книги / Метод конечных элементов. Основы

новесия (4.2) выражения (9.15), убеждаемся, что это — равновес­ ное поле напряжений.

Чтобы построить матрицу жесткости, рассмотрим функции пере­ мещений и и v, соответствующие соотношениям (9.15). Это можно сделать, выражая деформации через напряжения с помощью урав­ нений состояния в виде е=[Е1'"1а и затем интегрируя уравнения, связывающие деформации и перемещения. Таким образом, получа­ ем

свободы. Заметим, что перемещение и линейно, а перемещение v меняется по квадратичному закону вдоль сторон, лежащих в пер­ пендикулярном направлении. Так как для определения компоненты смещения на каждой стороне имеется лишь два угловых смещения, приходим к выводу, что поле перемещений этого элемента не удов­ летворяет требованиям, обеспечивающим межэлементную непрерыв­ ность перемещений.

Используя функции перемещений (9.16), соотношения между деформациями и перемещениями (4.7) и формулы для жесткости элемента (9.7), получим матрицу жесткости элемента, представлен­ ную на рис. 9.15.

9.3.2. Несовместные моды [9.21]

Как показано на рис. 9.11 из п. 9.2.4, основанные на линейных полях перемещений матрицы жесткости треугольного элемента не обеспе­ чивают достаточной точности при анализе изгиба балки. Поэтому можно ожидать, что матрицы жесткости прямоугольного элемента также не обеспечивают удовлетворительной точности при решении этой задачи. В п. 9.3.4 этот факт будет выявлен в результате чис­ ленного эксперимента. Причину появления невязок можно вы­ яснить, изучая простой прямоугольный элемент в состоянии чистого изгиба (рис. 9.16 (а)). В этом случае точные распределения смеще­ ний (рис. 9.16 (Ь)) даются формулами

где Ci и а — константы. Подставляя данные выражения в соотноше­ ние, связывающее сдвиговые деформации и перемещения уху= = duldy+dv/dx, можно проверить, что условие равенства нулю сдви-

говых деформаций, характеризующее чистый изгиб, выполнено. Так как поле перемещений, задаваемое линейно меняющейся на сторонах элемента функцией перемещений (9.13), содержит только величину (9.17а) и описывает перемещения, изображенные на рис. 9.16(c), то и к исходному линейному полю перемещений необходи-

(с)

\

Рис. 9.16. Способы представления чистого изгиба: (а) состояние чистого изгиба;

(Ь) точные перемещения; (с) перемещения в элементе — линейные поля.

мо добавить моды в виде (9.17Ь). Для общности желательно сох­ ранить симметрию по х и у, поэтому добавим данные моды как к по­ лю ц, так и к полю v. Итак, имеем

ции формы и узловые смещения несовместной «дутой» моды, добавленной для описания поведения при изгибе (см. (9.17Ь) и рис. 9.16 (Ь)).

Вначале матрица жесткости для элемента строится в терминах {и7}, {ия}> (vi) и {vB}. Матрица жесткости для элемента, выра­ женная через {и7} и {vL}, получается в результате исключения до­ полнительных степеней свободы {ив} и {vB} с помощью процедуры конденсации, описанной в разд. 2 .8. После выполнения указанных операций оказывается, что результирующая матрица жесткости совпадает с представленной на рис. 9.15. Причину этого обстоя­ тельства можно выяснить, рассматривая рис. 9.14(b), на котором изображены смещения на границе, соответствующие единичному

смещению рассматриваемого типа. Те же смещения получаются из (9.16) и очевидно, что они имеют вид «дутых» мод, введенных в

проводившихся рассмотрениях.

9.3.3. Формулировки на базе гибридного метода напряжений [9.22]

В случае плоского напряженного состояния прямоугольные эле­ менты позволяют пояснить применение гибридного метода напряже­ ний, имеющего более самостоятельное значение, нежели приведен­ ный в разд. 6.7 пример.

Для плоского напряженного состояния полем напряжений, удовлетворяющим дифференциальным уравнениям равновесия, яв­ ляется поле, определяемое с помощью (9.15) и изображенное на рис. 9.14(b). Используя обозначения из разд. 6.7, заметим, что для построения матрицы жесткости необходимо знание трех основных

матриц, а именно, матриц [Z], [L] и [У\. Согласно (6.77), матрица

Матрица [L] задает распределение усилий на сторонах элемента, совместимых с полем напряжений в нем. Изображенное на рис.

а коэффициенты для [L] задаются из (9.15).

