книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций

Аппроксимирующие функции выбираем в виде:

Компоненты градиента перемещений при использовании фор­ мул (3.7.8) и (3.7.9) равны:

Сравнивая коэффициенты формул (3.7.6) и (3.7.7) с- соот­ ветствующими коэффициентами формул(3.7.8) и (3.7.9), получим:

a3=e0“W 0' a4=ei_Wl' b2=e0+W0r b4=e2+W2’

С учетом формул (3.7.10) деформация с^2 равна:

формула (3.7.11) наряду с коэффициентами, соответ­ ствующими деформации, содержит также коэффициенты, соответствующие углу поворота твердого тела. Это обстоятельство является причиной уменьшения скорости сходимости приближенного решения к точному при сгущении

Несогласованные коэффициенты выбранного закона аппрок­ симации отбрасываются. В результате получаем следующие

Формулы (3.7.21) - (3.7.25) могут быть представлены в матричной формё:

Суммирование при к'=1,2,3 можно представить через рас­ ширение соответствующих матриц:

Таким образом:

Запишем вариацию энергии формоизменения:

С учетом уравнений (3.7.26) и (3.7.27):

1 1 1

- 1- 1-1

Из уравнения (3.7.26) с учетом того, что матрицы

внутри КЭ постоянны, можно записать матрицу DIJKL в

следующем виде:

При использовании полилинейных аппроксимирующих функ­ ций согласно уравнению (3.3.2) с учетом соответствия индексов рисунку 3.3.2 получается следующая матрица преобразования А:

Так как выражение внутри формулы (3.8.8) при mn®33 равно

С помощью скорректированной деформации Ej^fij) запишем

вариацию энергии формоизменения:

1 1 1

5W^= J J5eij(kl)C1^ ^ e ^ 1 (ij)У~д'dx1dx2dx3«5vTRv. (3.8.10)

- 1- 1-1

Перемещения здесь выступают в качестве варьируемой функции. Вариация скорректированного тензора деформаций соответствует приближенно вариации перемещений узлов. С использованием объемного МСКЭ-элемента компоненты тензора деформаций в оответствии с формулой (3.7.30)

Eii“i6,rijAv

вычисляются по формуле:

При расчете матрицы жесткости КЭ справедливы уравнения (3.7.32) и (3.7.33), причем в формуле (3.7.33) необходимо

заменить ^ на ^ ;ijkl).

3.9. МНОГОСЛОЙНЫЙ ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ОБОЛОЧЕЧНЫЙ КЭ

При построении моделей деформирования многослойных

45,84,95,97]. В первом случае порядок разрешающей системы уравнений зависит от числа слоев.Во .втором случае порядок системы не зависит от числа слоев, что открывает, в част­ ности, возможности для эффективного применения МКЭ в рас­ четах многослойных оболочек [3,84,97].

Рассматриваемый КЭ многослойной оболочки произвольной формы получен на основе подхода [117], состоящего в дис­ кретизации трехмерных уравнений теории упругости с ис­ пользованием гипотез типа Тимошенко по толщине оболочки. Применению такого подхода к расчету тонких оболочек и оболочек средней толщины посвящены работы [22,197,220],

Для рассматриваемой конечноэлекентной модели исполь­ зуются следующие системы координат:

- глобальная декартовая система координат, в которой опи­ сываются координаты узлов КЭ, перемещения узлов, матрица жесткости структуры и вектор нагрузки; ■

-локальная криволинейная система координат х? (j=l,2,3),

вкоторой выполняется численное интегрирование по объему КЭ;

поверхности оболочечного КЭ, обеспечивается совместность смежных конечных элементов на общей границе для составных оболочечных конструкций с изломами поверхности.

Рис. 3.9.1. Восьмиузловой изопараметрический КЭ многослойной оболочки.

Координаты точки в КЭ/ имеющем р узлов, задаются в ло­ кальной криволинейной и глобальной декартовой системах координат. Зависимость между координатами точки в .этих координатных системах имеет вид: