книги / Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках

= Si, = const, x = x2 (t). Подставив эти соотношения в (11.44), получим

д ( . , о = - й - { е х р { - м а } х

ческое колебание х2 (t) — A cos at, то, заменив переменную инте­

Выбрав время t равным периоду колебаний гармонической составляющей, получим среднее число превышений уровня х за период Т — 2я/©

2Я

Интегралы, входящие в соотношение (11.55), протабулированы

[ 12].

Для получения простых приближенных оценок вновь введем в рассмотрение фазу <р, равномерно распределенную в интервале 0-Ь 2я, и осредним результаты так же, как это было сделано при

Обобщим теперь полученный результат на случай, когда гармо­ ническая составляющая процесса нагружения описывается триго-

112

неметрическим рядом, т. е. когда анализируемый процесс описы­

После введения фазы <p и осреднения результатов получим

Аналогично задаче о вычислении числа выбросов для квазистационарных случайных процессов решаются и другие задачи по структурному анализу случайных процессов [121.

Квазислучайные гауссовские процессы. Представление эксплуа­ тационной нагруженности конструкций в виде различных матема­ тических моделей случайных процессов требует при их структур­ ном анализе проведения трудоемких вычислений на ЭВМ. Вместе с тем такой анализ может быть проведен относительно просто, если реальные процессы нагружения удается представить в виде квазислучайных функций времени, т. е. функций времени, задан­ ных с точностью до одной или нескольких случайных величин. Такие функции можно получить на базе простейшего гармониче­ ского нагружения (рис. 11.7, а)

где у — параметр нагружения (сила, напряжение, перемещение, ускорение и т. п.); а — амплитуда нагружения; © — угловая частота; t — время.

Рассматривая величину а как константу, a <at = х как слу­ чайную величину, получаем, что у есть функция случайного аргумента х. Плотность распределения этой функции

Подставив соотношение (11.56) в (11.55), получим

Вид плотности распределения (11.57) показан на рис. 11.7, б. Среднее значение и дисперсия величины у будут соответственно

у (t) в виде (11.58).

Энергетический спектр 5 (ю) процесса у (0 связан с корреля­

ционной функцией этого процесса Ку (т) соотношением

00

114

Подставив в (11. 61) выражение для Ку (т), получим уравнение для определения S (©):

оо

а

(где ф (ю) — произвольная функция аргумента ю), получим реше­ ние уравнения (11.62)

Из соотношения (11.64) следует, что вся мощность процесса сосредоточена на частоте со (рис. 11.9).

Рассмотрим процесс нагружения типа (11.54), в котором амплитуда а является случайной величиной с заданной плотностью распределения вероятностей / (а) (рис. 11.10). Предполагается, что последующие друг за другом циклы нагружения формируются с амплитудами аъ а», а3 ... в соответствии с заданным законом их распределения. Учитывая в соотношении (11.57), что величина а является случайной, получаем (в соответствии с формулами тео­ рии вероятности о вычислении условного среднего) плотность распределения вероятности процесса у (t)

(Ч Щ

V

Если амплитуда процесса нагружения является величинрй постоянной, т. е. если ее плотность распределения вероятности описывается импульсной 6-функцией

то, в соответствии с выраженным соотношением (11.63) свой­ ством импульсной 6-функции, из (11.65) получаем (11.57), где а будет заменена амплитудой А.

Особое значение имеет случай, когда амплитуда процесса нагружения описывается законом Релея с плотностью

Так как интеграл в соотношении (11.69) равен Y п >т0

(11.70)

,(!,) = 7тЬяехр( — 6")

Таким образом, одномерное распределение процесса (11.54) с ^елеевским распределением амплитуды является нормальным (гауссовским) с нулевым средним значением и дисперсией s2. Это же значение дисперсии можно получить по формуле (11.60) при т = 0, если в расчетах учесть вероятностный характер ампли­ туды процесса нагружения:

D {y) = l'^ - f( a ) da = sa.

