книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

таком подходе учитываются в изобарическом приближении. Для функции Е выполнены условия излучения.

Типичный пример возникновения локализованной неста­

ционарной структуры в поле сходящейся цилиндрической СВЧ-

ном интервале она выглядит так, как если бы процесс шел в режиме с обострением. И действительно, представления, развитые при анализе тепловых структур, эффективно исполь­ зуются и в теории СВЧ-пробоя.

Режимы с обострением характерны и для других модель­ ных уравнений. Например, недавно было показано, что упро­

Это уравнение движения газа с отрицательной сжима­

емостью описывает не бегущие волны, типичные для обычных

1902гг. Однако общность этой модели была осознана только в последние годы [383]. Интересно, что с помощью преобразо­ вания годографа эта модель сводится к линейному уравнению.

Локализованы могут быть не только стационарные дисси­ пативные структуры или структуры, развивающиеся в режиме с обострением, но и более сложные колебательные или хаоти­ ческие процессы. Вероятно, в ближайшие годы анализ таких локализованных процессов будет активно развиваться.

61

§2.2. Диссипативные структуры в средах

стриггерными свойствами

Модель тепловых структур и другие модели, связанные с одним параболическим уравнением, не обладают двумя важными особенностями, характерными для многих нелинейных сред. В

появляться новые структуры. Кроме того, в рассмотренных средах устойчивы только простые структуры, для создания сложной упорядоченности нужно задать специальным образом начальные данные.

Описание сложных устойчивых структур, процессов их

возникновения требует перехода к системе уравнений. В ряде

случаев и здесь удается выяснить, каким образом из простых структур могут быть построены сложные, как возникает

упорядоченность в таких средах, как меняется ход процессов

при переходе от одномерных к многомерным моделям. Эти воп­ росы были исследованы для систем с триггерными свойствами [128]. Обратим внимание на некоторые из полученных

чили название бистабильных или триггерных. Триггерные сис­ темы с диффузией возникают в химической кинетике, в нели­ нейной оптике, при моделировании морфогенеза [33].

Для простоты возьмем следующую модель:

62

считать, что собственные значения матрицы А - комплексно

сопряженные числа с положительными действительными частя­ ми. (Это является достаточным условием неустойчивости ну­ левого решения задачи (2.24).) Матрица В определена отри­ цательно, что является достаточным условием ограниченности решения при 0 < t < оо. Задача (2.24) инвариантна относи­ тельно преобразования {u,v} —> {-и, -о}, поскольку правые

части уравнений содержат только нечетные степени функций,

Вкачестве начальных данных вначале зададим

рис. 2.12. Возникает переходная область, слева от которой

(смысл названия мы поясним далее). Можно в большом интер­ вале менять длину, области и параметр а, возникающая эле­ ментарная структура при этом практически не меняется. Она эффективно локализована.

63

0,5

О

-0 ,5

-1,0

Рис. 2.13. Пример сложной стационарной структуры в три герной среде. Па­ раметры средыте же, что на рис. 2.12

стояние между «ступеньками» не слишком мало (L > 1,1 опре­ деляется свойствами нелинейной среды). Пример решения, возникающего в этом случае, показан на рис. 2.13. Все ос­ тальные структуры в этой среде состоят из множества эле­ ментарных, находящихся на разном расстоянии друг от друга. Метод сшивания, оказавшийся очень полезным при исследова­ нии модели тепловых структур, и в этом случае дает хорошие

64

зультады, т. е. приближенные решения, соответствующие эле­

ментарным структурам [161].

± =1,55

Рис. 2.14. Последовательное появление структур в соседних пространствен­ ных областях: = 9,18; Z>2 = 0,576; А = I I ; В - 1“]_ 4 1

65

и их самодостройки. Для того чтобы создать сложную упоря­

доченность, совсем не обязательно задавать ее извне,

«навязать» нелинейной среде, задав нужное число ступенек. Посмотрим, что произойдет с малым возмущением, поставлен­ ным на неустойчивом фоне. Пример такого расчета показан на рис. 2.14. Видно, что на соседних участках последовательно

возникают структуры. При этом в расчетах наблюдается чет­

кая граница области, где происходит воспроизведение дисси­

пативных структур, что позволяет говорить о волновом ха­

рактере процесса и отождествлять эту границу с фронтом распространяющейся волны.

Такое поведение характерно и для многих других двух­ компонентных систем, когда в начале имеются малые возмуще­

ния вблизи потерявшей устойчивость термодинамической вет­

ви. Например, для одной из наиболее известных двухкомпо­

Мейнхардта, возникающей при математическом описании морфо­

и многомерном случае в таких системах качественно различа­

ются. В многомерном случае возникает большой набор локали­

зованных нестационарных структур, время существования ко­

границе. Поставим в качестве начальных данных в правом нижнем углу области квадрат со стороной /, в пределах ко-

66

нарные структуры. За время т возникает переходная область, структура которой остается постоянной для различных точек границы, несмотря на то, что кривизна контура Г0, ограни­

Область GQ медленно снмметризуется, стремясь к кругу, радиус которого уменьшается со временем. Увеличение пара­

метра / практически не меняет процесса, выход на стацио­

рассматривать этот процесс как эволюцию нестационарной диссипативной структуры.

Эти качественные представления позволяют построить приближенную модель, описывающую эволюцию контура Г(*).

Можно убедиться, что если переписать двумерный аналог сис­

67

приводят к деформации контура. Следовательно, для точек контура Г можно записать уравнение

где п - внешняя нормаль к контуру, г - радиус кривизны в данной точке, с определяется свойствами среды. Такая упро­

медленно перестраиваются. Радиусы структур, имеющих форму

ния позволяют соображения симметрии. В самом деле, уравне­

где и > 0, белым. Эволюция одной структуры, имеющей форму

присутствует в уравнении (2.24). Расчеты показывают, что в

этом случае действительно возникает стационарная структура

68

69

Рис. 2.17. Примеры двумерных стационарных структур в триггерной среде

70