено их хорошее совпадение для
Р = 2, 4, 6, 8 и расхождение в третьей значащей |
цифре для Р > 10. |
Это, |
|
по-видимому, можно объяснить тем, что в методе |
возмущения |
учитывается |
|
только два члена. |
индуктивный |
прием, |
при |
Для оценки сходимости процесса был применен |
|||
котором данная нелинейная краевая задача решалась в эквивалентной, но
другой математической формулировке. Вместо условий (4.55) в точке х0 задавались следующие (* условия:
ПРИ |
х = х, |
и = |
0, Qr = Qo, Mr = м о. (4.56) |
« |
57 |
/ х |
||||||||
1 |
|
|||||||||||||
где в качестве |
М0 принималось значение |
Mri |
ss |
|
||||||||||
полученное |
в |
предыдущем |
решении, |
т. |
е. |
|
|
|
||||||
М0 = 4,150904. |
|
|
|
|
|
|
|
де |
/ / М |
3 |
||||
|
Результаты решения задачи в такой форму* |
|||||||||||||
лировке приведены для |
варианта |
II табл. 4.2. |
|
|
|
|||||||||
Сравнивая |
результаты |
вариантов I и II, заклю |
35 |
|
|
|||||||||
чаем, что в четвертом приближении |
они |
совпа- |
|
|
||||||||||
дают. |
В |
силу |
совершенно |
различных |
матема |
|
|
|
||||||
тических |
формулировок одной и той же задачи, |
23 |
|
|
||||||||||
а |
следовательно, |
вычислительных |
схем, полу- |
|
|
|||||||||
ценное |
совпадение |
результатов свидетельствует |
|
|
|
|||||||||
о |
их высокой |
точности. Для больших значений |
/5 |
12 |
Р* |
|||||||||
Р(Р> 20) |
|
указанная точность достигается |
при |
4 |
||||||||||
шести |
и больше приближениях. |
|
|
|
|
Рис. 4.1 |
|
|||||||
Пример 3. |
Рассмотрим при тех же условиях |
напряженно-деформированное |
|||||||||||||
состояние |
кольцевой |
пластины, |
но |
с |
толщиной, |
изменяющейся |
по |
закону |
|||||||
|
Л ( * ) - ! + |
|
|
|
4 = |
h (1) |
х0+ |
1 |
|
|
(4.57) |
||||
|
|
|
|
- ^ |
; |
** |
|
|
|
|
|||||
Решение задачи находим при различных |
вначениях Р и ■>]. В табл. 4.3 |
||||||||||||||
приведены результаты решения задачи при Р = 12 и Р = |
20. |
Для |
варианта I |
||||||||||||
даны значения функций при ц = |
1, а для II — прик) = 0 ,1 . Из таблицы следует, |
||||||||||||||
что изменение толщины при |
сохранении |
массы |
пластины |
позволяет |
понизить |
||||||||||
уровень максимальных напряжений. На рис. |
4.1 |
приведены |
зависимости |
мак |
|||||||||||
симальных изгибных |
напряжений на внутреннем |
контуре |
пластины от Р при |
||||||||||||
различных я. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
4.3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ва |
X |
N * |
|
|
|
м * |
|
|
* |
|
до* |
|
|
|
|
« î |
|
|
|
|
о. |
|
|
|
|
||||||
риант |
|
1 |
г |
|
|
Т |
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р* = |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
