книги / Метод конечных элементов. Основы

по области, занимаемой элементом, выполняется численно в виду сложности явных выражений для коэффициентов жесткости эле­ мента. Однако получение явных выражений возможно, если по­ строение ведется в терминах коэффициентов жесткости для CSTэлементов [9.2]. Явные выражения для коэффициентов матрицы же­ сткости элементов более высокого порядка оказываются громозд­ кими.

Квадратичное поле перемещений приводит к линейным распре­ делениям деформаций (или напряжений) в треугольном элементе, такой элемент обычно называется LST-элементом. Может по­ казаться, что объединение четырех CST-элементов, как показано на рис. 9.2(c), приведет к тому же результату, что и один LSTэлемент. Однако LST-элемент определяет непрерывное (линейное) напряженное состояние внутри элемента, а совокупность CSTэлементов дает четыре различных постоянных значения, каждой компоненты напряжения.

Внутри LST-элемента дифференциальные уравнения не удов­ летворяются. Этот факт был продемонстрирован ранее в разд. 4.5 с помощью полиномиального представления полей перемещений «, и и, а не с помощью рассмотрения функции формы. Очевидно, условия равновесия в узлах, находящихся внутри всех элементов более высокого порядка, также нарушаются.

Как показано на рис. 9.2(b) штриховыми линиями, LST-эле­ мент подходит для представления в изопараметрической форме. Операции, реализующие это представление, были описаны в разд. 8.8. Вообще говоря, все обсуждаемые здесь и в последующих главах конкретные элементы подходят для представления в изопараметрической форме. Так как детали построения во всех случаях соответ­ ствуют изложенным в разд. 8.5, то далее, за исключением частных случаев, не будут обсуждаться вопросы, связанные с изопараметрической формой представления.

Для дальнейшего улучшения представления может использо­ ваться треугольный элемент, базирующийся на полных кубических (десятичленных) полиномах перемещений для компонент и и v. В этом случае встречаются два альтернативных способа располо­ жения степеней свободы. В первом — изображенном на рис. 9.2(d)— задается обычным образом набор из 10 узловых точек, и в качестве степеней свободы выбираются значения и и v в каждом узле. Во втором — изображенном на рис. 9.2(e) — узлы задаются лишь в вершинах, где наряду с и и v задаются также и производные от этих величин (du/dx=ux и т. д.). Это приводит к появлению 9 сте­ пеней свободы соответственно для каждой компоненты и и и, т. е. всего к 18 степеням свободы. В полном разложении обеих величин и и v имеется 20 степеней свободы. Дополнительные две степени сво­

боды можно задать в виде двух компонент смещения центральной точки элемента. Можно исключить эти две степени свободы с по­ мощью процедуры конденсации, описанной в разд. 2.8 или с по­ мощью более элегантных процедур, описанных подробно в работах [9.4—9.6].

Кроме того, можно разделить исходный треугольный элемент на три треугольника, выбрать внутри каждого из них девятиили десятичленные полиномы для и и v и исключить внутренние степени свободы, налагая условия непрерывности перемещений. Этот подход более распространен для изгибаемых треугольных эле­ ментов и обсуждается в связи с этим в п. 12.3.2.

Элементы более высокого порядка с наборами узлов, соответ­ ствующих треугольнику Паскаля, т. е. с узлами вдоль сторон и внутри элементов, приводят к более общим уравнениям жесткости с большей шириной ленты в соответствующих ленточных матрицах по сравнению с элементами, степени свободы которых сосредоточе­ ны лишь в вершинах. Причину этого можно выяснить, добавив совокупность из двух треугольных элементов к конечно-элементной

Рис. 9.3. Сравнение альтернативных форм задания степеней свободы, (а) Объедине­ ние двух треугольных элементов с квадратичной деформацией; (Ь) производные в качестве узловых степеней свободы.

модели с границей, задаваемой на рис. 9.3 точками £, Л, В, С, F. Если, как показано на рис. 9.3(a), добавим элементы с представле­ нием деформаций в них в виде квадратичной функции, которые име­ ют 10 узлов (тип элемента совпадает с изображенным на рис. 9.2(d)), то в соответствующей ленточной матрице возникают дополнительные коэффициенты, отвечающие 18 степеням свободы. Добавление двух элементов с квадратичным распределением деформаций внутри них и со степенями свободы в виде производных в узлах и в центре треугольников (тип элемента показан на рис. 9.2(e)) приводит, од­ нако, к появлению дополнительных 10 степеней свободы. Различие объясняется тем, что в точке D в элементах со степенями свободы в виде производных степени свободы взаимосвязаны.

