книги / Практическая кристаллография

(±а ±с)/2). Таким же образом этой же плоскостью симметрии объединены ато­ мы /6( 1/2; 0; z+1/2) и 1с(1; 0; z). В свою очередь, эти три атома связаны транс­ ляцией b с атомами Ы(0; 1; z), le{ 1/2; 1; z) и ffll; 1; z)- Таким образом, все указанные атомы, объединенные элементами симметрии в одну правильную систему точек, составляют частную двукратную правильную систему точек: 2 (а) 0 0 г.

Другая возможная правильная система точек представлена тремя атомами: 2а(0; 1/2; z), 2Ь(1/2; 1/2; z) и 2с(1; 1/2; z), которые лежат в плоскости скользя­ щего отражения п и объединяются последней во вторую частную двукратную правильную систему точек: 2 (6) 0 1/2 Z-

Следующая возможная правильная система точек представлена тремя атома­ ми: За(0; у; z), 3b(\/2\ 1—у\ г) и Зс(1; у; z), которые лежат в зеркальных плоскостях симметрии и в плоскости скользящего отражения п и объединяются последней в новую частную двукратную правильную систему точек: 2 (с) 0 у z-

Еще одна возможная правильная система точек образуется восемью ато­ мами, которые располагаются на левой и правой гранях элементарной ячейки. Так, атом 4а(х\ 0; z) с помощью плоскости п соединяется с атомом 4Ь(1/2+х; 0; l/2+z)- Вертикальная зеркальная плоскость симметрии, которая делит эле­ ментарную ячейку пополам, соединяет эти атомы соответственно с другими атомами, располагающимися также на левой грани элементарной ячейки: 4с( 1— -х; 0; z) и 4d(l/2 -х; 0; l/2+z). В свою очередь, каждый из этих четырех атомов соединяется с помощью других элементов симметрии (либо трансляциями Ь, либо винтовыми осями симметрии, либо плоскостью скользящего отражения л, делящей пополам элементарную ячейку) с атомами, которые располагаются на правой грани элементарной ячейки: 4е(х; 1; z), 4Д1/2-х; 1; 1/2+z), 4g(1/2+х;

1; l/2+z) и 4h( 1-х; 1; z).

Поскольку каждый из перечисленных восьми атомов на боковых гранях элементарной ячейки принадлежит этой ячейке наполовину, все эти атомы со­ ставляют одну четырехкратную правильную систему точек 4 (6) х 0 z■Докажем, что полученная четырехкратная правильная система является общей, для чего сопоставим ее с заведомо общей правильной системой точек, которой принад­ лежит атом 5а(х; у, z)-

Ближайшая винтовая ось симметрии соединяет этот атом с другим: 56(1/2—х; 1-у; l/2+z), а зеркальная плоскость симметрии, делящая элементарную ячейку пополам, соединит эти атомы с двумя другими: 5с(1—х; у; z) и 5d(x+1/2; 1—у; Z+1/2), завершая образование новой четырехкратной правильной системы точек 4 : (Ь)х у z- Как видно из проведенного сопоставления, предыдущая четырехкрат­ ная правильная система точек 4 (6) х 0 z на самом деле оказалась общей: ее кратность совпала с кратностью общей правильной системы точек 4 (6) х у z-

Завершим рассмотрение общих четырехкратных правильных систем точек пространственной группы симметрии Pmn2v выбрав на этот раз атом 6а(1/4; 0; z) на винтовой оси симметрии второго порядка 2Г Эта ось симметрии соединит данный атом с другим атомом той же правильной системы точек: 66(1/4; 0; 1/2+/), который находится на той же вертикальной винтовой оси симметрии второго порядка. Вертикальная зеркальная плоскость симметрии, делящая пополам эле­ ментарную ячейку, соединит эти атомы с соседними (по грани элементарной

первые четыре характеризуются фиксированными численными значениями, а остальные включают в себя параметры х, у и/или z, которые могут принимать любые значения от 0 до 1.

