книги / Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения

Разрешающие системы ОДУ (3.63) и (3.58), (3.61), (3.62) имеют шестой порядок и могут быть записаны в виде:

В этом случае два ненулевых собственных значения матрицы А равны А5 ——Лб —син- _ _ „

Если в качестве разрешающего вектора выбрать у = ||По, 111, П2, wQ, w 1, w2||т , то ненулевые компоненты матрицы А и вектора f равны:

Таким образом, получены две разрешающие системы ОДУ с раз­ личной структурой матрицы А — спектр матрицы с компонентами (3.65) состоит из четырех нулей и двух взаимнообратных действитель­ ных значений, не зависящих от координаты г. В спектре матрицы А с компонентами (3.66) содержатся положительные и отрицательные действительные величины, стремящиеся к бесконечности пропорцио­ нально г -1 при г —>0. При этом общие решения данных систем диф­ ференциальных уравнений имеют похожие структуры, различающиеся лишь множителями вида г и г -1 .

Далее будем рассматривать кольцевую пластину с внешним радиу­

обеих кромок пластины при этом проявляются все ярче — пики заост­ ряются, а градиенты существенно возрастают.

Аналитические решения, имеющие ярко выраженный характер погранслоев, переменные коэффициенты систем дифференциальных уравнений и наличие в них параметров, управляющих величиной и ха­ рактером краевых эффектов, позволяют исследовать эффективность разработанного алгоритма численного решения одномерных краевых задач при решении описанной задачи изгиба кольцевой пластины. Два варианта разрешенных систем уравнений, имеющих отличные друг от друга структуры матриц Якоби и, как следствие, аналитических решений, удобно использовать для оценки работы алгоритма при ре­ шении задач, в которых краевые эффекты более ярко выражены либо

при решении задачи изгиба трехслойных кольцевых пластин разного радиуса, жестко защемленных на краях. Радиус внутреннего отверстия при этом равен RQ = 0,1; толщины и модули упругости материалов слоев: h\ = 0,2, hQ = 0,6 м, Е\ = 200, E Q = 40ГПа. В таблице при­ ведены максимальные приведенные погрешности £п, получаемые при определении П, и ew, получаемые при определении w\ общее число вызовов процедуры численного интегрирования задачи Коши J** и чис­ ло интервалов в итоговой сетке интегрирующей процедуры J*; число узлов ортогонализации J. Видно, что алгоритм успешно справляет­ ся с решением обеих краевых задач — получаемые погрешности не превосходят 0,1% кроме одного случая. Узлы ортогонализации распо­ ложены достаточно равномерно по интервалу решения задачи везде, кроме области прилегающей к левой границе, поэтому их число растет пропорционально длине интервала, и, при этом, совпадает для обо­ их вариантов задачи. При изменении радиуса внутреннего отверстия можно видеть, как проявляется наличие в спектре матрицы системы

дифференциальных уравнений задачи № 2 величин, обратно пропор­ циональных г. В табл. 3.8 представлены результаты работы алгоритма

случаю. Из таблицы видно, что при решении задачи № 2 может возник­ нуть необходимость в дополнительных узлах ортогонализации вблизи левой границы. Однако, вследствие того, что область, в которой соб­ ственные числа матрицы Якоби много больше единицы, относительно узка, то необходимости сильно мельчить сетку узлов ортогонализации не возникает.

задачи № 2 слагаемые, вносящие такой вклад в собственные значения, не зависят от г, поэтому, когда h мало, спектральные радиусы матрицы Якоби много больше единицы на всем интервале решения задачи. В

Т а б л и ц а 3.9

табл. 3.9 приведены результаты применения разработанного алгоритма решения краевых задач для систем ОДУ к задаче изгиба трехслойных

изгиба жестко защемленной трехслойной длинной круговой цилин­ дрической панели толщины h и радиуса R, нагруженной равномерно распределенным внешним давлением. Внешние слои имеют одинаковую толщину h\ и выполнены из одинакового материала с модулем Юнга Е\ и коэффициентом Пуассона v\. Внутренний слой толщины h2 выполнен из материала с модулем Юнга Е 2 и коэффициентом Пуассона и2.

Для того чтобы получить систему уравнений, описывающую пове­ дение цилиндрической панели, в уточненной постановке [9] необходи­

задача изгиба панели, и 022 = 0, если рассматривается задача изгиба арки:

кhpk

кhrk

(3.70)

f ' ( z ) = (1 + z / R ) f [ , f i ( z ) = z 3 - 1.5h z 2.

случае жесткого защемления краев цилиндрической панели граничные условия имеют вид

W ( S Q) = W ' (SQ) = U (SQ) — 7T(SQ) — w ( s \ ) = W7(si) = u ( s \ ) — 7r(si) = 0.

цилиндрических панелей, сопряженных с длинной прямоугольной пла­ стинкой (рис. 3.14).

дится под действием равномерно распределенного внешнего давления. Одновременно можно рассматривать арочную конструкцию единичной ширины. Дифференциальные уравнения арочной конструкции полно­ стью аналогичны уравнениям изгиба панельной конструкции.

Общая система уравнений, описывающая изгиб комбинированной конструкции, состоит из двух систем уравнений (3.71), описывающих НДС круговых цилиндрических панелей, и системы уравнений длин­ ной прямоугольной пластинки, приведенной в предыдущем разделе.

Для того чтобы составить систему уравнений для комбинированной конструкции, введем вектор у = (у\, 2/2. ••• . 2/24). компоненты которого 2/i, (г = 1 , 8) определяют величины, характеризующие НДС левой