книги / Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями

ванными лишь таким образом, что контурные линии остаются па­ раллельными наружному контуру пластинки.

Исследование проводим на сплошной модели пластинки, считая, что она имеет неравномерно распределенную массу и переменную изгибную жесткость.

Изгибающие моменты при наличии ребер жесткости по контуру отверстий вдоль линий их подкрепления будут претерпевать раз­ рывы, плотность которых пропорциональна изгибной жесткости ре­ бер, а крутящие моменты — разрывы, плотность которых пропор­ циональна жесткости подкреплений на кручение.

Предположим, что пластинка, разгруженная от действия внеш­ них сил, имея начальную деформацию и скорость, совершает попе­ речные колебания. Для исследования колебаний пластинки внесем в уравнение равновесия (5.47) вместо q инерционные силы Далам - бера в форме

ьк

(9. 16)

где у —Yoyi; уо— плотность материала оболочки; mXi, ту%— погон­ ная масса ребер; g — ускорение свободного падения.

Выражение для q выписано при условии пренебрежения момен­ тами составляющих сил инерции. Таким образом мы получим урав­ нение движения пластинки с переменной жесткостью, решение ко­ торого будем искать методом Фурье. Функция прогиба до, аппрок­ симирующая поперечные свободные колебания, должна удовлетво­ рять граничным' условиям, зависящим от способа закрепления внешнего контура пластинки. Предполагаем, что рассматриваемые нами пластинки шарнирно оперты с четырех сторон.

Решение уравнения (5.47) после подстановки в него нагрузоч­ ного члена q представим в виде произведения двух функций, одна из которых является только функцией времени, а другая — коор­ динат:

где a=m nja\ $ = rm lb ; т, п — число полуволн соответственно вдоль

mxi [Г, {у— уи) + Г 1 {у— уь)\ [Г0(л — ATIO— Г 0(л: — Л2,)]+

+2Щг [Г 1(-* ~ Хц) + Г 1(х - * 2 /)] [Го ( У - Уи) - Го (у ~ У2{)]‘

Решение уравнения (9.18) будем искать в форме, удовлетворя­ ющей граничным условиям.

В функции W\(х , у) они не отличаются от известных условий для прогиба при статическом нагружении пластинки. В связи с тем, что функция, аппроксимирующая прогиб рассматриваемых пластинок в форме (9 .17), удовлетворяет как силовым, так и геометрическим граничным условиям на внешнем контуре, мы имеем право решать уравнение (9.18) метолом Бубнова — Галеркина. В результате этого найдем зависимость, с помощью которой можно определите, собственные частоты пластинок с любым числом вырезов:

^(s-s'-ii(s+^)3r+iH“:+-ai +

выражение для собственной частоты упрощается. Оно имеет вид

0)2

Расчет по выведенным зависимостям трудоемкий, особенно при проектировании оптимальных конструкций или же конструкций с большим числом вырезов. В связи с этим была составлена програм­ ма расчета, реализуемая с помощью ЭЦВМ «М -220». В качестве примера определена частота свободных колебаний для квадратной пластинки со стороной а, имеющей центральный квадратный вырез,

длина стороны которого равна 0,5а. В этом случае из (9.21) полу­ чается простая формула вида

где Q = y h /g .

Аналогичный пример был разобран Г. П. Зиненко [39]. Получен­ ная им зависимость отличается от (Э.22) числовым коэффициен­ том, который равен 22. Как видим, совпадение получилось удовле­ творительное.

Н а рис. 9.7 и 9.8 приведены результаты вычислений значений коэффициента k, который следует подставлять в формулу (9.22) вместо 25,6, чтобы получить зависимость для собственной частоты квадратной пластинки с центральным квадратным вырезом задан­ ных размеров, контуры которого подкреплены. Предполагалось, что

симметрично относительно срединной поверхности. Значения коэф­ фициента, приведенные на рисунках, изменяются в функции от ве­ личины т|, равной отношению массы подкрепления к массе мате­ риала, изъятого из пластинки при изготовлении выреза. Характер­ но, что коэффициент по-разному изменяется в зависимости от со­ отношения между шириной и толщиной пластинки. Чем это отноше­ ние больше, тем интенсивнее возрастает коэффициент k. Кроме того, скорость изменения коэффициента определяется соотношени­ ем сторон выреза и пластинки.

