книги / Основы конструирования авиационных двигателей и энергетических установок. Т. 4 Динамика и прочность авиационных двигателей и энергетических установок

где А - площадь треугольника ijm. Коэффициенты а, Ь с с индексами j ит получа­ ются циклической перестановкой индексов в пос­ ледовательности т.

Общая деформация в любой точке элемента для случая плоского напряженного состояния имеет

Продифференцировав уравнения (1.136)

и(1.137), получаем в матричном виде:

где матрица узловых координат:

Обобщенный закон Гука, выражающий связь между напряжениями и деформациями при упру­ гом поведении материала, с учетом тепловых де­ формаций имеет вид (см. разд. 1.19):

где {е0} - вектор начальной тепловой деформации; [£>] - матрица упругости материала, которая

для изотропного материала и плоского напряженного состояния имеет вид:

Вектор тепловой деформации имеет вид:

1.3. Уравнения равновесия

где а - коэффициент линейного расширения; V - температура элемента.

Подставляя (1.140) в (1.141), получим соотно­ шение для расчета напряжений в элементе по из­ вестным узловым перемещениям:

Внешние силы, действующие на тело, можно разделить на две категории: массовые (или объем­ ные) и поверхностные. Массовые характеризуют­ ся силой, приходящейся на единицу массы (или объема) тела. Пример массовых сил - центробеж­ ные, поверхностные силы действуют на поверхно­ сти тела (см. рис. 1.51), они обусловлены воздей­ ствием контактирующих тел или окружающей среды; пример поверхностных сил - давление жид­ кости или газа.

В узлах конечно-элементной сетки действуют три группы сил. Первая группа - силы, статически эквивалентные внешним поверхностным и массо­ вым силам {F}e , они получаются интегрировани­ ем внешних сил по поверхности или объему и рас­ пределению их между соответствующими узлами. Вторая группа - силы, возникающие от начальной деформации {F}^.Третья группа - силы, пропор­ циональные узловым перемещениям {8}*'. Вектор узловых сил в элементе {F)eвключает в себя по две силы в каждом узле:

где [К\е- матрица жесткости элемента

(1.146)

у

где V- объем элемента.

Знак [ ]т означает транспортирование матрицы (строки и столбцы матрицы меняются местами).

Просуммировав узловые силы по всем элемен­ там, получают систему алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых перемещений

где |Х| - матрица жесткости системы;

{F} - вектор внешних нагрузок (включая тепловые).

Система (1.147) включат в себя N = zn-s линей­ ных алгебраических уравнений. Здесь п - число узлов конечно-элементной сетки, z - число степе­ ней свободы в каждом узле (в плоской задаче z = 2),

Глава / . О сновы анализа прочност ной надеж н ост и двигат елей

s - число степеней свободы по которым переме­ щения известны (закрепленные узлы, например).

Решение системы (1.147) позволяет определить перемещения узловых точек {5}, а по ним - дефор­ мации и напряжения в элементах рассчитываемой конструкции.

Соотношения метода конечных элементов для трехмерного напряженно-деформированного со­ стояния аналогичны рассмотренным выше. Конеч­ ные элементы в трехмерном случае представля­ ют собой объемное тело (призмы, пирамиды), число степеней свободы в каждом узле - три. Бо­ лее подробное изложение метода конечных эле­ ментов можно найти в специальной литературе, например в [9].

1.24.Реализация метода конечных элементов

винженерных расчетах

Соотношения (1.137) - (1.141), определяющие свойства элементов, были записаны в простейшем виде. При проведении расчетов часто используют элементы с более сложными свойствами.

Возможно, в частности, использование вместо линейной аппроксимации перемещений в элементе (1.137) функции перемещений в виде полинома вто­ рого порядка. Такие элементы называются элемен­ тами второго порядка и имеют дополнительные узлы в серединах сторон. Их использование при­ водит к более сложным соотношениям, но позво­ ляет при том же количестве элементов существен­ но повысить точность результатов.

Соотношения между напряжениями и деформа­ циями, записанные в (1.141) в виде обобщенного закона Гука, также могут быть более сложными и учитывать анизотропию свойств материала, пла­ стические деформации, ползучесть.