о

Построенная модель гауссовского стационарного процесса позволяет, в частности, решить задачу о выбросах случайного процесса за заданный уровень. В рассматриваемом случае число выбросов за некоторый уровень а* в единицу времени будет, очевидно, равно числу циклов нагружения в единицу времени, умноженному на вероятность превышения амплитудой а уровня а*:

116

Возможность представления гауссовского стационарного про­ цесса с энергетическим спектром типа импульсной 6-функции на одной частоте в виде простого гармонического нагружения со случайной амплитудой позволяет предположить возможность расширения такого представления на процессы с произвольными энергетическими спектрами. Если в соотношении (11.54) частоту © считать случайной, то вид распределения выходной величины у не изменится. В частности, если величина а будет распределена по закону Релея (11.67), то распределение у останется гауссовским при любом законе распределения величины ю.

Найдем такой закон распределения величины © (© !> 0), при котором некоторый действительно случайный процесс у (t) и процесс, заданный соотношением (11.54), будут иметь одинаковые корреляционные функции, т. е. при котором

К у (т) = М [у (0 у (t + т)] = М[a2cos Ы cos © (/ + т)] =

где / (©) — искомая плотность распределения величины ©; М [ • ]— символ математического ожидания.

Сопоставив соотношения (11.72) и (11.61), приходим к выводу, что если в качестве f (©) принять нормированный энергетический

спектр заданного процесса S (©) = S (®)/s2, а величину а счи­ тать случайной с произвольным законом распределения и вторым моментом М [a2] = 2s2, то квазислучайный процесс (11.54), опре­ деляемый двумя случайными величинами а и ©, можно будет считать построенным с точностью до воспроизведения его корре­ ляционной функции. Свободу выбора вида распределения вели­ чины а можно использовать для получения, например, гауссов­ ского одномерного распределения процесса у (t). Для этого доста­ точно распределение амплитуды а принять релеевским (это ха­ рактерно для узкополосных гауссовских стационарных процес­ сов), при котором второй момент М [a2] = 2s2. Таким образом, сформированный квазислучайный процесс (11.54) можно считать эквивалентным заданному гауссовскому случайному процессу с точностью до воспроизведения корреляционной функции и одно­ мерной гауссовской плотности его распределения. Построенный квазислучайный процесс (11.54) нельзя считать полностью совпа­ дающим (по определению) с гауссовским стационарным процес­ сом. Для этого, необходимо, чтобы не только одномерная плот­ ность распределения была гауссовской, но и распределения любой кратности (п-мерные распределения) также были гауссовскими. Вместе с тем представление случайного процесса в виде простого соотношения (11.54) открывает большие возможности для при­ ближенного изучения поведения динамических систем при слу­ чайных воздействиях, так как при этом могут быть широко ис­

117

пользованы многие известные решения для гармонических воз­ действий.

Неоднозначность определения закона распределения ампли­ туды квазислучайного процесса (11.34) и неполное соответствие его гауссовскому стационарному процессу могут приводить при его использовании вместо гауссовского стационарного процесса к определенным погрешностям. Так, для гауссовского стационар­ ного процесса среднее значение частоты

Соотношения (11.73) и (11.74) в общем случае приводят к раз­ ным результатам. Сопоставление значений частот © и ©, опреде­

средней частоты процесса, представляемого соотношением (11.54). Среднее число выбросов, определяемое для этого процесса по формуле (11.71), также будет больше, чем для процесса (11.54). Равенство в соотношении (11.75) достигается только в том случае, когда энергетический спектр случайного процесса представляется в виде импульсной б-функции.

Особенности реальных процессов нагружения. Практическое использование методов теории случайных функций для описания и анализа нагруженности реальных металлоконструкций показало высокую их эффективность и возможность широкого использова­ ния модели гауссовских случайных процессов в качестве базовой модели процессов нагружения, на основе которой могут быть

118

сформированы и другие модели случайных процессов, учитыва­ ющие те или иные особенности нагружения реальных конструк­ ций в эксплуатации. Вместе с тем полный учет всех особенностей нагружения реальных конструкций путем построения все более и более сложных математических моделей случайных процессов в ряде случаев нецелесообразен. Большее значение имеет накоп­ ление опыта применения теории случайных функций к оценке реальной нагруженности при использовании ограниченного числа моделей таких процессов и экспериментальное выявление и ис­ пользование в расчетах определенных закономерностей, наблюдае­ мых в реальных процессах нагружения. В первую очередь сле­ дует отметить следующие две особенности реальных процессов, которые были выявлены при исследовании нагруженности ме­ таллоконструкции машин типа автомобилей и тракторов в реаль­ ных эксплуатационных условиях и установление которых расчет­ ным путем затруднительно.