9.3.КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК, НАГРУЖЕННЫХ УСИЛИЯМИ

ВСРЕДИННОЙ ПЛОСКОСТИ

Пусть прямоугольная пластинка с / прямоугольными свобод­ ными вырезами, ориентированными таким образом, что их сторо­ ны параллельны соответствующим сторонам внешнего контура, нагружена в плоскости равномерно распределенными усилиями

Nх и Nу.

Предполагаем, что под действием указанной системы нагрузок в пластинке происходит распределение напряжений, близкое к равномерному. Как показали ранее опубликованные работы, а так-

же исследования автора, результаты которых приведены в преды­ дущих главах, попобное допущение не вносит большой погрешно­ сти в решение некоторых задач устойчивости и может быть приме­ нимо при изучении поведения прямоугольных пластинок со свобод­ ными отверстиями произвольной формы.

Наружный контур пластинки шарнирно оперт. Необходимо вы­ яснить, каково влияние усилий на основную частоту собственных свободных колебаний пластинки. Исследования проводим в гео­ метрически линейной постановке на основе упругой «сплошной» модели. Контуры отверстий не подкрепленные. В декартовой си­ стеме координат уравнения колебаний для пластинки с неоднород­ ной жесткостью с учетом усилий, действующих в срединной пло­ скости, имеет следующий вид:

координаты, направленные соответственно вдоль сторон а и Ь; D и Y — переменные параметры, характеризующие изгибную жесткость и плотность (массу) пластинки-модели; они определяются по сле­ дующим зависимостям:

где

/

— 2 1г о{ х - х и; у — Уц)— Г0(хг — ад у — Уи) — i=*1

ность материала; хц\ хгх Уи и уц — координаты, фиксирующие кон­ турные линии r'-го прямоугольного отверстия, t= 1, 2 , . . . , /.

Свободные формы колебаний рассматриваемой пластинки ап­ проксимируем функцией До|, удовлетворяющей кинематическим и статическим условиям шарнирного опирания

формулу для собственных частот колебаний шарнирно опертой пла­ стинки с произвольным числом прямоугольных отверстий. Она мо­ жет быть преобразована к виду

где со* — частота собственных колебаний сплошной прямоугольной шарнирно опертой пластинки, определяемая по формуле

а & — коэффициент, характеризующий изменения собственной ча­ стоты колебаний при наличии-в пластинке прямоугольных отвер­ стий,

l + 2 ( l - f i ) o < P 2 Qi

гд.е

При наличии в пластинке усилий Nx и Ny частота собственных колебаний после подстановки в уравнение (9.23) зависимости (9.26) и интегрирования также может быть преобразована к соотношению (9.27). Однако в этом случае в уравнение входит новый коэффици­ ент k*, равный

Здесь через X обозначено соотношение между усилиями, дейст­ вующими в срединной поверхности:

b = N yIN x,

коэффициент k определяется по зависимости (9.29), а все осталь­ ные параметры по формулам (9.3С). Из формулы (9.31) следует, что растягивающие усилия повышают частоту собственных колеба­ ний, сжимающие — снижают.

Если воспользоваться формулой критической нагрузки для пря­ моугольной пластинки с прямоугольными вырезами, получив ее из

динамическим параметрам. Например, колебания давления в каме­ ре сгорания всегда сопутствуют работе двигателей летательного аппарата, независимо от их типа и размеров. Колебания создают дополнительные динамические нагрузки не только на детали двига­ тельной установки, но и на многие другие элементы летательного аппарата. Они приводят к появлению усталостных повреждений и являются причиной многих неисправностей и поломок.

Поэтому проблема парирования упругих колебаний является весьма актуальной. Деятельность специалистов направлена на устранение колебаний, где это возможно, а чаще всего на ограни­ чение амплитуд колебаний или на смещение (изменение) собствен­ ных частот колебаний отдельных элементов конструкции.

