Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

16.72 Mб

Скачать

☆

1 / 491 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

СПРАВОЧНАЯ

СД P МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА

H. Н. БАУТИН, Е, А. ЛЕОНТОВИЧ

МЕТОДЫ И ПРИЕМЫ

КАЧЕСТВЕННОГО

ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ПЛОСКОСТИ

ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ДОПОЛНЕННОЕ

МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1990

ББК 22.193 Б29

УДК 519.6

Б а у т и н Н. Н., Л е о н т о в п ч Е. А.		Методы п приемы качественно»
го исследования динамических	систем на	плоскости.— 2-е изд., доя.— M.J
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,	1990.— 488 с.— ISBN 5-02-014321-9.

Содержит справочный материал по теории динамических систем и ка чественное исследование большого количества динамических систем из приложений.

Цель книги — показать эффективность методов и приемов качественно го исследования динамических систем и одновременно естественность ис пользования этой теории при рассмотрении математических моделей ре альных систем.

1-е изд.— 1976 г.

Для математиков, инженеров, студентов и аспирантов. Йл. 262. Библиогр. 231 назв.

ISBN 5-02-014321-9

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму и з д а н и ю .............................................................	8
Предисловие к первому и з д а н и ю .................................................................	9
Ч а с т ь	I

АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА

САНАЛИТИЧЕСКИМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ

Гл а в а 1. Общие сведения о динамической системе на плоскости. Ос

новные т е о р е м ы ................................................................................				11
§	1.	Автономная динамическая	система па плоскости .	11
§	2.	Теорема существования и	единственности решения . .	12
§	3.	Простейшие свойства решений системы (А) . . . .		13

§4. Геометрическая интерпретация системы (А) на фазовой


§		плоскости (х,		у	) ..................................................................................	интерпретации системы				(А)	15
	5. Сопоставление			геометрической
		в пространстве (х, у, t) с интерпретацией на фазовой плос									17
§	6,	кости ...............................
		Некоторые термины................................................................................									18
§	7. Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных										19
§	8.	у с л о в и й ....................................................................................................		на	траекториях.	Изменение параметризации
		Направление									19
§	9. Дифференциальное уравнение,					соответствующее		динамиче			22
		ской с и с т е м е		...........................................................................................					анали
§ 10. Понятие интегральной кривой и интеграла в случае											23
§ 11.		тических правых частей Р(х, у) и Q(x, у) системы (А)								.
		Что значит «найти решение динамической системы»?								. .	25
§ 12.		П р и м е р ы ................................................................................................									26
§ 13.		Замечания по поводу примеров §1 2 ................................................									35
§	14. Математическое определение качественной (топологической)
		структуры разбиения на траектории и качественного иссле									37
		дования динамической с и с т е м ы .......................................................
Г л а в а 2. Возможный характер отдельной траектории. Теория Пуан											40
каре — Бендиксона. Особые т р а е к т о р и и .....................................................
Введение			без............................................................................................................к о н т а к т а							40	40
§	1. Дуга
§	2.Цикл		без к о н т а к т а ......................................................................							42
§	3. Предельная точка полутраектории и траектории. Предельная										43
§		траектория ..............................................................................................								46
	4.Основная т е о р е м а .......................................................................						их предельных
§ 5. Возможные типы					полутраекторий и				мно		48
§		жеств ..............................................					и траектории	. .		.
	6.Особые и неособыеполутраектории										50
§	7.Возможные типы				особых, инеособых		траекторий	. .		.	52

ОГЛАВЛЕНИЕ

8. Случай конечного

числа

особых траекторий. Элементарные

я ч е й к и ...........................................................................................

типы

ячеек.

Односвязные

9. Возможные

двусвязные

я ч е й к и .........................................................................................

. .

§ 10. Два подхода к описанию качественной структуры

§11. Качественная

(топологическая) структура

состояния равно

весия в случае конечного числа особых траекторий. Схема

динамической с и с т е м ы ...............................................................

12. Устойчивость

по

Л я п у н о в у

....................................................