Увеличение ширины ленты в ленточной матрице приводит к возрастанию стоимости решения уравнений при проведении рас­ четов. Другое преимущество элементов со степенями свободы в виде производных заключается в том, что производные, используемые как степени свободы, непосредственно пропорциональны деформа­ циям и, следовательно, напряжениям, так что граничные условия

внапряжениях могут быть заданы непосредственно. Недостатком является то обстоятельство, что для плоского напряженного состоя­ ния силовые характеристики в узлах, отвечающие степеням свободы

ввиде производных от перемещений, не наделены ясным физическим смыслом.

9.2.2.Вопросы выбора треугольной сетки

Треугольный элемент завоевал популярность благодаря простоте задания постоянного значения деформации внутри элемента, а также в виду удобства описания геометрических характеристик сложных конструкций. В то же время для сложных конструкций возникают определенные трудности при выборе подходящей сетки разбиения из имеющегося разнообразия вариантов.

В связи с выбором набора треугольных элементов следует преж­ де всего отметить отсутствие «геометрической изотропии». Чтобы проиллюстрировать это утверждение, рассмотрим задачу анализа напряженного и деформированного состояния бруса, изображенного на рис. 9.4. Наборы элементов, представленные соответственно на

Рис. 9.4. Возможные варианты разбиения для рассматриваемой задачи.

рис. 9.4(a) и (Ь), хотя и содержат равное количество элементов оди­ наковой формы, приводят к различным численным решениям для перемещений и напряжений. Эти различия могут быть малы для густых сеток разбиения, используемых при практических расчетах, однако было бы желательно использовать все имеющиеся возмож­ ности, приводящие к исключению или уменьшению этих расхожде­ ний. Для настоящего случая изображенная на рис. 9.4(c) схема с очевидностью решает проблему. Однако для многих реальных кон­

струкций получить решение не так просто и при расчетах следует учитывать некоторое несовершенство указанных разбиений.

Как видно из предыдущего примера, геометрическую изотро­ пию можно сохранить, если конструкция имеет прямоугольные очертания или содержит много прямоугольных областей. Преобла­ дание на практике конструкций прямоугольного очертания приво­ дит к использованию «элементов-кирпичиков», когда проектиров­ щик применяет прямоугольные элементы, состоящие в действитель­ ности из нескольких треугольных элементов. На рис. 9.5 изображе­ ны два таких элемента, в каждом из которых сохраняется геомет­ рическая изотропия.

Рис. 9.5. Способы объединения треугольников при построении прямоугольника.

Изображенный на рис. 9.5(a) прямоугольный элемент построен из четырех треугольных. Два треугольника, у которых толщина в два раза меньше толщины реальной пластины, соприкасаются вдоль диагонали, соединяющей точки 1 и 3. На них лежит пара треугольников той же толщины, соприкасающихся вдоль диагона­ ли, соединяющей точки 2 и 4. Можно также рассмотреть четыре треугольника, расположенных так, как показано на рис. 9.5(b), с центральной точкой 5, которая исключается из результирующей матрицы жесткости для прямоугольного элемента с помощью про­ цесса конденсации, описанного в разд. 2.8.

Одним из неудобств рассмотренных выше схем является труд­ ность интерпретации вычисленных напряжений подходящим для процесса проектирования образом. При проектировании прямо­ угольных панелей требуется задание постоянных или линейных по­ лей напряжений в элементе. Однако при реализации схемы соглас­ но рис. 9.5(b) поле напряжений внутри прямоугольника описыва­ ется четырьмя различными значениями каждой компоненты на­ пряжений. Обычно для всего прямоугольника эти значения усред­ няют. Проблема заключается в том, что четыре дискретных значе­ ния могут различаться существенно, вызывая сомнение в точности полученных средних величин.

Теоретические исследования [9.7] скорости сходимости числен­ ных решений к точным решениям определяющих дифференциаль-

ных уравнений (4.17) проводились для различных типов треуголь­ ных элементов. Изучавшиеся схемы изображены на рис. 9.6. Ока­ залось, что наибольшую скорость сходимости обеспечивает схема А. Однако для этой схемы расположения элементов возникает пробле­ ма обеспечения геометрической изотропии. Сетка равносторонних треугольников (схема D) обеспечивает такую же скорость сходимо­ сти, как и схема А. Более слабая сходимость выявлена для схем В и С. При использовании этих схем возникали ошибки, зависящие от рассматриваемого направления, которые можно скомпенсировать, комбинируя различные схемы, что обычно и делается при анализе.

Рис. 9.6. Рассматриваемые в [9.7] сетки.