Атомы четырехкратных правильных систем точек типа (е) 0 0 z располага­ ются на вертикали, проходящей через начало координат, причем количество таких правильных систем точек в одной кристаллической структуре формаль­ но ничем не ограничено (хотя практически их число не превышает нескольких единиц).

Атомы шестикратной правильной системы точек (g) 1/2 0 0 и двенадцати­ кратной правильной системы точек (/) х 0 0 располагаются на координатных осях симметрии ОХ и OV

Атомы двукратных правильных систем точек (с) 1/3 2/3 1/4 и (d) 1/3 2/3 3/4, а также четырехкратной правильной системы точек (/) 1/3 2/3 z располагаются либо в центрах структурных равносторонних треугольников, либо под/над этими центрами.

Если же в списке возможных правильных систем точек нет правильной си­ стемы точек типа 0 0 0, а этот список, составляемый обычно в порядке возрас­ тания кратностей правильных систем точек, открывается правильной системой точек типа 0 0 z, то это свидетельствует об отсутствии в соответствующей про­ странственной группе симметрии горизонтальных элементов симметрии, от которых производится отсчет положения начала координат, значит, начало ко­ ординат выбирается на произвольной высоте.

Примерами подобных пространственных групп симметрии могут служить пространственные группы Рбтт и Рбсс, где начало координат выбирается в произвольной точке простой вертикальной оси симметрии шестого порядка, а также пространственные группы Р63тс и Р63ст, у которых начало координат выбирается в произвольной точке вертикальной винтовой оси симметрии ше­ стого порядка 63

14.4. Расчет кристаллических структур по параметрам правильных систем точек

Проведем расчет ромбической кристаллической структуры антимонида се­ ребра Ag3Sb (пространственная группа симметрии Ртт2), в которой представ­ лены четыре правильные системы точек с соответствующими параметрами (г) рис. 14.3, а:

Из четырех правильных систем точек лишь одна относится к атомам сурьмы, а остальные три описывают пространственное расположение атомов серебра, при­ чем все указанные правильные системы точек однократные и частные, что долж­ но упростить решение поставленной задачи. Значения параметров z выражены в

Рис. 14.3. Кристаллическая структура AgSb: а — план; б — чередование треугольных атомных се­ ток; в — структурный тетраэдр

осевых единицах с0 Известны также осевые (масштабные) единицы указанной кристаллической структуры: а0 —0,482 нм; bQ= 0,299 нм; с0 = 0,522 нм.

Определение координат атомов кристаллической структуры антимонида се­ ребра начнем с правильной системы точек 1: (а). Учитывая указанное значение аппликаты z = 0, можем с уверенностью определить, что атомы сурьмы распола­ гаются в вершинах элементарной ячейки данной кристаллической структуры (рис. 14.3). Каждый вершинный атом отдает в элементарную ячейку одну восьмую свою часть, следовательно, восемь вершинных атомов сурьмы полностью исчер­ пывают номинальную кратность данной правильной системы точек (а).

Атомы серебра первой правильной системы точек (b) занимают положе­ ния в центрах передней и задней граней элементарной ячейки с координата­ ми (0; 1/2; 1/2) и (1; 1/2; 1/2).

Атомы серебра второй правильной системы точек (с) занимают положений на левой и правой гранях элементарной ячейки с координатами (1/2; 0; 0,65) й (1/2; 1; 0,65). Две половинки от каждого из этих атомов позволяют реализовать здесь однократную правильную систему точек (как и в предыдущем случае).

Единственный атом серебра (1/2; 1/2; 0,17), находящийся внутри элементар­ ной ячейки, соответствует третьей однократной правильной системе точек (*/)• Рис. 14.3, б" позволяет представить данную структуру как результат чередований параллельных атомных сеток (100) двух типов: передняя атомная сетка — сме­ шанная и состоит из атомов серебра и сурьмы, а соседняя — из чистого серебра, следующая — смешанная, за ней — снова серебряная и т.д.

