книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

окрестность полутраектории. Эта окрестность, как легко видеть, непременно содержит е-окрестность предельного множества этой

траектории Ь+. Справедлива следующая

Т е о р е м а 8. Если у траектории L хотя бы одна положитель­ ная полутраектория орбитно-устойчива, то всякая другая положи­ тельная полутраектория, выделенная из этой траектории, также будет орбитно-устойчивой.

Траектория L называется тогда св-орбитно-устойчивой или

орбитно-устойчивой при t -*■ + ° ° .

Полутраектории пли траектории, не являющиеся орбитно-

что при любом сколь угодно малом б > 0 найдется траектория L', проходящая при t = to через точку б-окрестности точки М и за­ ведомо выходящая при некотором t = Т из ео-окрестности полу­ траектории L 9).

Все сказанное относительно положительной полутраектории с очевидными изменениями может быть повторено и относитель­ но отрицательной полутраектории. Таким образом, мы будем так­

сто орбитно-устойчивой или неособой. Всякая траектория, не яв­ ляющаяся орбитно-устойчивой, называется орбитно-неустойчивой или особой. Кроме того, особой траекторией будем считать и вся­ кое состояние равновесия10).

9) Отметим, что наличие орбитно-неустойчивых траекторий ни в какой мере не противоречит теореме о непрерывной зависимости от начальных значений, так как в этой теореме рассматривается лить конечный проме­ жуток значений f, а в понятиях орбитно-устойчивости и неустойчивости фи­

гурируют все значения / от /0 до + оо.

*“) Отметим, что орбитная устойчивость отличается от устойчивости по Ляпунову (см. [92, 99, 135]). Именно, траектория орбитно-устойчивая мо­ жет не быть устойчивой по Ляпунову. В приводимой дальше теории осо­ бых и неособых траекторий имеет значение лишь орбитная устойчивость.

52 ВОЗМОЖНЫЙ ХАРАКТЕР ОТДЕЛЬНОЙ ТРАЕКТОРИИ [ГЛ. 2

Таким образом, особая траектория, не являющаяся состояни­ ем равновесия, непременно орбитно-неустойчива хотя бы «в одну сторону», т. е. она может быть орбитно-неустойчивой при t ->■ +«>,

Свойство орбитной устойчивости и неустойчивости полутраектории и траектории характеризует поведение этой полутраектории или траектории не самой по себе, а по отношению к близким полутраекториям и траекториям.

П р и м е р . Геометрически очевидно, что всякая полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия типа узла или фо­ куса, орбитно-устойчива. Орбитно-устойчивыми будут и все полутраектории, стремящиеся к предельным циклам. Орбитно­ устойчивыми, т. е. неособыми, траекториями очевидно будут траектории, стремящиеся при t ->- + «> и t -*■ — °° к узлам или фокусам или при t ->- + <» (t — °°) стремящиеся к узлу, а при t~* — °° (f -»- + °°)— к предельному циклу, а также траектории,

всебя, при котором траектории этих систем отображаются друг

вдруга, то орбитно-устойчивые полутраектории отображаются в

теоремы 5), т. е. траектория L либо при возрастании t, либо при убывании t выходит из некоторой ео-окрестности LQ.

и) Очевидно, состояние равновесия может быть орбитно-устойчивым (именно таким является состояние равновесия, в любой сколь угодно ма­ лой окрестности которого есть замкнутая траектория, содержащая его внутри).

чивых) траекторий. Граница каждой такой частичной области состоит из точек особых траекторий и точек, граничных для об­ ласти G. Мы ограничимся здесь рассмотрением таких областей, в границу которых не входят граничные точки G. Такие области будем называть элементарными ячейками (или просто ячейками). Очевидно, ячейки состоят из целых орбитно-устойчивых (т. е. не­ особых) траекторий. Нетрудно видеть на основании теоремы о непрерывной зависимости от начальных значений, что г р а н и ц а в с я к о й я ч е й к и с о с т о и т из ц е л ы х о с о б ы х т р а е к ­ торий . Точки одной и той же особой траектории могут быть граничными для нескольких ячеек. На основании того, что число особых траекторий конечно, нетрудно показать, что число ячеек в области G конечно.