Для смещений на границе выбираются представления в виде ли­ нейных функций. Так, вдоль края 2—3 поле перемещений описы­ вается функцией

« 2 -

После того как функции указанного типа будут записаны для всех сторон, их можно объединить в виде

теперь, согласно данному в разд. 6.7 описанию гибридного метода,

Оказывается, что матрица жесткости, полученная указанным выше способом, совпадает с изображенной на рис. 9.15 матрицей жесткости, выведенной с использованием поля перемещений (9.16). Поле перемещений (9.16) соответствует, разумеется, используемому выше полю напряжений. Однако существует одно различие, заклю­ чающееся в том, что полю перемещений в чисто жесткостной фор­ мулировке соответствуют нелинейные перемещения на краях, а для выписанной выше формулировки — только линейные смещения на краях. Это объясняется тем, что нелинейные компоненты смещения в чисто жесткостной формулировке (см. рис. 9.14(a)) направлены перпендикулярно действию сил, вызывающих указанные перемеще­ ния, и поэтому эти силы не производят работу.

Тот факт, что в представленном примере матрицу жесткости можно построить с помощью обычных жесткостных формулировок, а не в результате гибридного анализа, не означает, что так можно поступить всегда в гибридных методах жесткости для плоско-на­ пряженного состояния. С использованием различных полей напря­ жений и перемещений можно построить практически безграничное число вариантов формулировок на базе гибридных методов жест­ кости. Гибридный метод жесткости полезен, по крайней мере, в двух случаях. Некоторые параметры перемещений, полученные указанным способом, лежат между верхней границей, определен­ ной «равновесной» формулировкой, и нижней границей, определен­ ной «совместимой» формулировкой, если внутреннее поле напряже­ ний соответствует первой, а перемещения на границе — последней [9.23]. Кроме того, можно ввести выражения, которые задают син­ гулярности в решениях для напряжений, как это случается в кон­ струкциях у начала трещин [9.24].

9.3.4. Сравнение численных результатов

На рис. 9.17 изображен график зависимости вычисленного значе­ ния смещения конца балки vAEt/P от числа использованных при анализе степеней свободы для прямоугольных конечных элементов в задаче об изгибе нагруженной на свободном конце консольной балки (см. п. 9.2.4). Представлены результаты как для прямоуголь-

Рис. 9.17. Конечно-элементный анализ консольной балки — прямоугольные эле­ менты.

иых элементов, построенных на базе перемещений, меняющихся по линейному закону вдоль границ элемента (матрица жесткости изображена на рис. 9.13), так и для элементов, основанных на поле перемещений (9.16) (матрица жесткости изображена на рис. 9.15). Последние, как было показано, можно также интерпретировать как полученные на основе гибридных жесткостных формулировок или базирующихся на линейных перемещениях вдоль границы, отве­ чающих «дутым» модам.

Результаты показывают, что использование формулировок на базе линейных смещений на границе (межэлементно совместимых) приводит к довольно медленной сходимости к эталонному решению. То же самое справедливо и для треугольных элементов (см. рис. 9.11). Напротив, использование формулировок с несовместимыми модами приводит к очень точным решениям в этой задаче. Резуль­ таты для наименьшего числа степеней свободы « 6 0 степеней сво­ боды) получены при измельчении сетки лишь в направлении оси х, т. е. при одном элементе по толщине балки. Поэтому формулировки для плоско-напряженных задач общего вида можно использовать в представлении частных случаев изгиба, где обычно требуется вы­ полнение гипотезы плоских сечений (плоские сечения до деформации остаются плоскими после нее). Для задач изгиба балок не часто требуется строить элементы, отличающиеся от простейшего изгибного элемента, однако в гл. 10 будет показано, что концепция не­ совместимых мод, являющаяся альтернативной в смысле интегри­ рования энергии деформации элемента на грубых сетках, -весьма полезна при использовании трехмерных элементов теории упругос­ ти для анализа пластин и оболочек.

Литература

9.1.Dunham R. S., Pister К. S. A Finite Element Application of the Hellinger— Reissner Variational Theorem.—Proc. of the Second Conference on ’Matrix Methods in Structural Mechanics, AFFDL TR 68-150, p. 471—487.

9.2.Pederson P. Some Properties of Linear Strain Triangles and Optimal Finite Element Models.—Int. J. Num. Meth. Eng., 1973, 7, p. 415—430.

9.3.Brebbia C., Connor J. J. Fundamentals of Finite Element Techniques.—Lon­ don: Butterworths Publishers, 1973.

9.4.Holand I. The Finite Element Method in Plane Stress Analysis, Chapter 2 of «The Finite Element Method in Stress Analysis», Holand and Bell (ed.).— Trondheim, Norway: Tapir Press, 1969.

9.5.Tocher J. L., Hartz B. J. Higher-Order Finite Element for Plane Stress.— Proc. ASCE, J. Eng. Mech. Div., Aug. 1967, 93, No. EM4, p. 149— 174.

9.6.Holand L., Bergan P. G. Discussion of «Higher-Order Finite Element for Plane

Stress».—Proc. ASCE, J. Eng. Mech.Div., Apr. 1968, 94, No EM2, p. 698— 702.

9.7.Walz J. E., Fulton R. E., Cyrus N. J., Eppink R. T. Accuracy of Finite Ele­ ment Approximations.—NASA TN D-5728, Mar. 1970.