6,009 |
60,00 |
9,409 |
|
56,450 |
1,838 |
|
0,000 |
||||||
|
0,3 |
4,801 |
28,91 |
3,889 |
|
23,340 |
1,703 |
|
2,311 |
||||||
|
0.4 |
4,195 |
16,88 |
|
1,664 |
|
|
9,986 |
1,424 |
|
3,128 |
||||
I |
0,5 |
3,702 |
11,71 |
0,478 |
|
|
2,869 |
1,098 |
|
3,319 |
|||||
0.6 |
3,269 |
9,66 |
—0,334 |
|
—2,003 |
0,772 |
|
3,162 |
|||||||
|
0,7 |
2,899 |
9,17 |
— 1,032 |
|
—6,189 |
0,474 |
|
2,750 |
||||||
|
0,8 |
2,595 |
9,55 |
—1,734 |
— 10,400 |
0,229 |
|
2,100 |
|||||||
|
0,9 |
2,358 |
10,52 |
—2,506 |
— 15,040 |
0,062 |
|
1,196 |
|||||||
|
1,0 |
2,179 |
12,00 |
—3,340 |
—20,040 |
0,000 |
|
0,000 |
|||||||
|
0,2 |
5,758 |
60,00 |
12,860 |
|
41,720 |
1,845 |
|
0,000 |
||||||
|
0,3 |
■ 4,614 |
33,12 |
|
6,365 |
|
|
23,680 |
1,762 |
|
1,491 |
||||
|
0,4 |
4,095 |
20,38 |
|
3,456 |
|
|
14,890 |
1,567 |
. |
2,350 |
||||
II. |
0,5 |
3,697 |
13,38 |
|
1,832 |
|
|
9,251 |
|
1,303 |
2,872 |
||||
0,6 |
3,337 |
9,49 |
|
0,805 |
|
|
4,833 |
|
1,000 |
|
3,150 |
||||
|
0,7 |
3,008 |
7,55 |
|
0,073 |
|
|
0,526 |
0,681 |
|
3,190 |
||||
|
0,8 |
2,720 |
7,09 |
—0,544 |
|
—4,851 |
0,379 |
|
2,908 |
||||||
|
0,9 |
2,479 |
8,23 |
—1,186 |
—13,350 |
0,118 |
|
2,061 |
|||||||
|
1,0 |
2,292 - |
12,00 |
—2,039 |
—29,870 |
0,000 |
|
0,000 |
|||||||
|
|
|
|
|
Р* = 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0,2 |
10,120 |
100,00 |
13,220 |
|
|
79,33 |
2,394 |
|
0,000 |
|||||
|
0,3 |
8,080 |
41,68 |
4,900 |
|
|
29,39 |
2,210 |
|
3,093 |
|||||
|
0.4 |
7.042 |
21,42 |
|
1,932 |
|
|
11,59 |
|
1,843 |
|
4,*059 |
|||
1 |
0,5 |
6,202 |
13,68 |
|
0,531 |
|
|
3,18 - |
|
1,423 |
|
4,243 |
|||
0,6 |
5,475 |
11,22 |
—0,378 |
|
—2,27 |
|
1,007 |
|
4,038 |
||||||
|
0.7 |
4,858 |
11,34- |
— 1,120 |
|
|
-6 ,7 2 |
0,625 |
|
3,547 |
|||||
|
0,8 |
4,353 |
12,99 |
—2,122 |
|
-1 2 ,7 3 |
0,307 |
|
2,760 |
||||||
|
0,9 |
3,956 |
15,84 |
—3,265 |
|
— 19,58 |
0,085 |
|
1,613 |
||||||
|
1,0 |
3,657 |
20,00 |
—4,730 |
|
—28,38 |
0,000 |
|
0,000 |
||||||
|
0,2 |
9,643 |
100,00 |
18,380 |
|
|
59.63 |
2,393 |
|
0,000 |
|||||
|
0,3 |
7,721 |
50,80 |
8,410 |
|
|
31,29 |
2,278 |
|
2,055 |
|||||
|
0,4 |
6,831 |
28,58 |
4,234 |
|
|
18,25 |
2,013 |
|
3,136 |
|||||
II |
0,5 |
6,142 |
17,07 |
2,105 |
|
|
10.63 |
1,666 |
|
3,734 |
|||||
0,6 |
5,526 |
11,12 |
0,883 |
|
|
5,29 |
1,277 |
|
4,020 |
||||||
|
0,7 |
4,974 |
8,51 |
|
0,066 |
|
|
0,48 |
0,871 |
|
4,033 |
||||
|
0,8 |
4,494 |
8,42 |
—0,630 |
|
—5,62 |
0,482 |
|
3,690 |
||||||
|
|
4,097 |
11,27 |
— 1,451 |
|
— 16,34 |
0,155 |
|
2,673 |
||||||
|
|
3,789 |
20,00 |
—2,776 |
|
—40,67 |
0,000 |
|
0,000 |
||||||