Более детальное изучение поведения неособых траекторий одной и той же ячейки опирается на следующие вспомогательные предложения, вытекающие из определения орбитной устойчиво­ сти и предложения о конечном числе особых траекторий.

I. Вокруг каждой точки орбитно-устойчивой полутраекторий Ь+, стремящейся к состоянию равновесия О, всегда можно ука­ зать такую окрестность, чтобы все проходящие через точки этой окрестности траектории были орбитно-устойчивыми при t -*■ + °°

истремились к тому же состоянию равновесия О, что и L+.

И.Вокруг каждой точки полутраекторий L+, имеющей от­

личную от состояния равновесия предельную траекторию, все­ гда можно указать такую окрестность, что все проходящие через точки этой окрестности траектории орбитно-устойчивы при t + оо и при t -»■ + °° имеют то же предельное множество, что

иL+.

III. Вокруг каждой точки замкнутой орбитно-устойчивой траектории существует такая окрестность, что все проходящие через точки этой окрестности траектории замкнуты и одна ле­ жит внутри другой.

13) Это всегда имеет место в случае, когда правые части системы —■

функции, аналитические в замкнутой области G, а также в рассмотренном дальше случае «грубых систем» и систем любой конечной степени «негрубости». Конечность числа сепаратрис вытекает из результатов Бендиксона [48]. Утверждение о конечности числа предельных циклов восходит к ра­ ботам Дюлака [146]. Позднее Ю. С. Ильяшенко обнаружил, что из рассмот­ рений Дюлака прямо не следует его утверждение о конечности числа пре­ дельных циклов. Р. Бамон (список дополнительной литературы [49]) до­ казал конечность числа предельных циклов для п = 2. На Ломоносовских чтениях 1986 года Ю. С. Ильяшенко анонсировал аналогичный результат для всех п.

8 9] ВОЗМОЖНЫЕ ТИПЫ ЯЧЕЕК 55

Опираясь на эти вспомогательные предложения, можно дока­ зать ряд теорем, полностью характеризующих поведение траекто­

а-пределъные множества.

Те о р е м а 14. Если внутри какой-нибудь ячейки существует

хоть одна замкнутая траектория, то все траектории этой ячейки замкнуты, одна лежит внутри другой и между любыми двумя траекториями этой ячейки не могут лежать точки, не принадле­ жащие этой ячейке.

Установленные в теоремах факты можно наглядно охаракте­ ризовать словами: внутри каждой ячейки неособые траектории ведут себя одинаковым образом.

Особые траектории являются либо предельными, либо разде­ ляющими.

§ 9. Возможные типы ячеек. Односвязные и двусвязные ячейки. Естественно возникает вопрос о возможных типах элемен­ тарных ячеек. Именно, так же, как о топологической структуре разбиения области G (или замкнутой области G) на траектории системы (А), можно говорить о топологической структуре ячеек

Рис. 28

(рассматриваемых без границы или с границей). Основной топо­ логической характеристикой всякой области является число связ­ ности 14).

14) Граница всякой ограниченной области может состоять либо из одно­ го связного куска — «граничного континуума», т. е. замкнутого связного множества, либо из двух, трех и т. д. граничных континуумов (либо из бес­ конечного числа граничных континуумов, но этот случай не представляет для нас интереса). Если граница области состоит из одного граничного кон­ тинуума, то область называется односвязной, если из двух, трех и т. д., то область соответственно называется двусвязной и т. д., один из граничных континуумов называется внешним граничным континуумом, остальные—■ внутренними.

Имеет место

Те о р е м а 15. Всякая ячейка не более чем двусвязна. Ячей­ ки, заполненные замкнутыми траекториями, всегда двусвязны.

Это непосредственно следует из теоремы 14 и того факта, что внутри замкнутой траектории всегда лежит состояние равнове­ сия. Ячейки, заполненные незамкнутыми траекториями, могут быть как односвязными, так и двусвязными.

