книги / Теория вертолета. Кн. 1

подынтегральные выражения F и G не зависят от г, го урав­ нение Эйлера принимает вид /(п) = const и имеет решение v =

const.

2.3.1. НЕСУЩИЙ ВИНТ НА РЕЖИМЕ ВИСЕНИЯ ИЛИ ВЕРТИКАЛЬНОГО НАБОРА ВЫСОТЫ

Рассмотрим несущий винт, развивающий силу тяги Т на режиме висения или подъема со скоростью V по вертикали (рис. 2.3). Представим винт активным диском, который поддер­ живает скачок давления, но сохраняет осевую скорость непре­ рывной. Будем считать поток плавным, а затратами энергии

Сечет е О

Рис. 2.3. Схема обтека­

Сечение 2 ния несущего винте на Сечение 3 режимах висения или

подъема по вертикали.

Спутная

струя

Сечение 1

на закручивание следа пока пренебрежем. Рассмотрим конт­ рольный объем, ограниченный поверхностью струн, проходя­ щей через диск винта, и ее поперечными сечениями далеко впе­ реди и далеко позади несущего винта. Площадь первого сечения обозначим через S0, площадь второго сечения — через Si. В се­ чении 0 давление равно ро, скорость равна V. Далеко за вин­ том, в сечении 1, давление снова будет ро, так как закручива­ нием следа мы пренебрегаем. Из условия сохранения энергии следует, что всюду вне следа в сечении 1 скорость равна V. Из условий сохранения массы и количества движения получаем

VS0= $ (V + v) dA = $ (V + w) d S ,,'

T = ^ ApdA = jj p (V -f- w) wdSu

где Ap — разность давлений на сторонах диска. Разность дав­ лений на срезах контрольного объема равна p0(S0— Si); она уравновешивается давлением на поверхность спутной струи. В этом можно убедиться, применяя теорему импульсов к жид­

P = \ A p ( V + v )d A - = $(1/2) р (V + w) (2Vw + w2) dS{.

Первое выражение представляет работу, которую совершает в единицу времени проходящий через диск воздух, а второе описывает приращение кинетической энергии потока. Заметим,

щего винта и потребляемую им мощность можно выразить через индуктивную скорость w(r) в дальнем следе, которая в общем случае может быть переменной по сечению следа. Рас­ смотрим теперь следующую задачу оптимизации: найти функ­

+ w)w dSt. Имеем вариационную задачу с дополнительным условием. Так как подынтегральные выражения в формулах для Р н Т- не зависят от г, решением уравнения Эйлера будет, как показано выше, просто w = const.

Уравнение Бернулли, написанное для линий тока перед не­ сущим винтом и за ним, дает

p0 + pV2/2 = p2 + p(V + v)2/2,

р2+ Ар + р (V -f- vf/2 = p0 + p{V + wf/2,

откуда Ар = (1/2)р(21/ш -f да2). Так как индуктивная скорость w распределена равномерно, скачок Ар давления также постоя­

рость на диске винта должны быть распределены равномерно. Таким образом, хотя сделанные в разд. 2.1 предположения о постоянстве Ар и w оправданы, импульсная теория не дает никаких указаний о распределении индуктивной скорости по диску винта. Этот результат аналогичен тому, который полу­ чают в плоскости Треффца при исследовании обтекания крыла Такое исследование показывает, что индуктивное сопротивле­ ние минимально при равномерном скосе потока в дальнем сле­ де и эллиптической нагрузке крыла, но ничего не говорит о распределении индуктивных скосов по крылу. Чтобы найти индуктивные скосы на крыле, что требуется для проектирова­ ния крыла с оптимальной нагрузкой, нужна теория несущей

54 Глава 2

линии или несущей поверхности. По теории несущей, линии скос потока на крыле вдвое меньше, чем в дальнем следе, так что при проектировании крыла можно непосредственно использо­ вать оптимальное решение. Аналогично при расчете несущего

ложение при осевом обтекании винта обычно соответствует по степени приближенности схеме активного диска.

