книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

ОГЛАВЛЕНИЕ

3

ВВЕДЕНИЕ

В последние десятилетия большой интерес вызывает изу­ чение нелинейных диссипативных сред. При исследовании та­

ких сред было замечено, что в них часто происходит умень­ шение числа степеней свободы, эффективно описывающих сис­ тему. В некоторых случаях удается выделить несколько сте­ пеней свободы, к которым подстраиваются все остальные. Они определяют динамику процессов и поэтому часто называются

иерархии упрощенных моделей. Можно ожидать, что на таком

пути будет достигнуто понимание многих сложных нелинейных явлений.

В связи с этим особое значение приобретает исследова­ ние простейших нелинейных моделей (часто их называют базо­ выми), которые возникают в различных областях естествозна­

ния. Такой подход уже позволил выяснить ряд глубоких общих

закономерностей, привел к появлению новых идей и понятий

(таких, как солитоны, странные аттракторы, диссипативные

структуры), помог обнаружить ряд новых явлений.

Уменьшение числа степеней свободы означает, что в системе происходит 'самоорганизация. Другими словами, у нее появляются свойства, которыми не обладает ни одна из под­ систем. У целого появляются свойства, которыми не обладают части.

5

Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, теорию самоор­ ганизации часто называют синергетикой. (Дословно - теорией

совместного действия.) Этот термин ввел Г.Хакеи [193]. Он

зультате которого на макроскопическом уровне возникает структура и соответствующее функционирование. С другой стороны, для нахождения общих принципов, управляющих само­

ден бельгийским ученым И.Пригожиным. Работы ученых брюс­ сельской школы, которую он возглавляет, помогли установить связь между возникновением структур, феноменологическими

моделями и представлениями неравновесной термодинамики.

Они сыграли большую роль как в теоретическом, так и в экс­

ленность от равновесия, так и нелинейность могут служить причиной возникновения упорядоченности в системе. Между упорядоченностью, устойчивостью и диссипацией возникает в

высшей степени нетривиальная связь. Чтобы четче выделить

эту связь, мы будем называть упорядоченные конфигурации, появляющиеся вне области устойчивости термодинамической

точно большого потока энергии и вещества ... Диссипативные структуры являют собой поразительный пример, демонстрирую­

6

щий способность неравиовесности служить источником упоря­

доченности» [151].

Возникновение упорядоченности в открытых нелинейных

системах на первый взгляд кажется парадоксальным. В равно­ весных системах диссипативные процессы уничтожают любую

годы был получен ряд важных результатов. Анализ сравни­ тельно простых математических моделей, таких, как системы

использование упрощенных моделей, идей и представлений

синергетики не должно подменять глубокого' анализа конкрет­

ной ситуации. Однако эти представления могут определить

направление исследований, что во многих случаях оказывает­

ся очень важным. Об этом свидетельствует быстрый рост

тельных экспериментальных работ, посвященных явлениям са­ моорганизации. В качестве примеров здесь можно привести

изучение колебательных химических реакций [358], поведения активных биологических сред [166], динамики морфогенети­

ческих процессов [32, 273] и ряд других. Оказалось, что

для решения многих конкретных задач в физике плазмы, мик­ роэлектронике, гидродинамике, химической кинетике, астро­

физике, во многих других областях^ необходимо ответить на

ряд общих вопросов. Каковы механизмы возникновения прост­ ранственно-временной упорядоченности в нелинейных средах? Могут ли простые структуры быть объединены в сложные, ка­

7

ковы законы организации возникающих структур? Как происхо­ дит переход от простейших упорядоченных к сложным стохас­ тическим режимам? Существуют ли эффективные способы управ­ ления процессами в диссипативных системах? Попытки отве­ тить на эти вопросы позволили выделить некоторые черты,

характерные для нелинейных сред. Остановимся на некоторых

из них.

Обычно с целого класса начальных данных в таких сис­ темах происходит выход на один и тот же установившийся ре­ жим, другими словами, наблюдается « забывание» деталей на­ чальных данных. Это позволяет поставить вопрос о направле­

нии процессов, об их «цели». Для замкнутых систем ответ на

него дает второе начало термодинамики. Для ряда нелинейных

но по аналогии с обыкновенными дифференциальными уравне­

ниями построить функцию Ляпунова, которая и определяет на­ правление процессов [90, 197].

