книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций

(x3) ^ H 1 (x“ )[B*i +(х3/2)с!^п]

оболочки в направлении оси х^; sv ^ - координаты единич­

ного вектора Sv\^n на прямой, соединяющей эти узлы.

Левый верхний индекс s характеризует конфигурацию КЭ; 8=0 - до деформирования, е=1 - после деформирования.

В соответствии с уравнением (3.9.1) компоненты вектора перемещения равны:

Р

i=l

Например, поликвадратичные функции формы для 8-узлево­ го КЭ Сирендипова семейства имеют вид:

-соответствующие узлам в вершинах:

Ni(x“ )=i (1+xfx1)(1+х?х2 )(х^х1+х?х2- 1 | ,

-соответствующие узлам на серединах сторон

Считается, что узел срединной поверхности оболочки располагается на прямой между соответствующими узлами нижней и верхней поверхностей. При описании деформаций используется гипотеза Тимошенко, в соответствии с которой нормаль к недеформированной срединной поверхности оболоч­ ки после деформирования оболочки является прямой линией, но уже не нормалью к деформированной срединной поверхнос­ ти. На основании этой гипотезы для перемещений вдоль оси

х3 используется линейная аппроксимация:

^ (хj)=н± (х“ и 1+х?х3 )/2

Матрица закона деформирования с как в глобальной/ так и в локальной системе координат содержит следующие компо­

Отличные от нуля компоненты тензора закона деформиро­ вания для ортотропного материала оболочки в системе коор­ динат, оси которой совпадают с главными осями ортотропии, равны:

1*1*1*1* ,

с= El/ (1~v'l2v21^'

где kj,(i=l, 2 )-коэффициенты поперечного сдвига, вычисление

которых описано ниже.

При переходе в глобальную декартовую систему координат

mii,i=9i3 ,

то есть

i3

<Г - = -ciiiii(x3 )x3qi3/Bi , (3.9.24) ,з

Интегрируя обе части равенства (3.9.24) от -d/2 до xJ получим (в подынтегральном выражении х3 заменено на t):

Из (3.9.25) и (3.9.22) следует

Bi -d/2

Такик образом, соотношения (3.9.26), (3.9.27) прибли­ женно определяющие закон распределения напряжений попе­ речного сдвига, учитывают Изменение жесткостных характе­ ристик по толщине пакета слоев оболочки и удовлетворяют условиям непрерывности на поверхностях раздела слоев и

статическим граничным условиям <rl3 (+d/2)”0 на лицевых поверхностях оболочки.

Интеграл от касательного напряженая по толщине оболоч­ ки должен быть равен поперечной силе. Из этого условия

Коэффициенты поперечного сдвига к^ определим из энер­

гетических соображений. Введем в рассмотрение удельные

потенциальные энергии сдвига 1Ь , соответствующие принято­

му в модели типа Тимошенко равномерному распределению

d/2

, 3.. з V i qi3ri3 2 qi3/(ki®i3d '' Gi3"H■ i j Gi3 (x )dx .

-d/2

(3.9.27) приводят к известному распределению напряжений поперечного сдвига в виде квадратичной параболы:

fi (x3 >=6 Г

и к известным значениям коэффициентов сдвига:

d/2

ki=d/[ I (fi<x3>)2dx3]=5/6-

-d/2

3.10. СУПЕРПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ ИЗГИБАЕМОЙ ПЛАСТИНЫ

В суперпараметрическом КЭ задается два независимых множества узлов. Одно множество узлов определяет преобра­ зование координат (геометрию КЭ), а второе используется для аппроксимации поля перемещений в КЭ. В суперпарамет­ рическом конечном элементе число узлов, используемое для описания геометрии КЭ, больше числа узлов, используемых для описания поля перемещений. Функции формы для аппрок­ симации поля перемещений и аппроксимации геометрии супер­ параметрического КЭ будут различными, причем степень по­ линома для аппроксимации геометрии (координат) выше сте­ пени полинома для аппроксимации перемещений.

Выведем матрицу жесткости суперпараметрического КЭ для изгибаемой пластины переменной толщины.

Рис. 3.10.1. Суперпараметрический КЭ пластины переменной толщины.