книги / Радиолокационные измерители дальности и скорости. [Т.1]
.pdfI = - f(a2x2 + b2u2)dt.
2о
Вданном случае требуемый сигнал равен нулю, следователь но, цель управления заключается в том, чтобы возвратить систему из произвольного состояния х(0) в состояние равновесия х= 0 с минимальной затратой энергии.
Решение этой задачи, например, методом динамического про граммирования [62] определяется уравнением
u1(t) = |th[^(T -t)jx(t).
Для стационарного режима, когда Т достаточно велико, имеем
%(t) = -аЪ_г(х).
Получим управление u2(t) для исходной постановки задачи структурно-параметрическом методом. Введем F(x,y«)=x(t). Из ус ловия связи функции Р(х,уж) с управлением получаем
ku2+Xox=0.
Запишем последнее уравнение в виде
u2(t) = yx(t).
Значение Хц определим из условия
I = min f (а2х2 + b2u2)dt. |
(1.13.48) |
О
Решая (1.13.48) при условии, что x(t)=x0e-’4, получим
Итак, имеем
u2(t) = - Jx(t)
D
Из сравнения управлений Ui(t) и u2(t) следует, что замкнутые системы обладают одинаковыми свойствами и обеспечивают minl(x,u).
Следует отметить, что изложенный подход к синтезу опти мального управления на основе структурно-параметрического ме тода применим не только для линейных или нелинейных систем вида
x(t)=(p(x,t)+g(x)u(t),
когда управление в правую часть уравнения объекта входит в виде линейного слагаемого, но и для систем, описываемых уравнения ми вида
x(t)=(p(x,t)+g(x,u,t), |
(1.13,49) |
где g(x,u,t) - нелинейная функция относительно u(t). Причем функционал, характеризующий качество процесса управления, может быть здесь представлен в самой общей форме.
Решение задачи синтеза управления традиционными методами для системы (1.13.49) требует дополнительных преобразований уравнений объекта, например, расширение вектора состояния за счет включения в него исходного управления [62]. Задача синтеза структурно-параметрическим методом может быть сведена к реше нию алгебраического уравнения к-ой степени, где к - степень по линома g(u) системы (1.13.49). Второй этап, связанный с оптими зацией параметров закона управления, зависит только от вида принятого функционала качества и практически не зависит от структуры исходного объекта.
Выше была рассмотрена задача синтеза оптимального управ ления для случая, когда на компоненты вектора состояния x(t) наложены ограничения в виде линейного дифференциального уравнения. Достоинством такого ограничения является то, что при F(x,y*), выбранной в виде разности достижимых координат и их желаемых значений, замкнутая система является линейной. При решении ряда практических задач такое ограничение не всегда является приемлемым. К таким задачам прежде всего относятся те, для которых величина приращения управления должна нели нейно зависеть от величины отклонения управляемой координаты от заданного значения.
В общем случае, как отмечалось в разделе 1.13.2. закон изме нения Р(х,уж) может быть выбран в любой требуемой форме
(p(x,F(x,yJ,F(x,yJK),...,F (n)(x,yj) = <p(PiF(x,yj). (1.13.60)
Синтез управления структурно-параметрическим методом при ограничении типа (1.13.50) на первом этапе практически не отли чается от рассмотренного. Основной задачей в этом случае являет ся выбор значений параметров X и Bj, обеспечивающих устойчи вость решения уравнения (1.13.60). Если уравнение (1.13.50) представить в виде совокупности линейных членов относительно производных функций F(x,yж), т.е.
ф(#)= F(n)(x,yJ + An_1F(n_1)(x,y5K)+...+X1F(x,y}K), (1.13.51)
то задача анализа устойчивости существенно упрощается. Запишем уравнение (1.13.50) с учетом (1.13.51) и при усло
вии, что нелинейная функция ф(р,Р(х,уж)) является некоторым полиномом от F(x,y«).
F(n)(x,уж) + |
уж)+...+A1F(X,уж) = |
|
= Р<№Уж) + PiF2(x, уж)+...+PnFn(x, уж). |
(1.13.52) |
Данное уравнение записано для скалярной функции Р(х,уж). Если Р(х»Уж) “ векторная функция, то выражение FJ, j = 2,п трактуется как векторы, составленные из соответствующих компонент векто ра F(x,yw) степени j.