Г л а в а

3. Исследование качественной

структуры

окрестности

со

стояния равновесия (особой т о ч к и ) .................................................

В в е д е н и е .................................................................................................

равновесия

(особые

точки) . . .

Простые состояния

Приведение динамической системы к каноническому

виду

§ 3.

Возможный характер простых состояний равновесия. Грубые

состояния равновесия................................................................................

§ 4. Замечания о методах установления характера грубых состоя

ний р а в н о в е с и я ..............................................

Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристически

ми к о р н я м и

..............................................................................................

Направления, в которых траектории стремятся к простым со

стояниям р а в н о в е с и я ...........................................................................

Угловой коэффициент направления, в котором траектория

может стремиться

простому

состоянию равновесия .

Сводка сведений о грубых состояниях равновесия

. .

Г л а в а

4. Качественная структура окрестностей некоторых сложных

состояний р а в н о в е с и я ...........................................................................

Направления, в которых траектории стремятся к сложному

состоянию р а в н о в е с и я ..........................................................................

Сложное состояние равновесия (особая точка) с нулевыми

характеристическими к о р н я м и ............................................................

П р и м е р ы ...................................................................................................

§ 4.

Нормальные ф о р м ы ...............................................................................

Г л а в а

5. Функция последования. Простые и

сложные

предельные

ц и к л ы .......................................................................................................

Функция п о сл ед о ван и я ........................................................................

Условия устойчивости и неустойчивости неподвижной точки

точечного о то б р аж ен и я .........................................................................

Функция со о т в ет ст в и я .........................................................................

§ 4.

Изучение окрестности замкнутой траектории. Простые

сложные предельные ц и к л ы

..............................................................

Аналитические выражения для коэффициентов функции по

следования. Характеристический показатель замкнутой тра

103

ектории ....................................................................................................

Г л а в а

6. Некоторые приемы качественного исследования

106

Некоторые признаки существования и отсутствия предельных

106

ц и к л о в ......................................................................................................

интегральных кривых

в бесконечности.

2. Изучение поведения

107

Сфера П у а н к а р е

....................................................................................

§ 3. Примеры исследования в бесконечности .......................................

109

§ 4.

Критерии Бендиксона и Дюлака отсутствия предельных цик

113

лов ............................................................................................................

система

Пуанкаре.

Функция

Ляпунова.

5. Топографическая

118

Кривые контактов

.....................................................................................

ОГЛАВЛЕНИЕ

Ч а с т ь II

			ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ
Г л а в а		7. Двумерные	консервативные		системы.		Неконсервативные		128
динамические системы теории колебаний. Общие теоремы								.
В в е д е н и е ..........................................................................................................						плоскости . . .		.	128
§	1. Свойства консервативных систем на								128
§	2. Динамические		системы,	характерные		для	теории колебаний		13Э
§ 3. Измененные системы. Системы,					правые части которых зави				131
		сят от параметра ....................................................................................
§ 4. Основные теоремы о зависимости решения от изменения пра									133
		вых частей динамической с и с т е м ы				..................................................
§ 5. Грубость динамической				системы и теорема о непрерывной					136
		зависимости решения от изменения правых частей . .						.
Г л а в а 8. Грубые динамические				с и с т е м ы		..................................................			138
§		1. Определение грубой динамической с и с т е м ы ..................						138
§		2. Состояния равновесия,		возможные		в грубой динамической
§		с и с т е м е .......................................................................................						141
		3. Состояния равновесия с чисто мнимыми характеристически
§		ми к о р н я м и ...............................................................................				в грубой системе .		142	143
		4. Замкнутые	траектории, возможные					.
§		5. Поведение сепаратрис		седел	в грубых		системах . .	.	145

§6. Необходимые условия грубости. Достаточность этих условий

для грубости системы.................................................................