9.8.Taig I. C., Kerr R. I. Some Problems in Discrete Element Representation of Aircraft Structures.— In: Matrix Methods of Structural Analysis, B. Fraeijs de Veubeke (ed.)—New York, N. Y.: The MacMillan Co., 1964, p. 282—284.

9.9.Turcke D. J., McNeice G. M. Guidelines for Selecting Finite Element Grids Based on an Optimization Theory.— Int. J. Comp. Struct., 1974, 4.

9.10.McNeice G. M., Hunnisett S. F. Mixed-Displacement Finite-Element Analysis with Particular Application Using Plane Stress Triangles.—J. Strain Analysis. 1972, 7, No 4, p. 243—252.

9.11.Tong P. Exact Solutions of Certain Problems by Finite Element Method.— AIAA J. 1969, 7, No 1, p. 178— 180. [Имеется перевод: Ракетная техн. и космон.— М.: Мир, 1969, № 1.]

9.12.Oden J. Т., Brauchli Н. J. On the Calculation of Consistent Stress Distribu­

9.13.Hrennikoff A. Precision of Finite Element AAethod in Plane Stress.—Pub. Int. Assn. Bridge Struct. Eng., 1969, 29-11, p. 125— 137

9.14.Timoshenko S., Goodier J. N. Theory of Elasticity, 2nd ed.— New York, N Y.:

9.15.Hooley R. F., Hibbert Р. D. Bounding Plane Stress Solutions by Finite Ele­ ments.—Proc. ASCE, J. Struct. Div., Feb. 1966, 92, No. ST. 1, p. 39—48.

9.16.Cowper G. R. Variational Procedures and Convergence of Finite Element Me­ thods.— In: Numerical and Computer Methods in Structural Mechanics, S.J.

Fenves, et al. (eds.)—New York, N.Y.: Academic Press, 1973, p. 1— 12.

9.17.Gallagher R. H., Dhalla A. K. Direct Flexibility-Finite Element Elastoplastic Analysis.—Proc. of First Internet. Conf. on Structural Mechanics in Reac­ tor Technology, Berlin, Sept 1971, 6, Part M.

9.18.Fraeijs de Veubeke B. Upper and Lower Bounds in Matrix Structural Analy­ sis.— In: Matrix Methods of Structural Analysis, B. Fraeijs de Veubeke (ed.).— New York, N.Y.: The MacMillan Co., 1964, p. 166—201.

9.19.Belytschko T., Hodge P. G. Plane Stress Limit Analysis by Finite Elements.— Proc. ASCE, J. Eng. Mech. Div., Dec. 1970, 96, No. EM6, p. 931 —44.Q

9.20.Turner M. J., Cilough R. W., Martin H. C., Topp L. J. Stiffness and Deflec­ tion Analysis of Complex Structures.—J. Aero. Sci., Sept. 1956, 23, No. 23, 9, p. 805—824.

9.21.Wilson E. L., et al. Incompatible Displacement Models.— In: Numerical and

Computer Methods in Structural Mechanics, S. J. Fenves, et al. (eds.).—New York, N.Y Academic Press, 1973, p. 43—57.

9.22. Pian T. H. H. Derivation of Element Stiffness Matrices by Assumed Stress Distributions.—AIAA J., 1964, 2, p. 1333— 1335. [Имеется перевод: Ракет­ ная техн. и космон.— М.: Мир, 1964.]

9.23.Pian Т. Н. Н., Tong Pin. Basis of Finite Element Methods for Solid Conti­ nue.— Int. J. Num. Meth. Eng., 1969, 1, No. 1, p. 3—28.

9.24.Tong P., Pian T. H. H., Lasry S. J. A Hybrid-Element Approach to Crack

Problems in Plane Elasticity.— Int. J. Num. Meth. Eng., 1973, 7, No 3, p. 297—308.

Задачи

9.1.Используя гибридный метод жесткости, постройте матрицу жесткости для треугольного элемента с постоянным значением напряжений (см. рис. 5.4).

9.2.Постройте смешанную матрицу сил и перемещений для плоско-напряженного треугольного элемента с постоянным значением напряжений в элементе, исполь­

зуя вариационный принцип Рейсснера. Полученную матрицу преобразуйте в матрицу жесткости элемента аналогично тому, как это делалось для балочного элемента из разд. 6.8.

9.3. Проверьте правильность выражения для коэффициента ku матрицы жест­ кости прямоугольного элемента (см. рис. 9.15) (FXx в зависимости от u j.

9.4. Постройте матрицу жесткости для кольцевого элемента, изображенного на рис. Р9.4. Так как выполнены условия осевой симметрии, то zr— du/dr, ео=н /г. Выберите в качестве функции перемещений функцию « = [ 1—{г1г2^ у)]ил+

~т~{г/г2 —l)^2*где r2 -i= r2—rv

9.5. Обсудите формулировку гибридного прямоугольного элемента на основе потенциальной энергии, используя для описания усилий на краях элемента функ­ цию напряжений.