книги / Тепловые процессы в технологических системах

Коэффициенты АР получены путем интегрирования (в том числе и приближенными методами) функций, учитывающих в фор­ мулах для расчета температур законы распределения плотности тепловых потоков и скорость перемещения источников. Например,

при Р = 1 0 1 и С = 2 величина Арр = 0,67 представляет собой среднее значение функции 7 \ (ф) = ]/ф , взятой из формул (2.30)

и (2.31). В самом деле, Арр = J ]/ф d\|> = - | - « 0,67. Аналогично

о

рассчитаны и другие коэффициенты, входящие в табл. 5.1. Коэффициент Ад , учитывающий длительность функциониро­

вания источника, для установившегося теплообмена (Д = 2), а

Коэффициенты Ад получены путем приближенного интегриро­ вания выражений, соответствующих второму интегральному пере­ ходу при описании температурных полей методом источников (см. п. 2.3).

Символ К в коде источника, как упоминалось выше, позволяет судить о конфигурации площадки, на которой расположен ис­ точник. Если площадка имеет вид бесконечной полосы или пря­ моугольника (К = 1), то Ак = 1. Для источника, имеющего фор­ му круга (К = 2), коэффициенты Ак в зависимости от законов распределения имеют значения, приведенные в табл. 5.3. Эти коэффициенты рассчитаны для условий стационарного теплооб­ мена (Д = 2).

Следующие элементы алгоритма связаны с символом О, харак­ теризующим ограниченность источников. Если источник имеет

вид неограниченной полосы (О = 1), то А0 = 1. Такое же зна­ чение имеет коэффициент А0 для кругового источника, поскольку его ограниченность учтена при расчете значений А к. Для прямо­

угольных источников, ограниченных в двух направлениях (О = = 2), значения А0 зависят от безразмерного отношения ц = Ы(21), где b — ширина источника. При т) — 0,5 площадка, занимаемая

источником, имеет форму квадрата, при т) > 0,5 — вытянута по направлению ширины источника, а при т] < 0,5 — вытянута по направлению характерного размера /. Значения А0 приведены на

рис. 5.3 для неподвижных (С = 0) и для быстродвижущихся (С = 2) источников. Для неподвижных источников Лор и Ао“х впервом приближении могут быть приняты одинаковыми, причем при т] > 30 эти коэффициенты мало отличаются от единицы. Это зна­ чит, что для неподвижных ограниченных источников, ширина которых b > 60/, расчет можно вести по формулам для полосовых

источников теплоты.

Влияние ширины быстродвижущихся источников на темпера­ турное поле различно при разных скоростях движения. Поэтому коэффициенты Ао здесь зависят от значений безразмерного ком­

плекса

При и > 10 (источники большой ширины или движущиеся с боль­

шой скоростью) значения Ао“* близки к единице, а Ас?, начиная от значения 0,87, весьма медленно возрастают с увеличением и.

Последний элемент алгоритма (символ Т, см. рис. 5.2) учиты­ вает влияние формы нагреваемого тела. Поскольку все предыду-

(рис. 5.4, а).

Для цилиндра в формулу (5.9) вместо Д подставляют диаметр поверхности D, по которой движется источник (рис. 5.4, б). В табл. 5.4 даны также значения коэффициентов Ат для случая,

когда неподвижный (С = 0) источник расположен на одной из поверхностей полубееконечного клина с адиабатическими поверх­ ностями (рис. 5.4, в).

В заключение приведем пример пользования алгоритмом и от­ носящимися к нему таблицами. Пусть требуется рассчитать сред­ нюю температуру контактной площадки при движении несим­ метричного, нормально распределенного источника по поверхности стержня прямоугольного сечения (рис. 5.5). Стержень изготовлен из стали 12Х18Н9Т, его толщина Д — 3 -10"® м. Скорость переме­ щения источника v = 0,14 M/ G, длина контактной площадки I =

площадки b X / практически не отдают теплоту в окружающую

среду.

