книги / Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями

ПРЕДИСЛОВИЕ

Обеспечение устойчивости равновесия и несущей способности тонкостенных деформируемых систем, состоящих из пластинок и оболочек, является одной из важнейших задач, решаемых при про­ ектировании летательных аппаратов, конструкций различных ма­ шин и других несущих инженерных сооружений. Теории устойчи­ вости и колебаний сплошных пластинок и оболочек посвящено зна­ чительное число монографий, опубликованных в GGCP и за рубе­ жом. Среди них выдающееся место занимают серии книг, написан­

ленных вырезами, изучено достаточно подробно и освещено в це­ лом ряде монографий и прежде всего в работах таких советских ученых, как Г. Н. Савии, А. Н. Гузь, Э. И. Григолюк, Л. А. Фильштинский. В то же время в литературе отсутствуют работы, обоб­ щающие полученные к настоящему времени результаты экспери­ ментальных и теоретических исследований устойчивости и колеба­ ний тонкостенных пластинок и оболочек с отверстиями.

•Предлагаемая читателю книга — попытка воополнить этот про­ бел. В ней излагаются аналитические, численные и эксперименталь­ ные методы определения критических нагрузок и собственных ча­ стот колебаний тонкостенных конструкций с вырезами, а для част­ ных случаев выведены окончательные расчетные формулы.

В связи с тем, что конструкция тонкостенной деформируемой системы (круглая, кольцевая, прямоугольная пластинки или же сферическая, коническая, цилиндрическая оболочки), а также фор­ ма и число отверстий существенно сказываются на выборе метода исследования, описание каждого такого метода приводится перед соответствующей группой задач о конструкциях с определенной формой выреза.

з

Приведенные таблицы и графики, а также некоторые числовые примеры могут быть непосредственно использованы в практиче­ ских расчетах.

И з-за ограниченности объема в книге не нашли отражения во­ просы устойчивости и колебаний круглых пластинок с вырезами, собственных частот колебаний оболочек вращения с вырезами, а вопросы их устойчивости нашли отражение лишь в небольшой объеме* Автор выражает искреннюю благодарность рецензенту кни­ ги А. С. Вольмиру за его весьма ценные замечания, сделанные при подготовке книги к изданию.

ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ СТАТИКИ

ИДИНАМИКИ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

1.1.ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Внастоящей главе приводятся исходные статические и динами­ ческие соотношения, относящиеся .к тонкостенным .конструкциям с отверстиями (вырезами) различной формы.

Вдальнейшем будем исходить из того, что деформации лежат

впределах упругости и подчиняются закону Гука. Будем рассм ат­ ривать .пластинки и оболочки постоянной толщины к.

Отличительной особенностью общих зависимостей для тонко­ стенных конструкций с отверстиями, как .и для сплошных тонких оболочек [21], является сведение уравнений трехмерной теории уп­ ругости к уравнениям для двух измерений. Введем координатную

Один из наиболее известных путей приведения трехмерной за­ дачи к двухмерной основан на гипотезе Кирхгофа — Лява. В соот­ ветствии с ней любое волокно, нормальное к срединной поверхно­ сти до деформации, остается .после деформации прямым и нор­ мальным к срединной .поверхности в ее новом очертании; вместе с тем длина волокна вдоль толщины оболочки считается неизменной.

Далее вводим дополнительное допущение, состоящее в том, что нормальными напряжениями в направлении перпендикуляра к сре­ динной поверхности можно пренебречь по сравнению с основными напряжениями. При этом под основными напряжениями понимают­ ся нормальные и касательные напряжения в срединной поверхности оболочки и в слоях, ей параллельных [22].

Исследования будем проводить применительно к конструкциям, имеющим подкрепленные или недодкрепленные вырезы различной формы.