На рис. 14.3, б в масштабе показаны обе атомные сетки (100), каждая из которых состоит из почти равносторонних одинаковых структурных треугольников (две стороны — по 0,301 нм, третья — 0,299 нм). Соседние сетки смещены по отноше­ нию друг к другу по вертикали примерно на 2/3 высоты треугольника таким обра­ зом, что атом одного слоя находится под центром тяжести структурного треуголь­

В пространственной группе симметрии 1тЗт, к которой принадлежит дан­ ная кристаллическая структура, начало координат выбирается в центре симмет­ рии (приложение 3) (например, в вершине кубической элементарной ячейки с координатами (0; 0; 0)). Поэтому определяем для кристаллической структуры a -железа правильную систему точек 2 (а) 000 (кстати, единственно возмож­ ную двукратную правильную систему точек для пространственной группы сим­ метрии 1тЗт).

3. Кубическая элементарная ячейка кристаллической структуры алмаза (рис. 11.8, а) помимо вершинных атомов и атомов в центрах граней содержит еще четыре объемных атома, расположенных по вершинам структурного кубического тетраэдра. Все эти атомы можно связать друг с другом плоскостями скользящего отражения типа d, которые располагаются параллельно граням куба и отстоят от них на 1/8 долю соответствующей трансляции — на 1/8 часть ребра куба от вер­ шины куба. Напомним, что компоненты скольжения этих плоскостей скользящего отражения выражаются следующими значениями: (±а ±Ь)/4 или (±Ь ±с)/4 или (±с ±а)/4. Таким образом, атомы алмаза образуют одну восьмикратную правильную систему точек.

Из двух возможных восьмикратных правильных систем точек (8 (а) 000 и 8 (b) 1/2 1/2 1/2) выберем правильную систему точек 8 (а), поскольку часть атомов структуры алмаза занимает вершины его элементарной ячейки (тем более, что в центре куба нет ни одного атома).

4. В кубической алмазоподобной структуре сфалерита (рис. 11.9, а) все атомы занимают такие же положения, как в кристаллической структуре алмаза: поло­ вина атомов располагается в вершинах куба и центрах его граней, а другая половина — внутри куба, причем в сфалерите в отличие от алмаза эти полови­ ны отличаются друг от друга не только по своему расположению, но и по сво­ ему составу. Расположение атомов первой половины напоминает расположе­ ние атомов в структуре меди (рис. 11.1, в).

Хотя кристаллическая структура сфалерита описывается иной пространствен­ ной группой симметрии (Р?3т), в ней содержится точно такая же четырехкрат­ ная правильная система точек 4 (а) 0 0 0. Завершив определение правильной системы точек первой половины атомов структуры сфалерита, располагающих­ ся на поверхности элементарной ячейки, проанализируем симметрическое со­ ответствие второй половины атомов элементарной ячейки.

Пара атомов (1/4 1/4 1/4) и (3/4 3/4 1/4) связана трансляцией типа (±а ±Ь)/2. Аналогичным образом связаны друг с другом и обе другие пары атомов: (1/4 1/4 1/4) и (3/4 1/4 3/4) — трансляцией типа (±с +а)/2), а также (1/4 1/4 1/4) и (1/4 3/4 3/4) — трансляцией типа (+Ь ±с)/2. Таким образом, и эта группа из четырех атомов образует вторую четырехкратную правильную систему точек.

Теперь остается подобрать для этой четверки атомов подходящую правиль­ ную систему точек из четырех возможных для пространственной группы сим­ метрии (Fi3m) четырехкратных правильных систем точек: 4 (о) 0 0 0; 4 (Ь) 1/2 1/2 1/2; 4 (с) 1/4 1/4 1/4 и 4 (d) 3/4 3/4 3/4. Данная четверка объемных атомов описывается четырехкратной правильной системой точек 4 (с).

Таким образом, пространственное расположение атомов в кристаллической структуре сфалерита соответствует двум четырехкратным правильным систе­ мам точек: 4 (а) 0 0 0 и 4 (с) 1/4 1/4 1/4.