Рассчитав значение критерия Пекле Ре « 140, устанавливаем, что источник быетродвижущийся. Следовательно, код тепловой

задачи + 212 42. Однако вследствие адиабатичноети боковых

сторон стержня задача может быть упрощена, источник по пра­ вилам отражения может быть представлен в виде полосового, движущегося не по стержню, а по бесконечной пластине толщи­ ной А. Тогда код задачи примет вид

(5. 10)

Пользуясь случаем, заметим, что всякий раз перед тем, как приступить к расчету температур по алгоритму, необходимо тща­ тельно проанализировать тепловую задачу и использовать все возможности снижения степени ограниченности источников и упро­ щения формы тел в коде.

Итак, пусть код задачи имеет вид выражения (5.10). Тогда Лм = 2,21-10"%,- Так как С — 2, то Лс « 4,77-10“*. Далее по табл. 5.1 для источника с законом распределения 501 получаем

В приведенном выше примере температуру рассчитывали при условии, что источник расположен на боковой поверхности стер­ жня. Задачи такого типа при различных законах распределения плотности тепловых потоков можно легко привести к задачам о пластине или полупространстве, поэтому они не нуждаются в до­ полнительных комментариях. Если источник расположен перпен­ дикулярно к оси стержня или под некоторым углом Ф к ней и пе­ ремещается внутри стержня (рис. 5.6), вместо алгоритма, показан­ ного на рис. 5.2, используют алгоритм, приведенный на рис. 5.7. Структура формулы для расчета температур в стержне имеет

Отметим также, что для равномерно распределенных плоских источников, действующих в стержне, включая и движущиеся под углом Ф < 30°, средняя и наибольшая температуры на контакт­ ной площадке практически совпадают. Поэтому нет необходимости различать коэффициенты Лср и Лшах.

В большинстве задач, возникающих при теплофизическом ана­ лизе технологических подсистем, в частности процессов механи­ ческой обработки, возникает необходимость рассчитывать темпе-

В пределах площадки длиной 1г функция Тг (ф) имеет вреднее

значение 7 \ (0 < ф -< 1) = 2/3 (вм. п. 2.5), что воответвтвует ереднему значению безразмерной температура.

даточной функцией, поскольку она иллювтрирует то, как темпера­ тура, возникающая иа площадке дейвтвия источника, «передается» на площадки, занимаемне другими источниками в том же теле. Расчета показывают, что в погрешностью, не ваходящей за пре­ дела 2—б %, можно считать, что

(фор),

где фор в 0,5 (Ф1 + ф») — безразмерная координата вредней точки

на интеревующем участке нагреваемого тела. Тогда

где Д0 (фор) — повышение температуры на площадке действия источника Jit вызванное теплотой, выделяемой источником Jy.

Формула (5.13) справедлива не только для расчета взаимного влияния источников, движущихся друг за другом. Ее можно при­ менять и для других случаев теплообмена. Естественно, что при этом выражения для Вср будут отличаться от формулы (5.12). Так, для линейно распределенных двумерных быстродвижущихся источников Р = 201 и Р = 301 можно, пользуясь изложенным ме­ тодом, получить соответственно

Аппроксимация результатов расчета передаточной функции для быстродвижущихся источников с несимметричным нормаль­

На рие. 5.8 приведена кривая 2, характеризующая влияние

источника, расположенного на одном из торцов стержня конечной длины (см. рис. 5.6, в), на температуру другого торца.

Вопрос о взаимном влиянии часто возникает при необходимо­ сти описать математически результат совместного функциониро­ вания источника тепловыделения и стока в охлаждающую среду,

невелики по сравнению с размерами поверхности, омываемой жид­ костью; нельзя полностью отрицать возможность попадания ох­ лаждающей жидкости на контактные площадки между твердыми телами; упомянутое уточнение, как показывает анализ, несу­ щественно влияет на результаты расчета контактных температур. Влияние стока Jx на температуру площадки диаметром D,

расположенной под источником, нельзя рассматривать вне связи с распределением температур на поверхности полупространства под действием самого источника. Дело в том, что в любой точке поверхности, омываемой жидкостью, плотность стока теплоты <7i (Р) зависит (см. гл. 3) от коэффициента теплоотдачи а и темпе­

ратуры в данной точке. В свою очередь, температура является ре­ зультатом совместного функционирования источника J и стока Jlt и чтобы ее рассчитать, надо знать qx (р). Решение задачи возможно,

если принять какое-либо дополнительное условие. Такое условие можно выдвинуть, если иметь в виду, что распределение темпера­ тур на поверхности полупространства, возникающее при устано­ вившемся теплообмене под действием кругового источника, с до­ статочной для практики точностью можно описать нормально­ круговым законом

где 0и (р) и 0Ишах — соответственно температуры на окружности безразмерного радиуса р = r/R (R — радиус площадки, занимае­

мой источником) и в центре источника (р = 0).