Представим (1.13.52) в векторной форме |
|
y(t) = Ayy(t) + g(y), |
(1.13.53) |
где y(t) - n-мерный вектор, причем yi(t)=F(x,yж); |
Ау - матрица, |
элементы которой образованы из коэффициентов |
j = l , n - l и |
Р0; g(y) - n-мерная векторозначная функция. Причем компоненты
g(y), i = 1 , n - 1 равны нулю, a g(y) равен правой части уравнения
(1.13.52) за вычетом элемента Ро^(х,уж).
Прежде, чем приступать к синтезу управления, необходимо исследовать устойчивость управления (1.13.53) либо (1.13.52) в окрестности некоторого заданного равновесного состояния. Для указанного уравнения такой точкой является начало координат. Выберем матрицу Ау так, что все собственные значения отвечают условию RecTj<-p<0. Предположим также, что для любого б>0 су
ществует такое а>0 , при котором справедливо |
|
|g(y)IMIy|| при ||у||<5. |
(1.13.54) |
Тогда начало координат асимптотически устойчиво по Ляпу нову [25].
Для исследуемой функции g(y) условие (1.13.54) является вы полнимым. Однако здесь определяются не все коэффициенты уравнения (1.13.53), а лишь А$, j = 1,п - 1 и Ро*
В реальных системах автоматического управления необходимо одновременно обеспечивать выполнение различных условий, на пример, быстродействие, время регулирования и величину перере гулирования. Следовательно, выбор коэффициентов jjj; j=2,3,..., исходя лишь из условия устойчивости, является недостаточным.
Для широкого класса задач функция g(y) можно представить в ви де
g(y) = РхУ?- |
(1.13.55) |
В этом случае при выполнении условий (1.13.54) и р^О сис тема (1.13.53) является устойчивой по Ляпунову. Интервал изме нения коэффициента ($1э в пределах которого начало координат асимптотически устойчиво по Ляпунову, может быть расширен. Это расширение достигается за счет сужения области изменения y(t). Так, например, для звена первого порядка и функции g(y) в виде (1.13.55) изменение значения коэффициента Рх, в пределах которого решение уравнения устойчиво, может быть представлено в виде
< 0, для Vy(t), t е[0, оо).
Первый этап синтеза управления, связанный с определением структуры закона управления, полностью совпадает с изложенным выше. Рассмотрим более подробно второй этап - этап выбора оп тимальных значений параметров закона управления.
Закон управления, удовлетворяющий условию (1.13.52), для линейного или нелинейного объектов обеспечивает замкнутой сис теме управления свойства, идентичные (1.13.53). Решение уравне ния (1.13.53) в аналитическом виде представляет собой опреде ленные трудности, а порой и не представляется возможным полу чить его в виде
y(t)=<Py(eat, y (t0))
при условии, что желаемая траектория уж(10 тождественно равна нулю. Следовательно и интеграл (1.13.48) не имеет аналитическо го решения. Эти ограничения приводят к тому, что поиск опти мального решения выполняется численными методами. Процедура поиска решения может быть представлена в виде совокупности операций, составленной на основе градиентных методов. Выбор конкретного алгоритма зависит от подхода к решению двух глав ных вычислительных проблем:
-вычисление градиента с минимальными затратами и требуе мой точности;
-отыскание минимума функции на заданном направлении.
Таким образом, применение структурно-параметрического ме тода в задачах оптимального управления с ограничениями вида (1.13.23) позволяет существенно упростить процедуру поиска n(t).
В заключение отметим, что использование структурно-пара метрического метода в задачах оптимального терминального управления аналогично задаче регулятора.
ГЛАВА 2. АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
2.1. МЕТОДЫ АНАЛИЗА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В
ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
В широком смысле под анализом понимается процедура ис следования систем в заданных условиях функционирования для определения показателей ее эффективности. Эти исследования проводят аналитическими, экспериментальными методами и мето дом имитационного моделирования. Необходимо подчеркнуть, что экспериментальные исследования, как правило, очень трудоемкие и дорогостоящие. Кроме того, они позволяют получить показатели эффективности постфактум, уже после создания опытного образца системы, в то время как эти сведения желательны еще на стадии ее проектирования. В связи с этим основное внимание будем уде лять аналитическим методам исследования и методам имитацион ного моделирования.
Определение показателей эффективности необходимо для вы яснения их соответствия требуемым значениям и возможности их улучшения. Под условиями применения понимается поле возмож ных значений фазовых координат (например, дальностей, скоро стей), показателей состояния окружающей среды (температуры, давления, влажности) и ограничений, накладываемых на систему (допустимые перегрузки, минимальная дальность применения, чувствительность приемника и т.д.).