Приведем (без доказательства) еще следующую теорему, ка­ сающуюся свойств границ двусвязной ячейки, заполненной не­ замкнутыми траекториями.

Те о р е м а 16. В случае, когда ячейка, заполненная незам­ кнутыми траекториями, двусвязна, один из ее граничных конти-

Жирными линиями на этих рисунках обозначены особые траек­ тории, входящие в границы ячеек (см. также рисунки грубых ячеек в гл. 8).

§ 10. Два подхода к описанию качественной структуры. Раз­ деление на ячейки определяется взаимным расположением осо­ бых траекторий динамической системы.

Если кроме разделения на ячейки известно поведение траек­ торий внутри каждой отдельной ячейки, то естественно считать,

|5) Отметим, что в примерах ячеек рис. 28 границы ячеек имеют до­ вольно сложный характер. Все точки граничных циклов в первой ячейке рис. 28 и «восьмерки» второй ячейки являются так называемыми недости­ жимыми точками границы (не существует простой дуги, концом которой являлась бы точка этой границы, а остальные точки принадлежали бы ячейке).

§ И] СТРУКТУРА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ 57

что этими сведениями топологическая структура разбиения на траектории определяется полностью (это может быть доказано).

Однако к вопросу определения топологической структуры разбиения на траектории можно подойти также с несколько дру­ гой точки зрения, непосредственно не привлекая с самого начала рассмотрения ячеек.

Именно, для установления топологической структуры раз­ биения на траектории в первую очередь естественно исследовать х а р а к т е р с о с т о я н и й р а в н о в е с и я (ниже это понятие уточняется), что даст, в частности, и сведения о числе сепарат­ рис и их расположении вокруг каждого отдельного состояния равновесия; затем установить число и взаимное расположение предельных континуумов, в частности предельных циклов, и, на­ конец, установить расположения сепаратрис, не являющихся пре­ дельными, т. е. для каждого состояния равновесия установить, к какому предельному множеству стремится сепаратриса этого состояния равновесия соответственно при t -*■+°° и —°°.

Указанный второй подход к определению топологической структуры разбиения на траектории (путем определения харак­ тера состояний равновесия, взаимного расположения предельных континуумов и хода сепаратрис) представляется наиболее есте­ ственным, так как он адекватен тому подходу, которым фактиче­ ски проводится качественное исследование в тех случаях, когда существующие методы позволяют это сделать (см. ч. III).

Одним из основных элементов схемы является указание ха­ рактера состояния равновесия. При этом исследование характера состояний равновесия является наиболее доступным из тех све­ дений, которые нужны для получения схемы. Кроме того, иссле­ дование характера состояния равновесия в ряде вопросов может иметь самостоятельный интерес. Мы остановимся поэтому не­ сколько подробнее на некоторых фактах, касающихся состояний равновесия.§

§ 11. Качественная (топологическая) структура состояния равновесия в случае конечного числа особых траекторий. Схема динамической системы. Внося точный смысл в интуитивно ясное понятие качественной . (топологической) структуры состояния равновесия, прежде всего нужно отчетливо сформулировать раз­ личие между с о б с т в е н н о й , или л о к а л ь н о й , окрест­ ностью состояния равновесия и областью, которая уже не явля­

окрестностью, в то время как на рис. 30, 6 соответствующая об­ ласть является собственной окрестностью состояния равновесия.

О п р е д е л е н и е . Мы скажем, что изолированное состояние равновесия О имеет определенный характер (или определенную

топологическую структуру), если существует такая окрестность и точки О, не содержащая других состояний равновесия систе­ мы (А), что, сколь малое е > О мы бы ни взяли, можно указать такую область и', целиком лежащую в е-окрестности О, и такое

топологическое отображение и на и , при котором траектории отображаются в траектории16).

Всякая область и, обладающая указанными в приведенном выше определения свойствами, называется собственной окрест­ ностью состояния равновесия.

Как и всюду выше, предположим, что число особых траекто­ рий рассматриваемой системы (А) в случае, когда система опре­ делена в ограниченной области, конечно в этой области, а в слу­ чае, когда эта система определена на всей плоскости, конечно во всякой ограниченной области плоскости.