145

§7. Пространство динамических систем. Всюдуплотность..гру

бых (двумерных) динамических с и с т е м

147

§8. Понятие грубости при более общих предположениях отно

§	сительно правых частей динамической системы . . .				.	148
§	9. Типы особых траекторий и ячеек в грубых системах .				.	151
§	10. Замечания по поводу определения грубой системы . .				*	153
Г л а в а	9. Простейшие негрубые динамические		системы — системы
первой степени н е г р у б о с т и ...............................................................					155
§ 1. Общие з а м е ч а н и я .......................................................................					155
§ 2.	Системы первой степени н е г р у б о с т и .....................................				155
§ 3.	Состояния равновесия, возможные в системе первой степени
	н е г р у б о с т и .....................................................................................				157
§ 4. Замкнутые траектории,		возможные в системе первой степе
§ 5.	ни н е г р у б о с т и ..............................................................................				158
§ 5.	Условия на сепаратрисы седел и седло-узлов в системе пер
§ 6.	вой степени н егр у б о с ти ..............................................................				158
§ 6.	Необходимые и достаточные условия первой степени негру					159
§ 7.	бости .........................................................................................................	более высокой	степени	негрубости		159
§ 7.	Динамические системы	более высокой	степени	негрубости		160
Г л а в а	10. Бифуркации при изменении правых частей динамической
с и с т е м ы ..................................................................................................					163
§ 1.	Определение б и ф у р к а ц и и .........................................................				163	164
§ 2.	Бифуркации систем первой степени негрубости. . . .				.	164
§ 3.	Бифуркации некоторых	типов сложных	особых	точек .	.	171
§ 4.	Бифуркации двукратной	точки, для которойД =		0 и а =	0	174
§ 5.	Рождение предельных циклов из особых траекторий степе
	ни негрубости выше п е р в о й ...................................................				178
Г л а в а	11. Динамические системы, правые части которых содержат
п а р а м е т р ы ...............................................................................................					180
§ 1.	Возможный характер зависимости правых частей динамиче					180
	ской системы от п а р а м е т р о в ............................		'		.	180

ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 2. Смена качественных структур при изменении параметров

184

§ 3. Случай,

когда правые части зависят

более чем от одного па

190

раметра

....................................................................................................

§ 4. Бифуркации «от бесконечности».....................................................

сложного фокуса

пер

194

§ 5. Условия

существования седло-узла

196

вого п о р я д к а ....................................................................................

п о л я

6. Поворот

векторного

200

7. Метод малого параметра. Метод П о н т р я г и н а

................................

203

Г л а в а

12. Динамические системы с цилиндрической фазовой

по

208

верхностью

.......................................................................................................

1. Цилиндрическая фазовая поверхность и характер траекторий,

208

возможных на цилиндрической фазовойповерхности .

2. Замкнутые траектории, охватывающие цилиндр . . .

209

§ 3. Приемы исследования качественной структуры динамической

212

системы

на

ц и л и н д р е .........................................................................

негрубости для

динамических

§ 4. Понятие

грубости и

степени

212

систем на цилиндре. Бифуркации на цилиндре. Поворот поля

§ 5. Динамические

системы на цилиндре,

близкие

к гамильтоно

215

вым (метод

П о н т р я г и н а )...................................................................

Г л а в а

13. Адекватное истолкование нелинейных физических явле

ний фактами качественной теории и теории бифуркаций динами

217

ческих с и с т е м

.................................................................................................

В в е д е н и е ..........................................................................................................

жесткий

р е ж и м ы

217

1. Мягкий

219

§ 2. Замечания

о границах области устойчивости различных ста

220

ционарных

р е ж и м о в ...........................................................................

3. Мягкое и жесткое возникновение к о л е б а н и й ................................

устойчивости

222

4. «Безопасные»

и «опасные» границы

области

225

состояний

р а в н о в е с и я .........................................................................

границ

области

устойчивости

5. Замечания

по

поводу других

234

Ч а с т ь

III

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОНКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ

СИСТЕМ С АНАЛИТИЧЕСКИМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ

Г л а в а

14. Общие замечания о приемах качественногоисследования

237

В в е д е н и е ................................................................................................

237

1. Некоторые рецептурные у к а з а н и я ..........................................