5. В кубической кристаллической структуре куприта (рис. 14.4, б, в) (про­ странственная группа симметрии РпЗт) атомы одного сорта занимают верши­ ны и центр куба, атомы другого сорта занимают позиции на объемных диагона­ лях куба, находясь посередине между вершинами и центром куба и образуя внутренний структурный кубический тетраэдр.

Расположение атомов первой группы напоминает атомный рисунок а-желе- за (пространственная группа симметрии 1тЗт), для которого нашли двукрат­ ную правильную систему точек 2 (а) 0 0 0. С другой стороны, расположение внутренних атомов, образующих структурный кубический тетраэдр, напоминает атомную структуру в сфалерите (пространственная группа симметрии Fl3m),

Отметим, что принадлежность обеих групп атомов в кристаллической струк­ туре куприта к двум соответствующим правильным системам точек доказыва­ ется с помощью координатных плоскостей скользящего отражения типа и, про­ ходящих через атомы внутренней группы. Из возможных правильных систем точек пространственной группы симметрии куприта РпЗт находим и двукрат­ ную правильную систему точек 2 (а) 0 0 0, и четырехкратную правильную систему точек 4 (b) 1/4 1/4 1/4.

6. Элементарная ячейка кристаллической структуры магния (рис 14.5, а) об­ разована вершинными атомами, которые связаны друг с другом базисными транс­ ляциями (а, Ь, с), и содержит атом внутри своего объема, который связан с вершинными атомами винтовой осью симметрии шестого порядка 6У Следова­ тельно, все эти атомы образуют одну двукратную правильную систему точек.

Поскольку начало координат в пространственной группе симметрии P6Jmmc, к которой принадлежит кристаллическая структура магния, вы­ бирают на вертикальной винтовой оси симметрии 6г на расстоянии 1/4 части трансляции с от горизонтальной зеркальной плоскости симметрии, координаты единственного объемного атома в элементарной ячейке маг­ ния будут (1/3; 2/3; 1/4). На этом основании выбираем из четырех воз­ можных для пространственной группы симметрии двукратных правиль­ ных систем точек — 2 (а) 0 0 0; 2 (Ь) 0 0 1/4; 2 (с) 1/3 2/3 1/4; 2 (d) 1/3 2/3 3/4 — правильную систему точек 2 (с).

7. Пространственное расположение атомов кристаллической структуры вюрцита (рис. 14.5, б) (пространственная группа симметрии Рб/пс) во многом напоминает атомное строение магния (рис. 14.4). Действительно, атомы каждого из двух сортов атомов вюрцита как бы повторяют атомную структуру магния (пространственная группа симметрии Рб^ттс), которая описывалась двукрат­ ной правильной системой 2 (с) 1/3 2/3 1/4.

Из сопоставления обеих пространственных групп симметрии можно заклю­ чить, что их отличие сводится к отсутствию в пространственной группе сим­ метрии Р63тс горизонтальной зеркальной плоскости симметрии, что повлияло на положение начала координат в этой пространственной группе симметрии:

Рис. 14.5. Планы кристаллических структур магния (в); вюрцита (б); арсенида никеля (в, г); графита (д)

оставаясь на той же вертикальной винтовой оси симметрии шестого порядка 6V начало координат можно выбирать на произвольной высоте z-

Таким образом, ространственное расположение каждого из двух сортов ато­ мов в структуре вюрцита описывается двукратной системой точек. Поскольку начало координат и в структуре магния, и в структуре вюрцита выбирается на вертикальной винтовой оси симметрии шестого порядка 6}, координаты атома, ближайшего к началу координат и в магнии, и в вюрците, похожи: (1/3 2/3 1/4) и (1/3 2/3 г); отличие лишь в определении аппликаты z из-за отсутствия гори­ зонтальных элементов симметрии в вюрците.

Сравним результаты анализа с конкретным перечнем возможных соответ­ ствующих правильных систем точек в пространственной группе симметрии