Другой практический вопрос, связанный с геометрией распо­ ложения элементов, основанных на допустимых полях перемеще­ ний, возникает при рассмотрении напряженного состояния на свободных краях. Как ясно из рис. 5.3, напряжения в элементе с постоянным напряжением внутри него «выходят» за грани элемента. Поэтому свободное от напряжений состояние на границе конструк­ ции является полностью приближенным, и шаг разбиения сетки в направлении нормали к такой границе должен быть достаточно мал, чтобы обеспечить малость напряжений на границе и переход к большим значениям интенсивности указанных напряжений внутри конструкции.

Продолжая обсуждение вопросов применения рассмотренных выше схем для решения прикладных задач, необходимо заметить, что следует стремиться избегать вытянутых элементов. При удли­

нении жесткость треугольного элемента с постоянным значением деформации не стремится к жесткости стержневого элемента, и можно показать [9.8], что точность решения падает с увеличением удлинения элемента (отношения максимальных линейных разме­ ров в двух направлениях). Следует стремиться использовать рав­ носторонние элементы.

В гл. 6 и 7 показано, что решение, доставляющее минимум по­ тенциальной энергии, построенное на базе конечного числа степе­ ней свободы, дает нижнюю границу точного значения энергии де­ формации. Поэтому для заданного'числа степеней свободы требует-

Шесп

ISt-j/reML

Оси * 1 симметрии

Рис. 9.7. Конечно-элементное представление четвертой части диска, нагружен­ ного вдоль радиуса. Используются одновременно элементы высокого и низкого порядков с переходными элементами между ними (из [9.10]). Перепечатывается с разрешения Council of the Institution of Mechanical Engineers из журнала Jour­ nal of Strain Analysis. Замечание. Сетка состоит из 21 CST-элемента, 14 LST-эле- ментов и 5 переходных элементов (заштрихованы).

ся так разместить узлы, чтобы достичь максимального значения энергии деформации. Теоретически возможно разместить узлы ука­ занным образом в связи с общей процедурой анализа, при этом ко­ ординаты х н у узловых точек рассматриваются как степени сво­ боды и участвуют в определении экстремума функционала [9.9]. Этот процесс должен, разумеется, осуществляться итерационным образом и оказывается чрезмерно дорогостоящим при решении ре­ альных задач.

Исходя из практических условий, инженер должен оценить области с большим градиентом деформации и в этих областях, если используются обычные элементы, применять очень мелкие сетки, отвечающие простым элементам, либо применять элементы более высокого порядка. Если используется последний подход, необходимо построить переходные элементы от элементов высокого порядка в областях с резкими перепадами деформаций к более простым элементам в областях, где распределение деформаций по существу однородно или не столь важно для решения задачи. Чтобы выполнить это, полезно использовать элементы высокого порядка с меньшим числом узловых точек на краях, соприкасающихся с более простым элементом [9.10]. Эта ситуация иллюстрируется на рис. 9.7 для классической задачи расчета кругового диска, на кото­ рый действуют две диаметрально противоположные сосредоточен­ ные силы. В разд. 8.7 показано, как построить поля перемещений

вэлементах с разным числом узлов на соответствующих сторонах.

Вточке приложения сосредоточенной силы или в вершине трещины, где напряжение в материале теоретически бесконечно (сингуляр­ ность напряжений) , а также в непосредственной близости от этих точек желательно учесть сингулярность при построении элементов.

Вконце п. 9.3.3 мы снова вернемся к указанным построениям.

9.2.3.Интерпретация полей напряжений

Так как построения конечных элементов на базе перемещений про­ водятся при помощи принципа минимума потенциальной энергии,

Прежде чем перечислить эти трудности, важно выяснить детали расчета напряжений в том случае, когда имеются начальные де­ формации, распределенные нагрузки и силы инерции. Напомним, что, согласно соотношению (5.7а) из разд. 5.1, поле напряжений в элементе а можно вычислить, зная вектор перемещений в элементе (М с помощью соотношений а=[Е] [D] {Л}= [S] {А}. Если имеется начальная деформация einit, то закон, связывающий деформации

Введение членов, учитывающих распределение нагрузки, вы­ полняется не так просто. В разд. 6.1 было показано, что если име­

ется распределенная иагрузка~Т, то понятие «энергетически эк­ вивалентной» или «соответствующей» нагрузки приводит к следую­

так что и2== *V2(qL2/AE), u3=2qL2/АЕ. Матрица жесткости для стерж­ невого элемента представляет собой матрицу-строку (E/L) [_ —1 1 J , и можно предположить, что в каждом элементе напряжение по­ стоянно, т. е. Oi_2=*/2qLIA, o2_3=qL/A. На рис. 9.8(c) данное напряженное состояние изображено штриховыми линиями. Точ­ ное распределение, полученное в результате решения задачи, по­ казано сплошной линией.