В узком смысле анализ систем сводится к определению пока зателей устойчивости, точности, помехоустойчивости и чувстви тельности к изменению условий применения и точности выдержи вания параметров. Попутно определяется и поле условий приме нения, в котором эти показатели удовлетворяют заданным требо ваниям. Кроме того, в процессе анализа выявляются критичные по тем или иным показателям режимы работы и предлагаются ре комендации по повышению эффективности ДС и возможным ее упрощениям, не приводящим к существенным ухудшениям пока зателей эффективности. Ниже основное внимание будет уделено методам анализа ДС на устойчивость, точность и чувствитель ность.
Большую группу методов анализа составляют классические приемы и процедуры исследований линейных стационарных сис
тем. К ним относятся методы, основанные на использовании пре образований Лапласа и Фурье, Z-преобразований, передаточных функций и структурных схем. Однако эти методы трудно исполь зовать для анализа многомерных и статистических систем. При анализе последних широкое применение находят связанные между собой корреляционный и спектральный методы [67].
Более универсальны современные методы анализа, основанные на представлении процессов и систем в пространстве состояний [34, 58, 67, 77]. Эти методы применяются при анализе многомер ных и одномерных, детерминированных и статистических, линей ных и нелинейных, стационарных и нестационарных систем. При этом на основе одних и тех же моделей можно использовать как аналитические методы исследований, так и методы имитационного моделирования на ЭВМ. Наиболее полно и строго современные ме тоды анализа разработаны для линейных стационарных систем. Среди них можно выделить различные модификации процедур и приемов анализа систем на устойчивость, точность и чувствитель ность.
Исследования ДС на устойчивость, выполняемые аналитиче скими методами и методами имитационного моделирования, про водятся как для систем в целом, так и для отдельных их режи мов, подсистем и устройств. Кроме констатации самого факта ус тойчивости, выявляется поле условий применения ДС, подсистем и устройств, в котором они функционируют устойчиво. Одновре менно определяется допустимый диапазон изменения параметров отдельных устройств, влияющих на устойчивость ДС в целом.
В процессе анализа на точность в общем случае находят по тенциальные и реальные ошибки функционирования с привлече нием как аналитических методов, так и имитационного моделиро вания. На первом этапе анализа обычно определяют потенциаль ную точность систем и отдельных устройств. Исследование потен циальной точности проводится с целью определения минимально возможных ошибок функционирования. Кроме того, потенциаль ная точность служит одним из необходимых признаков соответст вия ДС заданным требованиям. Бели показатели потенциальной точности не соответствуют требованиям, то дальнейший анализ направлен на выявление причин такого несоответствия. Для опти мальных ДС потенциальная точность обусловлена дисперсиями ошибок фильтрации, которые вычисляются в процессе решения уравнений Риккати [34]. При этом необходимо отметить два об стоятельства.
Дисперсии зависят от условий применения, определяющих в (1.4.1) и (1.4.2) статистические характеристики возмущений £х и £и. В связи с этим анализ на потенциальную точность необходимо проводить для всего поля возможных значений спектральных плотностей или дисперсий возмущений.
Решение уравнений Риккати аналитическим способом воз можно только для оптимальных фильтров малой размерности. Во всех остальных случаях значения дисперсий ошибок фильтрации получаются в процессе численного решения уравнений Риккати на ЭВМ.
Если потенциальные ошибки соответствуют требованиям, то исследуется точность фильтрации в условиях, приближенных к реальным (в дальнейшем реальная точность). Получить показате ли реальной точности аналитическими методами можно только для систем малой размерности. Поэтому основным методом иссле дования реальной точности является имитационное моделирование на ЭВМ. В процессе этого моделирования определяются динамиче ские и флуктуационные ошибки во всем поле возможных условий применения, а также наличие расходимости процессов оценива ния. Суть расходимости состоит в том, что в реальных условиях функционирования ошибки фильтрации (х-х) могут увеличивать ся, существенно превышая свои теоретические значения, опреде ляемые в процессе решения уравнений Риккати. Причины расхо димости и методы борьбы с ней будут рассмотрены в п.п. 2.2.3- 2.2.5.
Следует отметить, что синтез ДС, как правило, выполняется в рамках тех или иных допущений, которые, позволяя упростить процедуру синтеза, на практике не всегда соблюдаются. Поэтому особое значение приобретает имитационное моделирование для анализа ДС на устойчивость и точность в условиях, когда приня тые допущения не соблюдаются.
