книги / Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений

даемых случайными источниками, в однородных нелинейных сре­ дах, а в первом приближении—и в неоднородных [89, 91].

Для рассматриваемой модели уравнение плотности вероятно­ сти поля w(x, t, г) вместо (4.2.3) приобретает вид [91]

условии dw(x, t, r)ldt=0, обозначим wCT(x, г), в однородном ре­ жиме, т. е. при dw(x, г )!д г = 0, ау0ди(л;, /) и, наконец, стационар­ ное и вместе с тем однородное решение, соответствующее выпол­ нению обоих условий — wc.o{x, t). Последнее получается так же, как и для уравнения (1.4.14).

Найдем корреляционные функции спектральных амплитуд (см. разд. 1.4.3)

Я(кь к2) = М [X (—ki)X (к )],

где к (со, v )—вектор частот по времени и пространству для скаляр­ ного поля x(t, г), порождаемого СДУ (4.2.1) при наличии одной пространственной координаты.

Используя метод статистической линеаризации [3] и полагая функцию f(x) в СДУ нечетной, заменяем ее линейной функцией f(x) = — ах, где а определяется одним из описанных в [3] способов. Тогда можно применить методы анализа линейных СДУ (см. разд. 4.3.1, 4.3.2), в результате получаем

Таким образом, СДУ (4.2.1) в рамках описания порождаемого им поля одномерными распределениями и корреляционными функ­ циями эквивалентно уравнению

Аналогичная эквивалентность может иметь место и для ска­ лярного поля, зависящего от нескольких пространственных коор­ динат. Однако она не сохраняется при решении более сложной задачи—определении нестационарной плотности вероятности.

121

Для решения уравнения (4.2.4) в нестационарном режиме при р ,= 0 можно применить (аналогично тому, как это было сделано в гл. 2) метод разделения переменных. Будем искать указанную

минированное начальное условие.

Поступая далее аналогично § 2.1, из (4.2.4) получаем уравне­

Решением первого из них являются собственные функции %q(x)> которым соответствуют собственные числа %q (<7=0, 1, 2, ... ) . Ре­ шение второго уравнения, полученное методом характеристик, име­ ет вид

ф(*, г)=<р(г—

где <р(г— р00 — некоторая функция, определяемая из начальных условий. В результате имеем выражение искомой плотности веро­ ятности в виде ряда

122

Легко видеть, что в пределе при t-+оо, г-+оо плотность (4.2.8) стремится к ш с.о (*), т. е. стационарное и однородное решения СДУ (4.2.1) существуют.

Аналогично, решая уравнение (4.2.3), можно найти нестацио­ нарную плотность вероятности векторного поля, описываемого

в общем виде затруднительно, однако можно найти однородное решение ш0Дн(х, t) и стационарное решение wGT(x, г). При поиске первого из них (4.2.4) преобразуется в обычное УФПК, которое решается так, как это описано в гл. 2. Второе найти значительно

ческой функции в виде

k=0

где Шк(г)—k -й начальный момент W CT (X, г), что соответствует раз­ ложению самой этой плотности в ряд по обобщенным функциям

в обеих частях уравнения, получаем рекуррентные соотношения, из которых молено приблилеенно найти леелаемое число моментов или соответствующих им куму­ лянтов стационарного рас­ Х2(г), -3£*(Г)

пределения Xft(r). Заметим, что по вероятностному смыс­ лу преиебрелеение высшими кумулянтами гораздо более оправдано, чем пренебреже­ ние высшими моментами

Рис. 4.1. Зависимость х2, х3 и от г

123

[90]. Для практических целей обычно достаточно эксцессного при­ ближения, при котором

В качестве примера на рис. 4.1 и 4.2 приведены графики кумулянтных функций, рассчитанных описанным методом для случая, когда Ц х ' ) = — ах, а переменные t, г нормированы таким образом, что fe = P != P o = a = l. Там же показаны коэффициенты асимметрии

Рис. 4.2. Зависимость коэффициен­ та асимметрии уз и коэффициента эксцесса у4 от г

уссовское распределение нормализуется.

Другой возможный путь определения стационарной плотности состоит во введении преобразованной переменной

V (х, v) = J J дост($, r)eurdsdr,

—ОО—ОО

относительно которой (4.2.4) сводится к уравнению второго по­ рядка

Методы решения уравнений такого типа известны [51]. Пусть, например, в (4.2.2) f { x ) = 0, тогда решение имеет вид

—оо

124

4.2.2. Синтез СДУ первого порядка

Рассмотрим задачу синтеза модели в форме СДУ для скаляр­ ного случайного поля x{t, г) (зависящего от времени, I простран­ ственных координат и принимаемого стационарным и однород­ ным) по заданным плотности вероятности w { x ) = w c.0{x) и корре­ ляционной функции Кх{х, р) или соответствующему ей простран­ ственно-временному спектру Gx((o, v), где

Вид исходной информации о моделируемом поле уже в опреде­ ленной мере ограничивает класс СДУ, которые могут его описы­ вать. В данном случае, когда задана плотность вероятности, ясно (см. § 4.1), что модель следует искать в классе СДУ первого по­ рядка общего вида (4.2.1), т. е. размерность п = 1, и определять ее так, как это делалось в гл. 2, не требуется. Таким образом, задача синтеза сводится к определению коэффициентов и функций, входя­ щих в (4.2.1) и (4.2.2).

Методы синтеза моделей полей вида (4.2.1), как и методы их. анализа, во многом аналогичны тем, которые используются для случайных процессов и рассмотрены в гл. 2. Если непосредственно задано аналитическое выражение спектра, то многие из искомых, величин и функций легко определить по его коэффициентам.