При моделировании трехмерного напряженнодеформированного состояния деталей авиационных двигателей используют объемные конечные элемен­ ты первого и второго порядка в виде 6-гранника (гексаэдра). Элемент первого порядка определен восьмью узлами и имеет по три степени свободы в каждом узле, которые представляют собой посту­ пательные перемещения в направлениях координат­ ных осей х, у, и z. Для такого элемента возможно задание пластических свойств и ползучести. Эле­ мент второго порядка также имеет форму шести­ гранника, но отличается большим количеством уз­ лов - 20. В пакете ANSYS (см.ниже) наиболее широко использующийся элемент первого порядка имеет название SOLID45, второго порядка - SOLID95.

Построение конечноэлементной модели - один из наиболее ответственных этапов проведения рас­

четов методом конечных элементов, определяю­ щий, наряду с принятыми граничными условиями, достоверность получаемых результатов.

Конечно-элементная модель характеризуется типом применяемых конечных элементов и густо­ той разбивки (размером элементов) в конкретных зонах. В одной модели могут быть применены раз­ ные типы элементов, выбор которых зависит от целей расчетного исследования, сложности геомет­ рической модели, возможностей вычислительной техники и опыта исполнителя.

Густота разбивки конечноэлементной модели определяется одним общим правилом: в зонах ожидаемой концентрации напряжений сетка эле­ ментов должна сгущаться. Рекомендуемый харак­ терный размер элемента в зоне концентрации дол­ жен быть примерно на порядок меньше типичного размера самого концентратора. Например, для описания конечноэлементной моделью галтели радиусом 2 мм необходимо применять элементы со стороной около 0,2 мм. Отметим, что приме­ нение конечных элементов второго порядка по­ зволяет получить приемлемую точность резуль­ татов относительно меньш им количеством элементов. При построении сеток следует избе­ гать использования элементов с большим отно­ шением размеров.

При моделировании тонкостенных деталей сле­ дует иметь в виду, что при их изгибе градиент на­ пряжений по толщине может быть большим (рас­ тяжение на одной поверхности и сжатие на дру­ гой), следовательно, конечно-элементная сетка должна иметь несколько слоев элементов по тол­ щине. В ряде случаев для таких конструкций ре­ комендуется использование специальных элемен­ тов в форме четырехугольного элемента криволи­ нейной оболочки. В таких элементах используется специальная аппроксимация перемещений по тол­ щине, позволяющая описывать деформацию изги­ ба в одном слое элементов.

Широкое применение метода конечных элемен­ тов в инженерных расчетах началось с появлени­ ем достаточно мощной вычислительной техники в начале 70-х годов. Уже тогда удавалось успешно моделировать напряженно-деформированное со­ стояние и колебания ответственных деталей авиа­ ционных двигателей. К тому же времени относит­ ся развитие коммерческих программных продук­ тов, проводящих вычисления на основе метода конечных элементов.

В настоящее время существуют мощные про­ граммные комплексы, позволяющие решать не только задачи динамики и прочности конструкций, но и задачи гидродинамики, акустики, электромаг­ нетизма, оптимизации и др. Наиболее известными являются: ANSYS (фирма-разработчик EDS, USA),

Рис. 1.53. Модель материала

Распределение этого напряжения по линии DD] показано на рис. 1.54 (кривая 1). Максимальное напряжение растяжения возникает в заделке и на линии ВХСХ оно равно 750 МПа.

Анализ трехмерных полей напряжений и дефор­ маций в стержне проводили с помощью метода конечных элементов. Конечно-элементная модель состояла из 9000 объемных двадцатиузловых эле­ ментов первого порядка и имела около 500 000 сте­ пеней свободы. Результаты расчета в виде полей компоненты напряжения ох и деформации гх при­ ведены на рис. 1.55.

На первом этапе анализ проводился без учета пластических деформаций, в упругой постановке. Расчеты показали, что напряженное состояние су­ щественно отличается от полученного выше по стер­ жневой модели лишь вблизи заделки и галтели (см. рис. 1.55, а и рис. 1.54, линия 2). Так, в частности, в галтели имеет место концентрация напряжений

стеоретическим коэффициентом концентрации 1,47,

ав заделке - с коэффициентом 1,59.