При равномерных нагрузке Ар и индуктивной скорости w в дальнем следе соотношения, выражающие законы сохране­ ния, принимают вид

(V + SM — fl' + oOSb T = bpA = p(V + w)wSu P = (V + v)T = ( V + w/2)T,

где v = ^ v d A / A — средняя по диску винта индуктивная ско­

рость. Из уравнения баланса энергии следует v — w/2. Таким образом, хотя распределение v ничем не обусловлено, средняя индуктивная скорость v имеет ту же величину, которая была получена раньше при условии постоянной скорости протекания через диск. Если исключить параметры Si и да дальнего следа, то для силы тяги и мощности получим выражения

Интегральные соотношения, выражающие законы сохране­ ния, обычно заменяют соответствующими дифференциальными:

(V + v ) d A = ( V + w)dSi

dT = ApdA = р (V + ш) wdSt

dP = Ap(V -f- a) dA = (1/2) p (V + w) (2Vw + w2) dS,.

dP = (V + v)dT.

Строгого доказательства этих дифференциальных формул им­ пульсной теории нет. Они основаны на допущении, что элемен­ ты диска не взаимодействуют. Ключевое предположение со­ стоит в том, что равенство v = w/2 справедливо для отдель­ ных линий тока. Это равенство позволяет представить силу тяги и мощность как функции одного аргумента — индуктивной ско­ рости V. Дифференциальные формулы импульсной теории по­ лезны тем, что их можно применять к расчету винтов с нерав­ номерными нагрузкой и скоростью протекания через диск.

в виде функционалов от скоростей w и иу в дальнем следе с по­

мощью соотношения

&

Pi — Ро = — S (uVri)drv Г\

В результате приходим к вариационной задаче: найти функции

рат мощности, вызванных закручиванием следа. Чтобы сфор­ мулировать более простую задачу оптимизации, используем

Это соотношение можно интерпретировать как равенство двух различных выражений работы, совершаемой в единицу вре­

мени, т. е. ^ (У ■+• о) dT = ^ [Q — и/(2г)] dQ. На основе результа­

тов разд. 2.3.1 получаем приближенное равенство dT = ApdA «

Итак, вариационная задача импульсной теории несущего винта с учетом закручивания следа формулируется таким об­

разом: минимизировать мощность Р = ^ р (У -f- о) «Qr dA при за­

циоииой задачи имеем уравнение Эйлера

Оказывается, что такое решение приближенно удовлетворяет уравнению Эйлера, причем погрешность имеет порядок по/Qr для вертолетных несущих винтов с малой скоростью протекания через диск. Подставляя выражения и и у, получим формулы силы тяги

ность определена как функция силы тяги винта, зависящая от параметра'ц0. Для режима внсения, положив, как обычно, = =*=Т/(2рА), можно найти константу о0:

= < ! { 1 + с тin % + Ц- ~ vi/{ i + с тin % ) •

так что для индуктивной мощности получим формулу Р = Т У 27(2рЛ) /VI + с тIn (Ст/2).

Вследствие закручивания следа индуктивные скорость и мощ­ ность возрастают на ~ 2% , а общая мощность, потребляемая несущим винтом,— на 1%. Так как найденное решение не удов­ летворяет точно уравнению Эйлера, оно в действительности не является оптимальным, но оно достаточно для оценки ма­ лых потерь, обусловленных закруткой следа.

Окружную скорость в плоскости диска на режиме висения можно вычислять по формуле u = 2vlQr/{(Qrf -f v2B} [при расчете

по ее оси, где расположен прямолинейный вихрь с циркуляцией

ори г < 0,2. На рис. 2.5 приведены полученные по импульсной

кроме ближайшей окрестности оси винта, импульсная теория дает решение, согласующееся с тем, что осевая скорость v и нагрузка Др распределены равномерно, а распределение и обусловлено прямолинейным вихрем на оси винта. Влияние закручивания следа при г >■ 0,2 незначительно, так что в рас­ четах несущего винта этим влиянием обычно можно пренебречь.