Амплитуда вынужденных колебаний зависит, как известно, от величины и частоты возмущающих сил и спектра собственных ча­ стот упругой системы.

Парирование вынужденных колебаний может осуществляться несколькими путями:

1)устранение периодически действующих возмущающих сил или уменьшение их величины;

2)введение на пути распространения возмущающих сил демп­ фирующих устройств, рассеивающих энергию источника колебаний;

3)изменение частот собственных колебаний с целью выхода из резонансной области.

Чаще всего задачу об исключении резонанса можно решить, ис­ пользуя все три направления вместе. Однако это возможно осуще­ ствить на сталии проектирования лишь при наличии необходимых теоретических зависимостей,* подтвержденных экспериментами. По­ добная задача для тонкостенных конструкций с вырезами еще не решена. В этой связи автором * были проведены опытные исследо­ вания, целью которых было:

1)выяснение степени влияния размеров центрального выреза на низшую собственную частоту колебаний квадратных и прямоуголь­ ных пластинок;

2)установление влияния формы центрального выреза на низ­ шую собственную частоту;

•3) определение влияния на низшую собственную частоту числа вырезов;

4)определение места, в котором вырез больше всего будет влиять на низшую собственную частоту колебаний пластинки;

5)сравнение теоретических данных, полученных в предыдущей главе, с опытными.

9.5.МЕТОДИКА ИСПЫТАНИИ

Для проведения экспериментов были изготовлены прямоуголь­ ные пластинки из материала Д16Т, толщиной 2 мм. Размеры испы­ танных образцов составляли:

1) 2 3 2 X 2 3 2 мм для серии из 11 пластинок;

----------------- I

*Помощь в выполнении этой работы автору оказали И. Н. Ермилов а

С.И. Лямгузов.

соблюдении постоянного уровня ускорения стола вибратора. При этом частотная развертка генератора, управляющего столом вибро­ стенда, была синхронизирована с приводом бумаги самописца уровня вибрации. Преобразовательный элемент акселерометра мас­ сой 2,6 г состоял из двух пьезоэлектрических дисков, на которых покоилась значительная масса. Когда акселерометр подвергался вибрации, м асса оказывала на пьезоэлектрические диски перемен­ ное давление. Благодаря пьезоэлектрическому эффекту в дисках возникал переменный потенциал, который снимался с выходных концов акселерометра и использовался для определения частоты сигнала, регистрируемого с помощью электронного самописца. Час­ тотная характеристика регистрирующего акселерометра была ли­ нейной и находилась в пределах 30 кГц.

М асса испытанных образцов находилась в пределах 200 г, масса акселерометра, составляла 2,6 г, поэтому искажения, вносимые присоединенной массой регистратора частоты колебаний, были пре­ небрежимо малыми.

9.6.СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ

ИОПЫТНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

При испытаниях определялись низшие частоты собственных ко­ лебаний однослойных изотропных шарнирно опертых пластинок с нелодкрепленными свободными вырезами.

Большие трудности в процессе постановки опытов возникли при моделировании на образцах условий шарнирного опирания внеш­ него края. Этим можно объяснить наблюдавшийся разброс экспери­ ментальных значений низших частот колебаний у одинаковых опытных образцов. На рис. 9.13 приведены пунктирные кривые, которые были проведены через точки, соответствующие осредненным опытным значениям низших частот собственных колебаний квадратных пластинок с центральным неподкрепленным вырезом. По оси абсцисс здесь откладывались величины относительных раз­ меров выреза. В случае кругового — это отношение диаметра вы­ реза 2R к длине стороны пластинки а, а в случае квадратного — отношение длины стороны выреза а\* к а.'По оси ординат откла­

дывались величины km, равные отношению низшей собственной частоты колебаний об­ разца с вырезом к частоте образца без вы­ реза, найденной по зависимости (9.10).

Кривая 1 построена по результатам ис­ пытаний квадратных пластинок с централь­ ным квадратным вырезом, а кривая 2 — с

круговым. Как видно из рис. 9.13, частота колебаний пластинок с квадратным выре­ зом изменяется с увеличением его размера интенсивнее, чем с круговым. Этот же вы­ вод можно сделать по результатам теоре-