книги / Теория и расчет импульсных и цифровых оптико-электронных систем

После замены переменной в верхнем интеграле формула (5.10); может быть преобразована к виду

фективности преобразования энергетического подобия при шумах, с неравномерной спектральной плотностью по отношению к слу­ чаю белых шумов.

Таким образом, при шумах с равномерным энергетическимспектром эффективность преобразования энергетического подобия не зависит от формы оптических импульсов. Заметим, что для этогослучая величина % могла бы быть получена и на основе анализа во временной области

что G учетом выражения (5.8) также приводит к соотношению (5.13). Подчеркнем, что при шумах с равномерной спектральной плотностью возможность улучшения условий обнаружения опти­ ческого сигнала заданной энергии путем его соответствующего, временного формирования связана со специфической особенностью приемников лучистой энергии, осуществляющих (в пределах рабо­ чей части характеристики) линейное преобразование лучистой мощности в ток или напряжение сигнала, чему соответствует квадратичное преобразование лучистой мощности в электриче­ скую. При этом, если лучистый сигнал постоянной энергии увели­

чивается по амплитуде (за счет уменьшения длительности), то -}-00

ной, а возрастает пропорционально коэффициенту преобразова­ ния X. Именно это возрастание и обеспечивает улучшение отно­ шения сигнал/шум. Увеличение энергии электрического сигнала при постоянной энергии лучистого сигнала обеспечивается .за счет источника питания*фотоприемной цепи либо при исполь­ зовании фотоприемников в гальваническом режиме включения, благодаря увеличению КПД преобразования лучистой энергии в электрическую с ростом лучистой мощности.

При неравномерной спектральной плотности шумов дополни­ тельным фактором, позволяющим улучшить отношение сигнал/шум методом временного формирования оптического сигнала, является

91

возможность благоприятного изменения спектральной функции последнего.

Можно отметить, что в случае радиосигналов ЭДС, возника­ ющая в приемной антенне, пропорциональна напряженности электромагнитного поля, т. е. корню квадратному из лучистой мощности. При этом связь между лучистой и электрической мощ­ ностями сигнала линейна и в условиях оптимального приема при шумах с равномерной спектральной плотностью никакие преобра­ зования излучаемого импульса заданной энергии не могут увели­

мех внешнего происхождения, относя сюда, в частности, помехи, обусловленные энергетическими контрастами ландшафтов при сканирующем обзоре поверхности узким полем.

На основании выражений (5.12) и (5.15) получим

есть средняя квадратическая частота спектра сигнала. Из выра­ жений (5.11) и (5.16) следует, что при шумах с неравномерной спектральной плотностью эффективность преобразования энерге­

показано ниже, эта последняя зависимость практически в типо­

Как видим, при шумах с убывающей спектральной плотностью эффективность преобразования энергетического подобия может оказаться существенно более высокой, чем в случае белых шумов.

Соотношение (5.16) можно записать в виде

92

где bn — коэффициент, зависящий от формы импульса; г = = 1/(хха); хх — длительность исходного импульса (при выбранном способе отсчета).

Величина г характеризует отношение ширины спектральной

синусоидального импульса (с длительностью по основанию ч^х) при г — 1 и п, равных 1 и 2 (^ — 1,21; Ь2 = 3,29). Здесь же приведены граничные зависимости ¥ (X) при г -> 0 (приближение

93

На рис. 5.2 приведены кривые Ч' (X) при некоторых фикси­ рованных значениях р и г, причем случай р = 0.(£ Ф 0) соответ­ ствует шумам с равномерной спектральной плотностью. Зависимо­ сти Y (X) здесь носят асимптотический характер, причем

Часто в ОЭС приходится сталкиваться с шумами, энергетиче­ ский спектр которых описывается зависимостью G (со) = В + *4* Л/со.

В этом случае эффективность преобразования ^энергетического

подобия (энергетический выигрыш) в зависимости от соотношения между А и В будет заключаться между и X.

Полученные данные подтверждают сделанный ранее предва­ рительный вывод о существенном влиянии неравномерности спек­ тральной плотности шумов на эффективность преобразования энергетического подобия.

§ 5.3. ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ ОПТИЧЕСКИХ ИМПУЛЬСОВ ЗАДАННОЙ ЭНЕРГИИ НА УСЛОВИЯ ИХ ОБНАРУЖЕНИЯ

Для придания определенности задаче исследования влияния формы оптических импульсов заданной энергии необходимо наложить дополнительные ограничения на рассматриваемый класс сигналов, например нормировать импульсы по амплитуде или по длительности [47].

Рассмотрим сначала случай шумов равномерной спектраль­ ной плотности и найдем оптимальную по критерию максимума

94

отношения сигнал/шум форму оптического импульса заданных

s0 (0 — нормированная по амплитуде временная функция сигнала. Тогда при оптимальной фильтрации сигнала рассматриваемая задача сводится к тому, чтобы в классе функций, удовлетворя­ ющих условию

т. е. при прямоугольной форме сигнала. При этом временные пре­ делы Ui, t2] существования s0 (/), т. е. длительность импульса, определяются на основании соотношений (5.23) и (5.27) по формуле

не существует, а прямоугольная форма является наименее благо­ приятной [41 ].