Однако анализ многих математических моделей показыва­ ет, что описанная ситуация является не правилом, а исклю­ чением. Обычно установившийся режим является более слож­ ным. Его математическим образом является предельное мно­

жество, к которому притягиваются траектории в фазовом пространстве системы. Часто его называют аттрактором.

В гамильтоновых системах, где энергия сохраняется, ситуация может быть совершенно иной - при мало отличающих­

ся значениях энергии или других интегралов (которые опре­ деляются начальными данными) решения не стремятся друг к другу [135].

«Забывание» начальных данных намного упрощает иссле­

структур и что для их анализа удастся использовать сравни­ тельно простой математический аппарат.

8

Исследования показали, что во многих случаях устано­

вившиеся режимы в нелинейных диссипативных средах обладают

трехчастотные режимы. Современные методы инвариантно­ группового анализа позволяют найти полный набор автомо­ дельных решений изучаемых уравнений [153]. Для большого класса стохастических режимов характерна масштабная инва­ риантность [323]. Аттрактор оказывается подобным себе на

разных пространственных масштабах. Инвариантные решения

все чаще выступают не как исключения или частные случаи, а как асимптотика большого класса других решений. Таким об­

разом, в зависимости от начальных данных в сравнительно

простых диссипативных системах может происходить выход на

решения качественно различных типов - стационарные, перио­ дические, многочастотные или стохастические. Такое поведе­

ние было зафиксировано и в ряде экспериментальных работ. Например, в работе [376] отмечалось, что в течении КуэттаТейлора (движение жидкости между вращающимися цилиндрами)

Наличие нескольких аттракторов тесно связано с новыми возможностями управления процессами в нелинейных средах. В самом деле, в фазовом пространстве можно выделить границы,

разделяющие области притяжения различных аттракторов. Ма­ лое изменение начальных данных вблизи этой границы может

привести к качественно различному поведению на развитой

стадии. Это свойство является общим для многих открытых нелинейных систем. В большинстве из них есть определенная область параметров или стадия, где система особенно чувст- -вительна к воздействиям, согласованным с ее внутренними свойствами. (В ряде работ их называют резонансным возбуж­ дением системы [121].) Далее мы увидим, что амплитуда и

9

продолжительность воздействий зачастую менее важны, чем их

соответствие свойствам среды (в простейших случаях это мо­

жет быть определенный профиль начальных данных или опреде­ ленный тип их симметрии). Резонансное воздействие может

вые инструменты воздействия на сложные системы.

Принципиальную роль в исследовании диссипативных структур и явлений самоорганизации играет использование компьютеров. Оказалось, что анализ большинства нелинейных

математических моделей требует сочетания современных ана­ литических методов с большими сериями расчетов на ЭВМ. Та­ кое сочетание сегодня все чаще называют вычислительным экспериментом. Анализ результатов вычислительного экспери­ мента может приводить к появлению новых понятий и пред­ ставлений, а иногда и к предсказанию новых явлений.

Если ранее в задачах синергетики основное внимание

уделялось стационарным диссипативным структурам, то в по­

следние годы исследователям удалось продвинуться в понима­

нии сложной пространственной и временной упорядоченности. Обзор некоторых важных результатов содержится в этой книге.

боды, оно может быть понято в рамках упрощенных моделей, учитывающих взаимодействие нескольких переменных. Поэтому подход синергетики, связанный с построением иерархии упро­ щенных моделей, оказывается здесь очень эффективным. Их исследование в ряде случаев позволяет выявить не только качественные, но и универсальные количественные закономер­ ности, характерные для многих нелинейных систем [263].

Двадцать лет назад Р. Фейнман одной из ключевых задач науки будущего считал анализ процессов в нелинейных сре­ дах, построение качественной теории нелинейных уравнений в частных производных [190]. За прошедшие годы в этом на­ правлении был сделан важный шаг.

Ю