241

§ 2. Некоторые простые примеры качественного исследования ди

намических

систем на п л о с к о с т и ...........................................

систем

на

243

§ 3. Некоторые

простые

примеры

динамических

ци

252

линдре

.....................................................................................................

Г л а в а

15. Исследование методом малого параметра

(методом Понт

258

рягина) ............................................................................................................

Общие з а м е ч а н и я .......................................................................

258

Примеры рассмотрения методом Понтрягина(полное

иссле

260

§ 3.

дование)

Исследование методом Понтрягина с привлечениемвычисли

тельных м е т о д о в

272

Г л а в а

16. Качественное исследование динамических систем с

ис

285

пользованием приемов, опирающихся на

теориюбифуркаций

Квадратичное дифференциальное у р а в н е н и е ......................

285

Электрическая

цепь

с туннельным

д и о д о м ........................

лазера .

292

305

§ 3.

Двумерная

модель

динамики

твердотельного

	ОГЛАВЛЕНИЕ			7
§ 4. Симметричный полет самолета в			вертикальной плоскости	313
	(задача Н. Е. Ж у к о в ск о го ).................................................................		проточного химического
§ 5. Система, описывающая динамику				324
§	р е а к т о р а ..................................................................................................
	6. Фазовая автоподстройка ч а с т о т ы ...................................................			334
§ 7. Частотно-фазовая автоподстройка			частоты (случай сущест	340
§	вования трех предельных ц и к л о в ) ....................................................
	8. Синхронный генератор с	асинхронной характеристикой .		345
	Ч а с т ь	IV
	КУСОЧНО-СШИТЫЕ СИСТЕМЫ
Г л а в а 17. Общие сведения о кусочно-сшитых системах . .				357
В в е д е н и е ..........................................................................................................				357
§	1. Сшитые системы. Доопределение на линиях сшивания . .			359
§	2. Возможные типы полутраекторий		сшитых систем . . .	361
§	3. Особыетраекториисшитых с и с т е м ....................................................			363

§ 4. Бифуркации в сшитых системах. Метод Понтрягина для сши
	тых систем ............................				. .	........................................367
Г л а в а	18. Исследование кусочно-сшитых систем методом Понтря							382
гина ...................................................................................................................
§ 1. Уравнение изтеорииэлектрических м а ш и н .....................................								382
§ 2. Автоподстройка при кусочно-постоянной аппроксимации ха								388
§ 3.	рактеристики ................................................................................		синхронного м о т о р а
	Автоколебания					..................................		392
Г л а в а	19. Качественное исследование сшитых систем методами тео							399
рии б и ф у р к а ц и й ................................................................................
§	1. Кусочно-линейная			система с тремя		параметрами . . .		399
§ 2.	Следящая система			с л ю ф т о м ...........................................................				404
§ 3.	Электрическая		цепь с туннельным д и о д о м .................................					408
§ 4.	Система со скачками на линии с ш и в а н и я .......................................							418
Г л а в а	20. Об аппроксимациях и грубости пространства параметров							431
Введение		. .						431
§ 1.	Рассмотрение системы (2) при аппроксимациях пилообраз							433
	ными	ф у н к ц и я м и ................................................................................			(2) при аппроксимации, включающей
§ 2. Рассмотрение системы								437
§ 3.	отрезок п а р а б о л ы ................................................................................
	Рассмотрение системы (2) при аппроксимациях кусочно-по							439
§ 4.	стоянной для sin ф и пилообразной для cos ф функциями. .
	Исследование роли аппроксимаций для уравнения маятни-							444
	кова т и п а .................................................................................................		система,		описывающая	автоколебания	синх
§ 5. Динамическая								449
§ 6.	ронного м о т о р а .....................................................................................				описывающая	симметричный	полет
	Динамическая		система,					458
	с а м о л е т а ..................................................................................................
Д о п о л н е н и е ....................................................................................................								463
§ 1. Динамические			системы		на двумерных	поверхностях . . .		463
§ 2.	Динамические системы в л-мерном евклидовом пространстве							467
Список	л и т е р а т у р ы .............................................................................................							476
Список дополнительной л и т е р а т у р ы ................................................................								483