Чтобы предложить совершенно иной подход к расчету напряже­ ний, рассмотрим основные уравнения, связывающие силы и пере­ мещения для элемента. Для элемента 2—3 имеем

F2_t=^L и Fi_a= —2 qL (снова знак минус означает растяжение на левом конце). Разделив эти силы на площадь поперечного сечения

ся, если вначале находятся силы в узлах, которые затем преобра­ зуются в напряжения. Выражения для узловых сил могут вклю­ чать не только распределенные нагрузки, но также силы инерции

[ml {А}, как в (6.16), или другие виды распределенных воздействий. Заметим, что узловые силы локально (в узлах) преобразовыва­ ются в напряжения. Для стержневого элемента, когда существует взаимно однозначное соответствие между компонентами сил в узлах и искомыми компонентами напряжений, это — непосредственно выполняемая операция. Однако для плоского напряженного сос­ тояния существуют три компоненты напряжений и только две ком­ поненты силы в каждом узле. Указанное рассогласование присуще большинству многомерных напряженных состояний. Поэтому при подсчете напряжений обычно пренебрегают «поправкой», вносимой членом {F*}, и вновь используют формулу a=[S] {А}. Возникающая при этом ошибка отражена на рис. 9.8(c) заштрихованными об­ ластями, откуда видно, что величина ошибки становится малой, если использовать, как это часто бывает на практике, большое чис­

ло элементов.

*> Интересно отметить, что точные значения напряжений получаются в у з ­ л а х с о е д и н е н и й для любых распределений прикладываемых нагрузок, если приме­ няются энергетически эквивалентные силы, вычисленные на основе функций фор­ мы, которые представляют точное решение соответствующих однородных (с нуле­ выми силами) определяющих дифференциальных уравнений. Это происходит по­ тому, что все соответствующие условия (равновесия, совместности) в этих точках при энергетически эквивалентных нагрузках выполняются точно (см. [9.11]).

Процедура, основанная на начальном вычислении узловых сил, позволяет соответствующим образом интерпретировать процедуру, базирующуюся на использовании матрицы жесткости. В формуле (6.16а) (что и учитывалось выше) член [к] {А} соответствует члену [S] {А} в (5.7Ь), поэтому можно определить {F*} как соответству­ ющее выражению [E]eInit в (5.7Ь). Однако [E]einit можно рас­ сматривать как «начальные напряжения» ainIt, которые в данном случае представляют собой напряжения, обусловленные энерге­ тически эквивалентной нагрузкой. При этом следует учесть, что все же остаются трудности при построении указанного преобразо­ вания для многомерных напряженных состояний.

Ранее было показано, что при определенных условиях (напри­ мер, для стержневого элемента при приложении распределенной нагрузки) можно подсчитать непрерывное точное распределение напряжений, однако практические соображения могут побудить к определению приближенных «гистограммных» форм распределений напряжений, когда напряжения терпят разрывы при переходе от элемента к элементу. В других случаях (как, например, для тре­ угольных элементов с постоянным значением деформации при при­ ложении к конструкции сосредоточенных сил) численное реше­ ние приводит в основном к разрывным распределениям напря­ жений во всей конструкции. Следовательно, для целей проектиро­ вания имеется необходимость в схеме, которая приводила бы к не­ прерывному представлению поля напряжений. Рациональным об­ разом это можно сделать с помощью введения понятия сопряженных напряжений [9.12]. Реализация этой идеи предполагает использо­ вание техники сглаживания, которая обеспечивает непрерывность представлений полей напряжений для согласованных конечно-эле­ ментных моделей.

Если для поля перемещений A=[N] {А} функции формы [_ N J приводят к согласованному представлению, то простейшей и наи­ более естественной согласованной аппроксимацией напряжений мо­

ных точках. Будем называть это представление совместимым с пе­ ремещениями. Конечно, можно выбрать согласованное представ­ ление напряжений, которое не является совместимым с переме­ щениями, однако для этого требуются дополнительные рассмот­ рения, не использующие результаты проведенных вычислений. «Стандартный» расчет сопряженных напряжений основан на том, что напряжения согласованы и совместимы с перемещениями. За­ метим, что ас может включать три компоненты в случае плоского напряженного состояния (ох, оуу хху), поэтому [N] — прямоуголь­ ная матрица.

Согласно теории для аппроксимации сопряженных напряже­ ний, необходимо образовать два типа матриц для элементов. Пер­