Среднее значение температура на любой участке поверхности (О < р < рх) можем получить, рассматривая элементарные коль­ цевые площадки dp. Интегрируя выражение 2лрТ (р), где Т (р) =

= ехр [—Ар® 1, и относя результат интегрирования к площади яр*, получаем

Если для конкретного источника известно отношение g между средней и наибольшей температурами, то по формуле (5.18) можно рассчитать коэффициент сосредоточенности А кривой распределе­ ния температур. При этом заметим, что выражение, стоящее в правой части формулы (5.18), при 0,1 < А < 1,5 (что вполне удовлетворяет практику) о погрешностью, не выходящей за пре­ делы 6 %, можно заменить линейной функцией g я* 0,98 — 0.355А, откуда

Пользуясь выражениями (5.16) и (5.19), можно рассчитать диа­ метр пятна, на котором происходит теплообмен с жидкостью. Дело в том, что не вся поверхность твердого тела, покрытая ох­ лаждающей средой, активно участвует в теплообмене. На участ­ ках, где 0и (р) -*■0 (речь идет об избыточных температурах),

даже если они покрыты жидкостью, теплообмен не происходит.

где Dox„ — диаметр пятна, на поверхности которого происходит

теплообмен между жидкостью и твердым телом.

Поскольку сток теплоты, как уже упоминалось, имеет плот­ ность ft (р), связанную с температурой, то закон распределения плотности стока на поверхности пятна диаметром Ь охл при а =

Наибольшая плотность qxnu* = абщ»*, где 9т.т — наибольшая

температура, которая является результатом совместного действия

источника J и стока в охлаждающую среду Jt. Температура 0|Иах

заранее не известна, но известно, что

где 0Иних — наибольшая температура в точке О, возникающая под действием источника J, если охлаждение не применяют; 0„ тах —

снижение температуры тела в точке О за счет стока части теплоты в жидкость.

Для стока Jlt как и для любого источника, между температу­

рой 0Ошах и наибольшей плотностью <7im«x существует'прямая про­ порциональная зависимость, описываемая выражением

причем величина Лшах при заданных параметрах стока может быть рассчитана по схеме (см. рис. 5.2) и относящимся к ней таб­ лицам. Подставляя значение 0Стах из формулы (5.23) в (5.22), а также имея в виду, что qx шах = а6Шах, получаем

Итак, мы получили формулу для расчета наибольшей темпера­ туры на контактной площадке диаметром D, учитывающую сов­

местное влияние нагревания и конвективного теплообмена с жид­ костью. Но при решении балансовых задач и расчете плотности итоговых потоков теплообмена между телами необходимо знать не максимальное 0тах, а среднее 0ср значение температуры на кон­ тактной площадке. Рассуждая аналогично тому, как это было сде­ лано при выводе формулы для 0тах, можем получить

Значение 0ср, учитывающее совместное влияние источника теплоты и стока в окружающую среду, можно использовать при решении балансовых задач. При этом заметим, что вид зависи­ мости (5.25) сохраняется, если источник и сток имеют законы распределения, отличные от нормально-кругового, меняются лишь значения 0„. ср и Лср. С достаточной степенью приближения фор­ мулу (5.25) можно применять и при конфигурации контактной площадки, отличающейся от круга. Для этого следует заменить реальную форму площадки равновеликим кругом. Например, при рассмотрении вопроса об охлаждении передней поверхности резца (см. рис. 2.7), источник J ’0 можно заменить источником JI

в виде части круга, а поверхность, по которой инструмент сопри­ касается с охлаждающей жидкостью, — частью кругового сто­ ка Н.

Завершая рассмотрение алгоритма и методики расчета темпе­ ратур на контактных поверхностях тел, сделаем два замечания. Во-первых, обратим внимание на то, что алгоритмы и относящиеся к ним данные могут быть преобразованы в программы и введены