2.3.3. ЗАКРУТКА СЛЕДА, ОБУСЛОВЛЕННАЯ ПРОФИЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА

В предыдущем разделе найдено распределение окружных скоростей, обусловленное индуктивной составляющей крутяще­ го момента. Но на вращение несущего винта затрачивается также профильная мощность, которая необходима для преодо­ ления сопротивления лопастей, вызванного вязкостью воздуха. Следовательно, крутящий момент должен иметь профильную составляющую, которая сообщает следу добавочную кинетиче­ скую энергию. Профильную мощность можно выразить через отношение коэффициента сопротивления к коэффициенту подъ­ емной силы сечения Cd/cr.

Р0=. J GrdD = $Qr-g- dT = $£2r 2p (V + n) vdA.

Тогда соотношение P=~QQ в дифференциальной форме прини­ мает вид

2 М- vQr + 2 (1/ + v) v — (Qr - и/2)и. ci

— M/(2Qr)]. Профильная составляющая крутящего момента не оказывает заметного влияния на осевую скорость v, и для окружной скорости и получаем формулу

u = vQ{2v0Qr/[{Qr)2+ v\\ + 2cd/ct}

Таким образом, профильная составляющая крутящего момента значительно увеличивает окружную скорость во внешней части лопасти, но влияние этой составляющей на осевую скорость v пренебрежимо мало на всем размахе лопасти.

2.4.ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТА ЛОПАСТИ

Втеории элемента лопасти вычисляют силы, которые дей­ ствуют на лопасть при ее движении в воздухе, а по ним рас­ считывают силы и аэродинамические характеристики всего не­ сущего вннта. Теория элемента лопасти — это, по существу, теория несущей линии, примененная к вращающемуся крылу.

Предполагается, что каждое сечение лопасти работает как про­ филь в двумерном потоке, а влияние следа и остальной части винта полностью учтено в индуктивном угле атаки сечения. Следовательно, для решения задачи нужно рассчитать индуци­ руемые следом скорости на диске винта. Это можно сделать с помощью импульсной теории, вихревой теории или числен­ ными методами, учитывая неравномерность поля скоростей протекания. Теория несущей линии основана на предположении, что крыло имеет большое удлинение. Удлинение К лопастн не­ сущего винта связано с коэффициентом заполнения и числом лопастей соотношением X = RJc = (N/n)o. Для вертолетных несущих винтов с их малой нагрузкой на диск предположение О большом удлинении обычно справедливо. Однако даже при большом геометрическом удлинении могут существовать обла­ сти, в которых велики градиенты нагрузки или индуктивной скорости, вследствие чего эффективное аэродинамическое уд­ линение может оказаться малым. Для несущего винта приме­ рами таких областей с большими градиентами являются конце­ вая часть лопасти и то место на ней, вблизи которого прохо­ дит вихрь, сбегающий с предшествующей лопасти.

В аэродинамике вертолета теория элемента лопасти служит основой почти всех исследований, так как в ней учитываются распределения скоростей и нагрузок по размаху лопасти и, сле­ довательно, эта теория связывает аэродинамические и другие характеристики винта с конструктивными параметрами сечений. Импульсная же теория (или любая другая теория, основанная на схеме активного диска) — это обобщенный анализ, который дает полезные результаты, но сам по себе не обеспечивает рсновы для проектирования несущего винта.

60 Глава 2

2.4.1. ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ЭЛЕМЕНТА ЛОПАСТИ

Развитие теории винтокрылых аппаратов на ранней стадии шло двумя раздельными путями, которые слились в 1920-х го­ дах. (Термины «импульсная теория» и «теория элемента лопа­ сти» имели тогда смысл, несколько отличный от современного, и в ранних работах означали отдельные и представлявшиеся независимыми методы исследования работы воздушного винта.) Ключевым фактором была идея индуктивного сопротивления, которую гидродинамики в первых десятилетиях XX в. еще раз­ рабатывали и для крыльев, и для вращающихся лопастей. Прежде чем стал возможен достаточно точный расчет нагрузок несущего винта, необходимо было полностью выяснить смысл индуктивного сопротивления, т. е. сопротивления, неизбежного при создании подъемной силы крыла конечного размаха, и свя­ зать это сопротивление со скоростями, индуцируемыми на кры­ ле следом.