Проведем количественную оценку влияния формы оптических импульсов применительно к некоторым типовым видам сигналов. Пусть сравниваются отношения сигнал/шум для двух оптиче­

95

Если заданы величины импульсов, то равенство (5.28) опре­ деляет соотношение их длительностей, а при заданных длитель­ ностях — соотношение величин. На основании соотношений (5.14) и (5.28) получим общее выражение для относительного изменения величины сигнал/шум в виде

Примем за исходный (эталонный) сигнал fx (t) импульс прямо­ угольной формы. Тогда в случае равенства энергий и величин импульсов (аг = а2) получим

4-оо -{-оо 4“00

При сопоставлении импульсов с одинаковыми длительностями необходимо условиться относительно способа определения послед­ них. Понимая, например, под эффективной длительностью им­ пульса промежуток времени, в котором сосредоточено 0,9 полной энергии лучистого импульса, и по-прежнему считая эталонным импульсом прямоугольный, нетрудно получить для относитель­ ного изменения 'п* величин сигнал-шум выражение

96

Приведенные данные подтверждают, что среди оптических импульсов раличной формы особое место принадлежит прямо­ угольному импульсу, который может быть оптимальным (при нормировке по энергии и величине) либо наименее благоприят­ ным (при нормировке по энергии и длительности). В то же время, как это видно из табл. 5.1, форма лучистых импульсов заданной энергии сравнительно мало влияет на потенциальные условия их обнаружения. Так, для рассмотренных форм импульсов величина TJ* изменяется не более чем на 30 %, а наибольшее изменение вели­ чины r)i составляет 13 %.

Перейдем теперь к оценке влияния формы оптических импуль­ сов при шумах с неравномерной спектральной плотностью [48, 57 ].

Будем рассматривать случай сигналов, нормированных по энергии и величине, и сопоставлять потенциальные условия обна­ ружения импульсов различной формы, приняв некоторый сигнал за эталонный.

Применительно к энергетическому спектру шумов вида (5.15) можно записать следующее выражение для относительного изме­ нения TJ* величины сигнал/шум:

гралы (или один из них) в формуле (5.33) могут оказаться расходя­

недостижимы из-за неизбежного наличия белой составляющей шума, а также вследствие технической неосуществимости опти­ мальной фильтрации. Тем не менее сам факт, что при G (со) Ф =t- const потенциальная величина отношения сигнал/шум может быть конечной или бесконечной в зависимости от формы импульса. Это свидетельстует о том, что неравномерность спектральной плот­ ности шумов может приводить к увеличению влияния формы лучистого импульса заданной энергии на условия обнаружения.

Выберем в качестве эталонного сигнала гауссов импульс, для которого /01 (/) — ехр (— /2/т1), и на основании формулы (5.33) определим величину т|* для импульсов /02 (/) некоторых других форм при п, равных 1 и 2. При этом соотношение длительностей сопоставляемого и эталонного импульсов определяется из равен­ ства

| /ох(0 dt = JU (/) dt,

•—оо

соответствующего условию постоянства энергий и величин опти­ ческих сигналов. В виде примера на рив. 5.4 приведены зависи­

в случае наличия белых шумов при косинусоидальном им­ пульсе потенциальное отношение сигнал/шум получается при­ мерно в 1,05 раза больше, чем при гауссовом импульсе, то при рассмотренных окрашенных шумах это относительное увеличение может достигать 1,12 (г = 10, /г = 2). Если же сравнивать между собой косинусоидальный и треугольный импульсы, то соответ­ ствующий диапазон изменения величин сигнал/шум составляет от 1,09 до 1,26.

В табл. 5.2 помещены сводные данные по характеристикам им­ пульсов различной формы. Эти данные могут быть полезными при расчетах, связанных с обнаружением и оценкой параметров сигналов. В таблице же за эталонный импульс с длительностью тэ

j /ох(Q<tt= J foAl)dt.

оо—00

Помимо моментов Л0, hu h2 функций |S(/<o)| в табл. 5.2 приведены значения средней сог и средней квадратической ©ц частот спектра импульсов, определяемые соотношениями:

CDJ = hjhft, соц — (/z2//i0)1/2.

98

§ 6.4. ВЛИЯНИЕ ДЛИТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСОВ ПОСТОЯННОЙ ВЕЛИЧИНЫ НА УСЛОВИЯ ИХ ОБНАРУЖЕНИЯ

Рассмотрим влияние длительности оптических импульсов по­ стоянных пиковой мощности и формы на величину отношения сигнал/шум при оптимальном приеме. Пусть в соответствии G по­ ставленной задачей, которая нетривиальна лишь при шумах

При энергетическом спектре шумов, выраженных формулой (5.15), нетрудно получить выражение для относительного измене­

Вчислителе выражения (5.38) первый член всегда уменьшается

сростом Хх (т. е. G сокращением длительности импульса), а вто­

рой член, убывая G ростом X* при п < 1, не зависит от при п =

приходим к известному результату: г\* =» ХГ1/2. При п — 1 ве­ личина “п* также неограниченно возрастает G уменьшением Xlf но с ростом Хх она убывает лишь до определенного предела, т. е.

т. е. функция г\* (А*) имеет минимум при некотором значении коэф­ фициента преобразования Xlmln и соответствующем значении дли­ тельности. тт1п = т Д т1п. Величина Х1т1п, определяемая из усло­ вия dr\*ldXi — 0, выражается формулой

Таким образом, в рассматриваемом случае существует некото­ рое наименее благоприятное значение длительности импульса тт1п, при котором потенциальная величина отношения сигнал/шум получается наименьшей. Значение тт1п сравнительно мало за­ висит от формы сигнала. Например, при п — 2 для косинусои­ дального, треугольного и косинус-квадратного импульсов полу­ чаем величины тш1ц, равные 1,57/а; 1,73/а; 1,81/а соответственно.

100