Взаделке наиболее напряженными оказывают­ ся угловые точки на верхней поверхности, в этих точках напряженное состояние не одноосное, это всестороннее растяжение. С измельчением сетки конечных элементов напряжения в концентраторах заделке возрастают. Так проявляется погрешность приближенного расчета методом конечных элемен­ тов, которая снижается с уменьшением размера элементов в зоне больших градиентов напряжений. Достаточно мелкой считают сетку, при которой на­ пряжения перестают зависеть от размера элемен­ тов. Иной оказывается ситуация в заделке. Неодно­ кратное измельчение сетки в этой области не

Рис. 1.54. Напряжения в стержне:

1 - стержнвая модель; 2 - трехмерная модель, уп­

ругий материал; 3 - трехмерная модель, упруго­

пластичный материал

приводит к стабилизации напряжений. Это связано с особенностью напряженного состояния, которая состоит в том, что теоретически напряжения в жес­ ткой заделке асимптотически стремятся к бесконеч­ ности при любой отличной от нуля нагрузке. С точ­ ки зрения практической прочности такой результат бесполезен, поскольку применение обычных крите­ риев прочности невозможно.

Напряжения существенно превосходят предел текучести материала (см. рис. 1.53), поэтому был проведен расчет с учетом пластических деформа­ ций. Он показал следующее. Поле напряжений (см. рис. 1.55, 6) отличается от упругого решения в ло­ кальной области вблизи концентраторов: галтели и заделки. Непосредственно вблизи концентраторов появились пластические зоны. За пределами плас­ тической зоны напряжения несколько выше, чем в упругом решении, это эффект перераспределения напряжений. В зонах концентрации напряжения оказались ниже, чем в расчете по стержневой мо­ дели, поэтому использовать коэффициент концент­ рации напряжений в качестве характеристики ло­ кального напряженного состояния нельзя.

Деформация в зонах концентрации напряжений стала существенно выше, чем в упругом решении.

11.В чем различие между простым и сложным на­ гружением?

12.Как проявляется эффект Баушингера? В чем

состоит принцип Мазинга?

13.Какое представление о поведении материала называется гипотезой единой кривой?

14.Какие схематизации применяют для описания диаграммы упруго-пластического деформирования металлов? Как в них учитывается влияние темпе­ ратуры материала?

15.Поясните метод переменных параметров упру­

гости.

16.Какие напряжения и деформации называются остаточными? Как они образуются?

17.Что понимается под приспособляемостью кон­ струкций и за счет чего она обеспечивается?

18.Поясните явление ползучести. Изобразите кри­ вую ползучести.

19.Приведите примеры релаксации напряжений в конструкциях. Поясните, за счет чего она проис­ ходит.

20.В чем различие между пределом длительной прочности и пределом ползучести?

21.Как соотносятся запас прочности по напряже­ ниям и по долговечности в условиях ползучести?

22.В чем состоит принципиальное различие меж­ ду малоцикловой и многоцикловой усталостью?

23.Что такое физический предел выносливости? Какие материалы имеют физический предел вынос­ ливости?

24.Что такое эффективный коэффициент концен­ трации напряжений при циклическом нагружении?

25.Как проявляется масштабный фактор при ус­ талостном разрушении?

26.Как влияет асимметрия цикла нагружения на предел выносливости? Что такое коэффициент асимметрии цикла?

27.Поясните статистический смысл коэффициен­ та запаса прочности.

28.Какие факторы определяют циклическую дол­ говечность деталей при малоцикловой усталости?

29.В чем состоит различие между малоцикловой усталостью и термоусталостью?

30.Поясните, как вводится количественная мера поврежденности материала при циклическом на­ гружении?

31.В чем состоит гипотеза линейного суммирова­ ния повреждений?

32.Поясните различие между коэффициентом интенсивности напряжений и коэффициентом кон­ центрации напряжений. Почему коэффициент кон­ центрации напряжений не позволяет характеризо­ вать напряженное состояние в теле с трещиной?

33.От каких факторов зависит скорость развития трещин при циклическом нагружении?

34.Что такое пороговый коэффициент интенсив­ ности напряжений?

35.Из каких соображений выбирается периодич­ ность осмотров при эксплуатационной диагностике трещин?

36.Какие силы действуют в колебательной систе­ ме, состоящей из груза, закрепленного на упругом стержне при свободных колебаниях?

37.От каких факторов зависит собственная часто­ та колебаний груза, закрепленного на стержне?

38.Поясните явление резонанса в колебательной системе с одной степенью свободы при вынужден­ ных колебаниях под действием гармонически из­ меняющейся силы при отсутствии демпфирова­ ния? Как развиваются во времени колебания на резонансном режиме?

39.Какие колебания называют «биениями»? При каких условиях они возникают?

40.Что такое логарифмический декремент коле­ баний?

41.Как проявляется демпфирование при свобод­ ных колебаниях?

42.Как проявляется демпфирование при вынуж­ денных колебаниях?

43.Что такое коэффициент динамичности? От ка­ ких факторов и как он зависит?