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Второе издание с незначительными изменениями воспроизво дит текст первого издания. Несколько расширена информация, касающаяся теоретической части книги — понятий, получивших широкое распространение в математической литературе (устой чивость по Ляпунову, коразмерность, нормальные формы). Су щественно изменен раздел, посвященный предельным циклам квадратичного дифференциального уравнения. Обсуждается чис ло и • расположение предельных циклов. Выделены некоторые области существования квадратичных дифференциальных урав нений с двумя, тремя и четырьмя предельными циклами.

В Дополнении обсуждается роль и значение понятий, введен ных для динамических систем на плоскости, при переходе к рас смотрению динамических систем более высокого порядка или ди намических систем на поверхностях, к рассмотрению которых естественно сводятся уравнения первого порядка, не разрешен ные относительно производной. Авторы выражают благодарность Д. В. Аносову за многочисленные полезные замечания, использо ванные при подготовке второго издания.

Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Настоящая книга имеет своей целью: во-первых, ознакомить читателя с основными фактами качественной теории динамиче ских систем на плоскости, причем главным образом с теорией бифуркаций таких систем, во-вторых, указать роль теории би фуркаций при объяснении целого ряда нелинейных эффектов в реальных системах, и, в-третьих, продемонстрировать на ряде динамических систем из приложений роль теории бифуркаций прп качественном исследовании конкретных систем.

Теория бифуркаций динамических систем на плоскости, соз данная А. А. Андроновым (при сотрудничестве с его ученика ми) ,— естественная и прозрачная по своей идейной стороне — представляется имеющей большое математическое значение и большое значение для приложений. Между тем теория бифурка ций динамических систем мало известна как математикам, так и лицам, занимающимся прикладными вопросами, хотя качествен ная теория завоевывает все новые области естествознания.

Настоящая книга в своей теоретической части (гл. 1—13, 17, 18) носит справочный, информационный характер, все приве денные в ней предложения и факты даны без доказательств (авторы старались проиллюстрировать их рисунками). Все основ ные доказательства читатель может найти в «Теории колебаний» А. А. Андронова, А. А. Витта, С. Э. Хайкина [3], «Качествен ной теории динамических систем второго порядка» А. А. Андро нова, Е. А. Леонтович, И. И. Гордона, А. Г. Майера [12], и в «Теории бифуркаций динамических систем на плоскости» А. А. Андронова, Е. А. Леонтович, И. И. Гордона, А. Г. Майера [13].

В то же время качественное исследование приведенных в книге конкретных динамических систем дано в основном в по дробном изложении.

Необходимо сказать, что при переходе к динамическим систе мам в пространстве трех и большего числа измерений (и даже к динамическим системам на двумерных поверхностях, отличных от сферы) теория бифуркаций динамических систем чрезвычайно усложняется. Даже содержание понятия грубой системы делает ся значительно более сложным (см. [111]). Однако и в этом случае теория бифуркаций динамических систем.на плоскости все же остается некоторой основой, и для некоторых классов много-

10	ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
мерных	динамических систем теория бифуркаций во	многом
аналогична с теорией бифуркаций на плоскости.		в мате
В заключение — о терминологии. В настоящее время

матической литературе становится также употребительной терми нология, отличная от той классической, которая используется в настоящей книге. Так, например, вместо терминов «система диф ференциальных уравнений» или «динамическая система» для многомерных динамических систем или систем на многообразиях часто используется термин «поток» (см., например, [111]). Од нако, во-первых, в настоящей книге рассматриваются лишь систе мы на плоскости и, во-вторых, материал этой книги тесно связан с литературой прикладного направления (например, [3]), ис пользующей классическую терминологию. Поэтому авторы не ис пользуют также термины «диффеоморфизм», «сечение» и др., ставшие распространенными в современной математической литературе.

Авторы

1 / 491 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги