книги / Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений

Таким образом, «поведение» корреляционной функции решения СДУ (3.1.1) при п = 1 практически совпадает с «поведением» кор­ реляционной функции одномерного непрерывного марковского про­ цесса.

3.2.4. Синтез одномерных моделей

Обратимся теперь к процедуре синтеза СДУ (3.1.1) по извест­ ной стационарной плотности вероятности wCr{x) и корреляционной функции /С*(т) порождаемого им процесса x (t ).

Из (3.1.5) и (3.1.6) при п— 1 следует, что для произвольного распределения р{А)

1С'сГ(х)

где Ло— «амплитуда» воздействующих импульсов.

В качестве примеров рассмотрим использование соотношения (3.2.25) при синтезе СДУ (3.1.1) для двух различных распределений «амплитуды» импульсов:

ют, в то время как мера расхождения выбранных распределении «амплитуд» по Кульбаку

111

f(x) можно найти также обращени-

ем формулы (3.2.6):

X

V J wCT(z)e?zdz

fix)

£i__________

wCT(x)epx

Полагая, что значение v известно и применяя эксцессное при­ ближение, из (3.1.5) и (3.2.26) получаем

т. е. функция отличается от аналогичной ей, приведенной в разд. 2.7.2, слагаемым

3.3. НЕКОТОРЫЕ ДВУМ ЕРНЫЕ МОДЕЛИ РАЗРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

3.3.1. Анализ СДУ второго порядка

Импульсные помехи, реализация которых близка к радиоим­ пульсам экспоненциально-косинусного вида, можно рассматривать как решения СДУ второго порядка [157]. Рассмотрим СДУ вида1

1 Рассматриваемое СДУ можно назвать стохастическим аналогом уравнения Ван-дер-Поля (квазилинейного типа) [100]. Линейные СДУ второго порядка рассмотрены в [142, 157] и поэтому здесь не анализируются.

112

и введем переменные состояния у = х ь dy/dt— x2. Зададим также начальные условия */(fo)=*io> х2Цо)—х20. Тогда уравнение (3.3.1) преобразуется в систему уравнений состояния:

dx,

—00

с граничными условиями

lim w(x\, x 2, /) = 0, w(xv x 2, tQ) = b{x1 — x l0)S(x2 — x 20).

Xi , X i - * ± o o

Рассмотрим решение УКФ (3.3.3) с применением метода вы­ рожденных ядер. Представим р(А) в виде р(х2—г), где z — x2—А> и разложим ее в ряд

—00

Будем искать решение уравнения (3.3.4) в виде суммы частно* го решения неоднородного и общего решения однородного уравне­ ний. Последнее находим методом характеристик [52] в виде

где х=[лгь *2] т : функции F t(*), JF2(•)» ^з(*) определяются из ре­ шения характеристической системы уравнений, а <р(-)— из началь­ ных условий.

Рассмотрим далее решение УКФ (3.3.3) при условии VTCHCT<C1, выполняющемся для редких импульсных помех. При VTCHCT^ I

можно использовать диффузионное приближение и методы разд.

2.1.2.

Полагая, как и в разд. 3 .2 .2 , что плотность вероятности скачков по координате не зависит от начальных условий, в качестве ре­ шения неоднородного уравнения (3 .3 .4 ) выбираем а ;Ст ( х ) и £ь(л:1, t ) = C h ( x i). При оговоренных условиях общее решение урав­ нения (3 .3 .4 ) имеет вид

Используя кумулянтный метод [90], находим стационарную плотность в виде обратного преобразования Фурье

({u)°{w)q

где %pq—двумерные кумулянты. Можно также получить ее в виде ряда [130].

a Him {xu x2) — двумерные полиномы Эрмита [131].

114

Решение однородного уравнения находится методом характеристик в виде-

где

ф о ( * 1, *2> ^о)*=8(*1— ^ю)б(^2—х2о)— Wvt{X\, Ха), fo= 0.

В итоге

^ОДИ(•*■!> *2’ 0 --

Приведенный пример показывает, что даже в условиях допуще­ ний VTCIICT’C I и f ( x 0 = 1 выражение для плотности вероятности пе­ рехода оказывается весьма сложным. Поэтому по аналогии с не­ прерывными марковскими процессами здесь целесообразно рас­ смотреть понятия огибающей и фазы процесса y(t), порождаемого СДУ (3.3.1) при A'Q/coo^l.

3.3.2. Огибающая и фаза процесса, порождаемого СДУ (3.3.1)

Рассмотрим введение огибающей и фазы для случайного про­ цесса, определяемого СДУ (3.3.1) в предположении, что f{y) = .I (линейный избирательный контур). Излагаемый ниже подход при­ меним к СДУ и с другими f{y). Будем искать решение уравнения (3.3.1) в виде

= arctg [у (t)fy (^)] — его мгновенная фаза; у (t) — преобразованный по-

Гильберту сигнал (3.3.10). Для узкополосного сигнала (АП/юо^С < 1 ) можно показать, что dy/dt^ —соо$(0*

Тогда для огибающей и фазы получаются укороченные уравне­ ния, аналогичные приведенным в [131]:

где Ф (t) =(Oof-j-(p(t)—полная фаза. Очевидно, a(t) следует рассма­ тривать как компоненту двумерного процесса {a(t), Ф (/)}.

Введенная выше огибающая соответствует определению, пред­ ложенному В. И. Тихоновым [140], и хорошо согласуется с техни­ кой анализа СДУ. Применительно к разрывным марковским про-

цессам огибающая по Тихонову обладает еще одним полезным свойством—локальностью [76] и соответствует реально наблюдае­ мым процессам.

Отметим, что поведение a(t) и Ф (/) для СДУ (3.3.1) отлича­ ется от поведения аналогичных характеристик непрерывных про­ цессов, в чем легко убедиться, рассмотрев прохождение дельта­ импульсов через узкополосный колебательный контур. Основное отличие состоит в том, что в момент прихода импульса (момент скачка) величины а и Ф зависимы. С этой зависимостью можно не считаться в первом приближении в двух случаях: когда v^>l или v<Cl. В первом случае процесс {a(t), Ф (/)} становится близ­ ким к диффузионному и зависимость а от Ф пропадает из-за нало­ жения большого числа откликов системы, во втором — скачки про­ исходят редко и соответствующие промежутки времени можно ис­ ключить из рассмотрения как практически не ощутимые.

Используя функциональный метод [64], нетрудно получить для

Как и следовало ожидать, из УКФ (3.3.12) при V >>1 и p<Cl следует УФПК типа (1.4.14), что физически объясняется особенно­ стями реакции узкополосной системы на импульсы, следующие

116

Таким образом, введением укороченных уравнений для огибаю­ щей и фазы удается упростить анализ СДУ (3.3.1) при условии узкополосности и достаточно больших v, когда процесс на выходе системы, описываемой (3.3.1), близок к диффузионному, т. е. ока­ зывается почти таким же, как при воздействии белого шума. В этом смысле конкретный вид случайного воздействия мало влияет на «поведение» статистических характеристик решения СДУ (см. так­ же гл. 6 в [65]). При v<Cl амплитуда решения СДУ (3.3.1) пред­ ставляет собой разрывной марковский процесс и необходимо поль­ зоваться соотношениями (3.3.17) — (3.3.19). В первом приближении можно пользоваться ими и при не очень малых v. Тогда оказыва­ ются пригодными все методы анализа УКФ (1.4.18), описанные в § 3.2.

3.3.3. Некоторые вопросы синтеза СДУ в корреляционном приближении

практическая ценность таких соотношений невелика, так как для синтеза СДУ

правило, отсутствуют. Поэтому задачу синтеза следует решать в этих условиях,

вероятности имеет огибающая импульсной помехи, мгновенные значения которой

по таблице, приведенной в приложении 2. Таким образом можно синтезировать СДУ для огибающих вида (3.3.15) и (3.3.19)

118

Г л а в а 4

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ МОДЕЛЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ В

ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ КАНАЛАХ СВЯЗИ

4.1. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ МОДЕЛЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ В ФОРМЕ СДУ

Основные типы моделей пространственно-временных каналов связи были рассмотрены в гл. 1. Сигналы и помехи в таких кана­ лах в отличие от обычных каналов без пространственных коорди­ нат следует рассматривать как случайные функции многих пере­ менных—случайные поля, а если ПВ канал является стохастиче­ ским, то случайными функциями такого типа оказываются также его импульсная переходная характеристика, передаточная функция и другие системные характеристики. Как было отмечено в разд. 1.4.3, при моделировании указанных случайных полей в ПВ кана­ лах важными преимуществами обладает метод формирующих фильтров, предполагающий описание случайного поля стохастиче­ скими дифференциальными уравнениями в частных производных. С точки зрения рассматриваемых здесь задач целесообразно раз­ делять модели случайных полей в форме СДУ на два основных типа, существенно различающихся по применимым к ним методам анализа и синтеза:

1) марковские по времени модели полей в форме СДУ с про­ странственными дифференциальными операторами первого поряд­ ка; 2) модели в форме СДУ с операторами высших порядков.

Первый тип моделей представим в виде системы обыкновенных СДУ [52], поэтому методы анализа и синтеза таких моделей в ос­ новном сходны с теми, которые используются для случайных процессов и описаны в гл. 2 и 3. В частности, для полей, порож­ даемых такими моделями, можно ввести в рассмотрение плотность вероятности оу( х , t, г), в которой координаты г, как и /, играют роль параметров.

Модели второго типа порождают поля, для которых понятие плотности вероятности во многих случаях 1 теряет обычный смысл (см. разд. 1.4.3) и которые требуют существенно иных по сравне­ нию с процессами методов анализа и синтеза. При исследовании таких моделей особенно удобным оказывается аппарат характери­ стических функционалов. Для случайных процессов он также при­ меним, но используется сравнительно редко, так как большинство результатов для них можно получить более простыми способами. По вариационным производным характеристического функционала случайного поля определяются его моментные функции любого порядка (см. разд. 1.4.3). Краткие сведения о функциональном1*

1 Это имеет место для большинства полей, порождаемых нелинейными СДУ.

119

методе исследования случайных полей, основанном на указанном подходе, и соответствующие формулы вариационных производных приведены в приложении 3.

4.2. ИССЛЕДОВАНИЕ МАРКОВСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ В ФОРМЕ СДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 4.2.1. Синтез СДУ

где |(/, г )—векторное белое гауссовское поле с независимыми ком­ понентами; G(i, г), F (x), f(x ) — некоторые матричные и векторная функции. Уравнение (4.2.1) рассматривается при начальных усло­ виях x(t0, г)=Х о(г) и представляет собой многомерный вариант СДУ, использовавшихся в [64, 65, 89, 91].

Поскольку поле, определяемое этим уравнением, является мар­ ковским по времени (см. разд. 1.4.3), его плотность вероятности удовлетворяет некоторому уравнению, обобщающему уравнение

где ро— некоторая скалярная постоянная, указанное уравнение,

ные условия на бесконечности, а также начальные условия w(x, t0, г)= ш 0(хо, г).

При произвольной матричной функции F(x) запись уравнения становится более громоздкой, но принципиальных трудностей так­ же не вызывает. Из моделей, в которых матрица F (х) не постоян­ на, в первую очередь представляют интерес для исследования те, где она является линейной функцией х. Рассмотрим модель этого типа применительно к скалярному полю с одной пространственной координатой г, полагая г е ( — оо, о о ), G(£, r )= G = Y К и F(x) = = F ( X )= Z$\X-\-$Q, где Pi, как р0— некоторая скалярная постоянная величина. Такая модель описывает распространение волн, возбуж­

120