44.Поясните смысл представления произвольной периодической внешней силы в виде ряда Фурье.

45.Сколько резонансных режимов имеет колеба­ тельная система с одной степенью свободы при действии произвольной периодической внешней силы?

46.Что такое спектр колебаний?

47.Как выглядят собственные формы двухопорно­ го стержня с двумя сосредоточенными массами?

48.Запишите и поясните условия резонанса для многомассовой колебательной системы.

49.Что такое собственная форма колебаний систе­ мы с распределенной массой?

50.Сколько собственных частот и форм колебаний имеет система с распределенной массой?

51.В какой ситуации сосредоточенная сила, гар­ монически изменяющаяся во времени, при совпа­ дении ее частоты с одной из собственных частот системы не вызывает резонансных колебаний?

52.В чем состоит различие подхода и результатов при использовании для модального анализа стер­ жневых и трехмерных моделей?

53.В чем состоит идея метода конечных элемен­ тов?

54.В каких случаях метод конечных элементов принципиально не позволяет исследовать концен­ трацию напряжений в упругой постановке?

ны осям * и у. Центр тяжести сечения 0 ] может быть расположен на некотором удалении от оси г. Это делается специально для уменьшения изгибных напряжений в рабочих лопатках; расстояние от проекции Охна корневое сечение до центра тя­ жести корневого сечения О называется выносом центра тяжести сечения.

Следует отметить, что газодинамические силы распределены по поверхности пера неравномерно как по профилю лопатки, так и по высоте.

Центробежные силы приводят к появлению в ло­ патке напряжений и деформаций растяжения. Кро­ ме того, они могут приводить к изгибу и кручению пера. Газодинамические силы приводят к появлению в профильной части деформаций и напряжений из­ гиба и кручения.

Динамическими называют нагрузки, которые как на переходных, так и на стационарных режи­ мах работы двигателя быстро изменяются во вре­ мени. Частота этих изменений составляет сотни

и тысячи раз в секунду. При этом в детали возни­ кают силы инерции, соизмеримые с действующи­ ми нагрузками. Динамические нагрузки имеют обычно газодинамическое происхождение и возни­ кают вследствие взаимодействия газовых потоков

вдвигателе с его конструктивными элементами. Динамические нагрузки приводят к появлению вы­ нужденных колебаний лопаток и возникновению

вних переменных напряжений изгиба и кручения. Динамические напряжения зачастую являются ос­ новным фактором, определяющим работоспособ­ ность лопаток.

Статические и динамические нагрузки, длитель­ но воздействуя на лопатку, вызывают накопление

вней микроскопических повреждений, развитие и объединение которых приводит к появлению тре­ щин и разрушению. Физические механизмы накоп­ ления повреждений в настоящее время исследова­ ны недостаточно, однако существуют многочислен­ ные эмпирические модели, пригодные для оценки работоспособности и долговечности лопаток. Имея

ввиду различные механизмы накопления повреж­ дений, принято различать статическое разрушение, малоцикловую и многоцикловую усталость. Каждое из этих названий - условное, за каждым стоит не один, а целая группа разнообразных механизмов на­ копления повреждений, происходящих по-разному

вразных материалах, при разных температурах.

При воздействии на лопатки статических нагру­ зок процесс накопления повреждений имеет двой­ ственную природу. С одной стороны, на каждом из стационарных режимов эти нагрузки принима­ ют некоторое постоянное значение и действуют на лопатку в течение длительного времени, которое представляет собой суммарную наработку (часовую длительность работы) двигателя на рассматривае­ мом режиме за полный ресурс. Такое воздействие приводит к так называемой статической поврежда­ емости. С другой стороны, реализация статических и динамических нагрузок в двигателе имеет место в эксплуатационных (полетных) циклах. Они пред­ ставляют собой последовательность режимов: за­ пуск и прогрев двигателя, выход на «взлет», «но­ минал», «крейсерский», «останов» и т.д.

Таким образом, наряду со статическим нагру­ жением имеет место циклическое нагружение ло­ паток и накопление в них повреждений по меха­ низмам малоцикловой усталости (циклическая повреждаемость). Кроме того, при воздействии ди­ намических нагрузок накопление повреждений происходит по механизмам многоцикловой уста­ лости. В связи с этим, при разработке лопаток не­ обходимо проводить расчеты и эксперименты по проверке не только статической прочности, но и циклической долговечности по критериям мало­ цикловой и многоцикловой усталости.