Другим направлением исследований ДС для выявления их способности функционировать в условиях, отличающихся от стан дартных, является использование специальных процедур опреде ления чувствительности. Под чувствительностью ДС понимается ее способность изменять свои показатели эффективности при измене нии условий функционирования, параметров подсистем и уст ройств и точности измерителей. Необходимо отметить, что поня тие чувствительности имеет двойной смысл. Для адаптивных сис тем, целенаправленно приспосабливающихся к изменениям усло вий функционирования, параметров подсистем и точности измери телей, высокая чувствительность является положительным факто
ром. Для неадаптивных ДС высокая чувствительность к отмечен ным изменениям обычно приводит к ухудшению показателей их эффективности.
Среди методов анализа чувствительности можно выделить две группы. К одной из них относятся методы текущего оценивания чувствительности, позволяющие определить ее на любой текущий момент времени. К другой группе относятся методы интегрального оценивания чувствительности, которые дают возможность полу чить ее оценку за все время функционирования ДС.
В свою очередь среди методов текущего оценивания чувстви тельности также можно выделить две группы. Первая группа ос нована на определении коэффициентов чувствительности. Коэф фициенты чувствительности представляют собой изменения пока зателей эффективности ДС либо ее фазовых координат, обуслов ленные единичными изменениями параметров, условий примене ния или погрешностей измерений. Эти коэффициенты определя ются в процессе анализа моделей состояния (1.4.1), наблюдений (1.4.2), алгоритмов фильтрации и управления. Анализ проводится путем разложения в тот или иной ряд исследуемых процессов как функций многих аргументов. Роль аргументов играют интересую щие изменения фазовых координат, параметров системы и по грешности измерений. Коэффициенты членов ряда при указанных аргументах и представляют собой коэффициенты чувствительно сти. Достоинством таких методов является возможность их при менения для широкого класса нелинейных, линейных, детерми нированных, статистических, стационарных и нестационарных систем.
Вторая группа методов текущего оценивания чувствительности основана на определении приращений дисперсий ошибок функ ционирования ДС за счет тех или иных несоответствий исходных моделей и реальных условий функционирования. Эти методы наи более хорошо разработаны для характеристики чувствительности различных алгоритмов оптимального оценивания [42, 67].
Все рассмотренные методы позволяют оценить чувствитель ность как функцию времени. В итоге становится трудно сравни вать чувствительность различных систем, поскольку ее показатели могут меняться во времени различным образом. Этого недостатка лишены методы интегрального оценивания чувствительности за все время функционирования ДС. В их основе лежит вычисление абсолютных или относительных приращений оптимизируемых квадратичных функционалов качества, которые вызываются теми или иными изменениями условий функционирования и парамет
ров системы. Кроме того, такие методы позволяют получить сово купную оценку чувствительности при одновременном изменении всех интересующих параметров, фазовых координат и т.д. Необхо димо отметить, что, давая более обобщенную оценку чувствитель ности, эти методы оказываются существенно более сложными и без применения ЭВМ не реализуемы на практике.
Строгий анализ нелинейных и нестационарных линейных сис тем на устойчивость и точность достаточно сложен и трудоемок. Обзор таких методов приведен в [66, 69, 64]. Приближенно об ус тойчивости и точности нелинейных систем можно судить по их линеаризованным моделям. Для приближенного анализа неста ционарных систем используется метод замороженных коэффици ентов, суть которого будет рассмотрена в п. 2 .2 .1 .
2.2.УСТОЙЧИВОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
2.2.1. О бщ и е с в е д е н и я о б у с то й ч и в о с ти м н о го м е р н ы х
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Система считается устойчивой, если после выведения из по ложения равновесия малыми возмущениями, она самостоятельно возвращается в исходное состояние. Под положением равновесия понимается невозмущенная фазовая траектория, определяемая од нородной частью в общем случае нелинейных уравнений состоя ния с переменными коэффициентами.
Если эволюции многомерной системы описываются линейны ми векторно-матричными уравнениями (1.4.1), то ее устойчивость не зависит от воздействий управляющих сигналов и и возмущений
и определяется решением однородного уравнения
x(t) = F(t)x(t). |
(2.2.1) |
Наиболее прост анализ на устойчивость для линейных стацио нарных систем. Поэтому в дальнейшем элементы матриц F и В в (1.4.1) и (2.2.1) полагаются постоянными.
Чтобы решение (2.2.1) было асимптотически (при Ь-*я) устой чивым, необходимо и достаточно существования отрицательных вещественных частей у корней уравнения [64]