Если имеются только свободные вырезы, в контурных сечениях которых отсутствуют геометрические связи, то конструкции подоб­ ного типа можно выделить в отдельный класс. Выделение подоб­ ного класса деформируемых объектов позволит при решении задач устойчивости и колебаний использовать единый приближенный ме­ тод. исследования. Выражение для критической нагрузки сплошной

пластинки, сжатой с двух сторон, зависит от изгибной жесткости и размеров сторон внешнего контура. Если в пластинке вырезается сквозное отверстие, то в первую очередь, как известно, оно повлия­ ет на изгибную жесткость и распределенную массу. Принимая эти факты во внимание, ослабление, вносимое отверстием, будем учи­ тывать через приведенные характеристики жесткости и массы. Тог­ да моделью тонкостенной конструкции с вырезами считаем анало­ гичную сплошную деформируемую систему, у которой параметры жесткости и массы будут претерпевать разрывы в районе вырезов, т. е., будут функциями координат. Ниже для такой модели приве­ дены основные соотношения теории устойчивости и колебаний, т. е. соотношения для тонкостенных конструкций с переменной жестко­ стью и массой. Эти соотношения в дальнейшем используются для изучения поведения деформируемых систем с вырезами произволь­ ной формы.

1.2. ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ

Рассмотрим деформированное состояние оболочки с перемен­ ной жесткостью и массой в предположении, что прогибы точек сре­ динной поверхности могут быть одного порядка с толщиной обо­ лочки. Используем декартову (правую) систему координат х, г/, г. Координатные линии х, у совпадают с линиями кривизны средин­ ной поверхности. Считаем, что линия z направлена к центру кри­ визны вдоль нормали к срединной поверхности.

Перемещения точек срединной поверхности по направлениям х, у, z обозначим соответственно и, v и ш.

Связь между деформациями и перемещениями находится из гео­ метрических соображений, используя'гипотезы Кирхгофа — Л явз.

Перемещения точек, расположенных в срединном слое, вдоль координатных линий оказываются функциями координат х, у и вре­ мени t.

Используя результаты работы [23], выпишем полные выраже­ ния для деформаций удлинения и сдвига в слое оболочки, удален­ ном на расстоянии z от срединной поверхности:

Здесь введены следующие обозначения: иг> vz и wz — перемещения произвольной точки нормали с координатой z (до деформации) вдоль соответствующего координатного направления; exz, eyz и у2 — деформации удлинения и сдвига в направлении х, у и z; kx— 1/Qt ; ky— \Jqv — значения кривизны срединной поверхности оболочки; QX и QV — радиусы кривизны линий соответственно вдоль х и у.

б

Таким образом, деформации в про­ извольной точке по толщине можно представить в виде суммы деформаций, срединной поверхности, определяемых соотношениями (1 .5), и деформаций изгиба:

Деформации срединной поверхно­ сти, представленные формулой (1.5),.

не являются независимыми, так как выражаются через одни и те же функции и, г/, w. Они должны подчиняться уравнению совмест­ ности, деформаций (или неразрывности деформаций) в срединной поверхности, которое в результате дифференцирования ех, ву и у„ после некоторых преобразований имеет вид

Данные соотношения характеризуют чисто геометрические свой­ ства тонкостенной конструкции до и после деформации. Они не зависят ни от причин, вызвавших деформацию, ни от закона сопро­ тивления материала внешним нагрузкам. Д алее рассмотрим соот­ ношения, с помощью которых можно от деформаций перейти к на­ пряжениям. Будем исходить из предположения, что деформации ле­ ж а? в пределах действия захона Гука. В этом случае деформации в срединной поверхности для изотропного материала, характери­ зуемого модулем упругости первого рода £ , модулем упругости второго рода G и коэффициентом Пуассона р, связаны с напряжен ниями Ох, оу и т следующими соотношениями:

r G Е

И з (1.8) следует:

Е Е

Для элемента оболочки'единичной длины (рис. 1.2), грани ко­ торого совпадают с касательными к линиям х н у , можно записать