Истоки теории элемента лопасти можно найти в работе Уильяма Фруда (1878 г.), но первое большое исследование в этом направлении выполнил С. К. Джевецкий в промежутке между 1892 и 1920 гг. Джевецкий полагал, что сечения лопасти работают независимо, но он не знал, как выбрать аэродинами­ ческие характеристики сечений. Поэтому он предложил нахо-- дить характеристики сеченнй по результатам испытаний серий пропеллеров. Такой подход был типичен для первого этапа раз­ работки и применения теории элемента лопасти. Исследователи принимали в расчет только скорости Qг и V, обусловленные соответственно вращением лопасти и ее обтеканием вдоль оси вращения, а затем выясняли, каким образом использовать ха­ рактеристики профилей. В импульсной теории скорость на диске винта равна V + v, т. е. вследствие наличия подъемной силы винта она больше скорости невозмущенного потока (точ* но так же окружная скорость на диске больше Qг вследствие, наличия крутящего момента). Однако Джевецкий полагал, что между осевой скоростью, рассматриваемой в импульсной тео­ рии, и скоростью, с которой поток действительно обтекает се­ чение допасти, нет связи, поскольку первая — это средняя ско­ рость, тогда как вторая — местная скорость. Как показано выше, строгая импульсная теория на самом деле не дает ни­ каких сведений об индуктивных скоростях на диске винта (фак­ тически импульсная теория имеет дело со скоростями в даль­ нем следе). Не сумев дать правильный теоретический анализ скоростей на диске винта, Джевецкий рассматривал только со­ ставляющие Qr и V. Когда при таком подходе были использо­ ваны характеристики профилей в двумерном потоке, расчетные аэродинамические характеристика винтов значительно разош­ лись с экспериментальными. Расхождение было приписано вы­ бору характеристик профиля. В то время было уже ясно, по

крайней мере для крыльев, что эффективные аэродинамические характеристики изменяются с удлинением. Поэтому Джевецкий предложил в расчетах винта по теории элемента лопасти ис­ пользовать характеристики крыла конечного размаха (с под­ ходящим удлинением), а все прочие поправки определять по результатам испытаний серии пропеллеров. Такие расчеты ка­ чественно согласовались с экспериментом, но количественно расходились с ним.

С 1915 по 1919 г. было сделано несколько попыток исполь­ зовать приращение осевой скорости, получаемое в импульсной теории, для расчета лопасти по элементам. Однако никто не

иной стадии обращались к эксперименту, чтобы установить, как выбирать характеристики сечений. А. Бетц в 1915 г. положил осевую скорость равной V -f v, как в импульсной теории, и заметил, что требуемое удлинение больше действительного уд­ линения лопасти. Однако, признавая, что требуемое удлинение стремится к бесконечности, он по-прежнему считал его точное значение зависящим от формы лопасти в плане. Г. де Ботезат в 1918 г. также использовал результат импульсной теории, по­ ложив осевую скорость равной V + v (и взяв соответствующую величину окружной скорости на диске), но он принял подход Джевецкого и провел испытания серии специальных пропелле­ ров с целью определения характеристик профилей. Э. Фейдж и Г. Коллинз в 1917 г. использовали в качестве осевой скорости некоторую часть скорости V + v, определяемую эмпирически. Характеристики профилей они приняли такими же, как у кры­ ла с удлинением б, поэтому в величину индуктивной скорости нужно было вводить эмпирическую поправку на изменение уд­ линения. Таким образом, теория элемента лопасти оставалась полуэмпирической как в отношении изменения скорости вслед­ ствие интерференции, так и в отношении выбора характеристик профилей.

Правильный учет влияния следа за пропеллером на аэроди­ намические характеристики сечения лопасти стал возможным после того, как Прандтль создал свою теорию крыла. Эта тео­ рия дала ясное понимание роли скорости, индуцируемой следом на крыле. Прандтль, Ланчестер и другие исследователи раз­ вили идею о том, что подъемная сила крыла обусловлена при­ соединенной завихренностью, порождающей в следе свободную завихренность, которая индуцирует скорость на крыле. Раз­ работанная для крыла теория несущей линии включает в себя расчет индуктивной скорости, учитывающий особенности вих­ ревого следа. Поэтому ученые, исследовавшие работу несущего винта, также обратились к рассмотрению вихревого следа за виНтом, чтобы найти скорости' потока, обтекающего сечение