1. В реальных случайных процессах нагружения наблюдается тесная корреляционная зависимость между интервалами времени, между соседними экстремумами т9 и приращениями процессов, между этими экстремумами хр (размахами). Чем больше указан­ ные интервалы времени, тем большими становятся и размахи процессов нагружения. Эту зависимость можно описать следу­ ющим линейным соотношением:

где а — параметр, который может быть определен как отношение среднего значения размаха к среднему значению интервала вре­ мени между соседними экстремумами а = х р/х'я. Из соотношения (11.76), в частности, следует, что отыскание распределения размахов может быть сведено к определению распределения интер­ валов времени между соседними экстремумами, что в значительной степени упрощает обработку экспериментальных данных.

2. В случайных процессах нагружения наблюдается тесная корреляционная зависимость между значениями двух соседних экстремумов. Их нельзя считать статистически независимыми случайными величинами, и поэтому функция распределения размахов не может быть построена с необходимой для практики точ­ ностью по отдельным функциям распределений максимумов и минимумов случайных процессов.

На рис. 11.11 дано сопоставление плотностей распределений интервалов времени между соседними экстремумами р (т) и корре­ ляционных функций К (т) для ряда реальных процессов нагруже­ ния. Основные значения интервалов времени между соседними экстремумами находятся в диапазоне относительно высоких зна­ чений корреляционных функций, тогда как значения одноимен­ ных экстремумов (а тем более экстремумов, разделенных большим числом интервалов времени между ними) уже могут считаться статистически независимыми случайными величинами.

119

Рис. 11.11. Плотности распределений интервалов времени между соседними экстремумами р (т) и корреляционных функций К (т) реальных процессов на­ гружения:

v = 8,5 км/ч

§12. Примеры описания

ианализа случайных процессов

Разнообразие режимов эксплуатации предопределяет много­ образие математических моделей случайных процессов, кото­ рые могут быть использованы для описания их нагруженности. Эти модели могут быть сформированы на основе эксперименталь­ ных данных о нагруженности, полученных при относительно кратковременных испытаниях конструкций на эксплуатационных режимах нагружения и дополнительной информации об особен­ ностях их функционирования и накоплении в них различных изменений в течение всего срока службы в результате старения и изнашивания. Так приходят к моделям процессов, представлен­ ных в виде сумм и (или) произведений детерминированных и случайных функций, а таиже к моделям в виде процессов, сфор­ мированных с помощью безынерционных или инерционных линей­ ных или нелинейных преобразователей, и т. п. [12].

При этом для анализа прочности конструкций используются частные характеристики процессов: эффективные частоты по нулям и экстремумам, распределения амплитуд, соответствующие различным методам схематизации, и т. п. Рассмотрим некоторые типичные задачи по описанию и анализу случайных процессов.

120

ся из реального процесса с ограниченной верхней частотой ©х при © ,—►00.

Используя соотношения (10.32), (11.2)—(11.4), получаем, что эффективные частоты этого процесса по нулям, экстремумам и

точкам перегиба соответственно равны: ©0= щ /V 3; ©э =

= ©1у^б ; ©п = ©1 V7"5/7 л; 0,84©!.

При любом значении щ параметр сложности структуры этого

процесса k = ©э/©0= у^1,8 « 1,35. Отсюда следует, что, хотя процессы типа «белый шум» могут быть отнесены к широкополос­ ным случайным процессам, они не являются процессами с большой сложностью структуры и распределения в них амплитуд при всех методах схематизации приводят к примерно одинаковым резуль­ татам. В частности, эти распределения достаточно точно можно описать законом Релея (11.67).

Процессы со сложной структурой. Реальные процессы изме­ нения напряжений в элементах конструкций имеют параметр сложности структуры, изменяющийся в довольно широких пре­ делах (от 1 до 10). Поэтому возникает задача моделирования таких процессов из процессов с простой структурой. Простейшая модель

Рассмотрим в качестве примера процесс х (t) = хг (/) + х2 (t),

где составляющие х\ (t) и х2(0 задаются дисперсиями s? и s2 и энергетическими спектрами в виде импульсных 6-функций: (©) =

сэнергетическим спектром, имеющим два характерных максимума,

кузкополосным составляющим на частотах ©х и ©2 (рис. 12.3).

121