Установим при этом предположении возможный характер собственной окрестности состояния равновесия.

Из теоремы 7 при сделанном предположении следует:

Если в любой сколь угодно малой окрестности состояния рав­ новесия О лежит замкнутая траектория, то все траектории, про-

16) Нетрудно привести пример состояния равновесия, не имеющего оп­ ределенной топологической структуры в указанном выше смысле. Пусть, например, вокруг данного состояния равновесия существует бесчисленное множество вложенных друг в круга колец, заполненных замкнутыми тра­ екториями. Пусть эти кольца перенумерованы в порядке их вложения друг в друга. Предположим, что между n-м и п + 1-м кольцом лежит п предель­ ных циклов. Нетрудно убедиться, что у такого состояния равновесия нет определенной топологической структуры в смысле данного в тексте опре­ деления. Такой пример возможен в динамической системе класса С°°, но невозможен в аналитической системе.

§ И] СТРУКТУРА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ 59

ходящие через точки некоторой достаточно малой окрестности О, замкнуты.

Состояние равновесия в этом случае называется центром. Рассмотрим случай, когда в любой сколь угодно малой окрест­

ности состояния равновесия О нет замкнутых траекторий. Пусть 1о— окружность с центром в точке О столь малого радиуса го, что внутри 1о, кроме О, не лежит целиком ни одна особая траек­

тория.

Можно показать, что всякая положительная или отрицатель­ ная полутраектория, целиком лежащая внутри такой окружно­ сти. стремится к состоянию равновесия О.

Если существует окружность Со радиуса го такая, что все траектории, проходящие через точки внутри некоторой окруж­

сия О есть топологический узел, то в любой сколь угодно малой его окрестности можно указать цикл без контакта, содержащий это состояние равновесия внутри.

Рассмотрим состояние равновесия, не являющееся топологичеческим узлом.

Предположим, что существует траектория L, которая, не вы­

t -*■—°о к состоянию равновесия О и вместе с точкой О образу­ ет простую замкнутую кривую CL’■ При этом каждая из'двух областей, ограниченных двумя различными такими кривыми Си и CL", лежит одна внутри другой.

Область, ограниченная кривой CL, называется эллиптической

или замкнутой узловой областью и обозначается через Nf. Две эллиптические области считаются различными, если они лежат одна вне другой.

Рассмотрим теперь две стремящиеся к состоянию равновесия полутраектории L\ и £г, имеющие точки вне окружности С (каж­ дая из этих полутраекторий может быть как положительной, так п отрицательной) (рис. 32 и 33).

Пусть М\ и Мч — соответственно последние общие точки этих полутраекторий с окружностью С (так что часть М \0 полутраек-

М \0 полутраектории L\ и части М20 полутраектории Ь2, точки О и той из дуг окружности С с концами М\ и М2, на которой на­ правление от точки Mi к М2 является движением против часовой стрелки на С.

Будем область о называть областью (сектором) между полутраекториями Li и Ь2П). При этом: 1) область о между полутраекториями Li и Ь2 будем называть гиперболической или сед­ ловой областью (сектором) и обозначать через ос, если через все

точки этой области проходят траектории, как при возрастании, так и при убывании t выходящие из о. В этом случае L x и Ь2 являются, очевидно, сепаратрисами состояния равновесия, при­

а под L'~ — полутраектории. L{). 2) Область о между полутраекториями Li и Ь2 называется параболической или открытой узло­

17) Окружность С при такой терминологии не указывается; это нахо­ дится в согласии с тем, что сказанное ниже относительно характера об­ ласти о не зависит от окружности С, если только радиус этой окружности меньше некоторого определенного числа г0. Порядок, в котором перечисля­ ются траектории Lx и Ln, очевидно, не безразличен.

|8) Если все полутраектории параболической области стремятся к со­ стоянию равновесия при f-»-+oo (f->- — 0 0 ), то они, очевидно, являются (о-(а)-орбитно-устойчивыми. Однако среди них могут быть полутраектории особых траекторий, являющихся сс-(<о)-орбитно-неустойчивыми.