Пусть, например,

где v=vi-f-V2+ —]—Vz, что соответствует корреляционной функ­ ции спектральных амплитуд вида (4.2.5). Это выражение справед­ ливо для поля, описываемого СДУ (4.2.6), которое, как показано, в разд. 4.2.1, в рамках рассматриваемых характеристик статисти­

Если известен только общий вид выражения для спектра- (4.2.12) без конкретных числовых значений коэффициентов, то син­ тез может быть осуществлен по значению спектра CA(<D, v) при- OL> = V = 0 , GQ= GX (0, 0). На практике такая ситуация наиболее ти­ пична, так как величина Go допускает простое измерение в реаль­ ном канале. В этом случае значение К можно найти, учитывая, что-

125

.■из (4.2.12) G0=K/2a2$ а согласно [3]

-00

П р и м e p. Пусть

о;(л')=Сехр (px2—qx*).

Тогда

f(x)=K(px—2qx*)

m

—oo

Моменты в полученном выражении рассчитываются по формуле

4.3. ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ В ФОРМЕ СДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Из моделей в форме СДУ высших порядков сравнительно про­ стой анализ допускают лишь линейные и квазилинейные уравне­ ния. Применительно к ним можно использовать функциональный метод анализа, краткие сведения о котором приведены в прило­ жении 3.

4.3.1. Линейные СДУ

Ограничимся в этом разделе анализом моделей скалярных по­ лей, являющихся случайными функциями времени t и одной про­ странственной координаты г. В равной мере рассматриваемые ни­ ж е модели применимы и к двумерным полям, не зависящим от

.времени (статическим полям на плоскости). Обобщение получен­ ных результатов на поля со многими пространственными коорди-

126

натами и векторные поля принципиальных трудностей не вызывает и связано лишь с более громоздкими выкладками и обозначе­ ниями.

Широкий класс гауссовских полей рассматриваемого типа, как это ясно из гл. 1, может быть описан СДУ вида

т= 0 р —О

—линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффи­ циентами атр.

Применяя к (4.3.1) с учетом (4.3.2) двумерное преобразованиеФурье, получаем

где к = (ю , v) —вектор частот по времени и пространству;

мр

F (к) = 2 S « ч , 0 » Г Н ’ ;

Последние два из приведенных соотношений представляют со­ бой стохастические интегралы. Они записаны здесь, как это приня­ то в радиофизике [3, 65, 119], в форме обычных интегралов, одна­ ко не следует забывать, что такая запись является лишь условным эквивалентом стохастических интегралов, рассмотренных в § 1.4. Сходимость их всюду понимается в среднеквадратическом смысле.

Для дальнейшего анализа воспользуемся функциональным ме­ тодом, который позволяет определить моментные функции поля через вариационные производные его характеристического функ­ ционала (см. разд. 1.4.3 и приложение 1). Согласно (1.4.19) ха­ рактеристический функционал спектральных амплитуд У(к) поля y(t, г) определяется равенством

127

являющемуся аналогом УФПК. Его решение представляет собой гауссовский функционал

Моментные функции спектральных амплитуд поля выражаются через вариационные производные характеристического функциона­ ла по формулам типа (1.4.20). В частности, для корреляционной функции спектральных амплитуд из (4.3.7)

|f(k,)l! Корреляционная функция самого поля y(t, г)

где %=t2—t\\р= г2 Г1.

На практике, как отмечалось в гл. 1, большой интерес пред­ ставляют модели полей, допускающие факторизацию корреляцион­ ной функции поля по временной и пространственной координатам. Для скалярного поля условием указанной факторизуемости явля­ ется представление дифференциального оператора &~t,r в виде про­ изведения:

(4.3.10)

Это возможно только при наличии смешанных производных в представлении (4.3.2). Действительно, при условии (4.3.10) корре­ ляционная функция спектральных амплитуд в силу (4.3.8) имеет вид

128

откуда следует факторизация /Су(т, р) в (4.3.9). Сказанное спра­ ведливо и для скалярных полей, являющихся случайными функци­ ями не одной, а нескольких пространственных координат.

Используя соотношения (4.3.8) и (4.3.9), можно по известному выражению корреляционной функции спектральных амплитуд или соответствующего ей энергетического спектра путем его фактори­ зации определить коэффициенты amv оператора (4.3.2), т. е. син­ тезировать СДУ (4.3.1).

П р и м е р . Пусть для моделируемого гауссовского поля y(t, г) задана кор­ реляционная функция

Уравнения такого вида рассматривались в [199].

4.3.2. Квазилинейные СДУ

Квазилинейными называют уравнения, линейные относительно

Такое уравнение отличается от линейного лишь одним членом. Применяя аналогично предыдущему к (4.3.1) с оператором (4.3.12) преобразование Фурье по / и г, получаем

оооо

atX (k) -f- j* J ivT (к) Y (к— ш) dm-j-ai0 (i<o)*K(к) -J-

Используя затем функциональный метод, приходим к системе уравнений в вариационных производных относительно характери­ стического функционала:

В принципе из записанной системы уравнений можно найти ха­ рактеристический функционал, а по нему— моментные функции. Однако получение общего результата в аналитическом виде за­ труднительно. В частном случае, когда спектральные амплитуды моделируемого поля и входного воздействия можно считать слабо

коррелированными: Y (k )5 (k ')^ 0 при |к—к'|^§>1, кореляционная функция спектральных амплитуд поля допускает приближенное представление

С его учетом корреляционная функция самого поля y (t , г) при­ обретает вид

квазилинейной модели, в отличие от линейной, возможность фак­ торизации корреляционной функции не связана с наличием сме­ шанных производных в СДУ.

Коснемся далее некоторых возможностей обобщения полученных результатов на векторные поля с несколькими пространственными координатами.

130 ’