книги / Непараметрическая статистика

Вайсс доказал состоятельность ZN-теста и привел сообра­ жения по поводу асимптотической нормальности статистики (9.12.2) при нулевой гипотезе. Блюменталь [3], в свою оче­ редь, предложил пользоваться тестовыми статистиками вида:

которые также инвариантны к сдвигу и масштабу. Исследуя асимптотические распределения статистик PN (г) при гипо­ тезе, он обнаружил, что эти распределения не зависят от F

асимптотически нормальными с параметром а\, сложным об­ разом зависящим от F. Блюменталь показал также, что при проверке на экспоненциальность и Вейбулловских альтерна­

могоровского теста и что х2‘тест имеет нулевую эффектив­ ность по сравнению с PN (г) -тестом. Однако ему не удалось довести (при вычисление асимптотических рас­ пределений до вида, допускающего табулирование, так что практическое использование этого класса тестов пока невоз­ можно. К этому же типу процедур можно отнести тесты, ос­ нованные на отношениях выборочных интервалов, подобные тем, которые введены в конце § 9.11.

Третий подход к задаче согласия со сложной гипотезой

функция сравнения, является несмещенной оценкой для

Тогда из общей теории достаточных статистик (см. Блэквелл

является несмещенной оценкой F с меньшей дисперсией, чем у z. Теперь можно записать модифицированную статистику Колмогорова:

Сринивасан показал, что в случае нормальной и экспонен­ циальной гипотез с неизвестными параметрами распределение В N не зависит от этих параметров.

Для наглядности приведем пример с экспоненциальной гипотезой. Пусть Но :f(x/k) = ?^ехр (—кх), х^О, где к — не­ известный параметр. При этом распределении выборочное среднее t = x = N ~ 1ilxi является полной достаточной статис­ тикой для к. Прямые вычисления дают:

Модифицированная DN-статистика может быть записана в виде

6 iV= m ax|K /v(x:i)—-F(Jc,|X)|= m ax|FiV(y<) - f (у,|1)|,

где у1 = кх1 . Этим равенством и обосновывается независи­ мость распределения BN от к. Сринивасан составил методом

Ю-1; 1,5 • 10—1 и 2 • 10“ К Такие же таблицы приведены им для критерия нормальности при произвольных а и а2. Сринива­ сан также сделал вывод о том, что для экспоненциальных альтернатив В -тест мощнее Ддг-теста, для других их мощ­ ности близки. Однако Шафер, Филькенштейн и Колине [1] показали ошибочность этого результата: ими доказано, что и при экспоненциальных альтернативах мощности BN - и DN~ тестов близки. Таким образом, преимущества третьего под­ хода пока остаются проблематичными.

Четвертый подход, в отличие от предыдущих, связан не с той или иной модификацией тестовых статистик, а с опре­ деленным преобразованием выборочных значений (Дурбин [1]). В результате такого преобразования сложная гипотеза отображается на простую. Например, если {xt } -выборка из

объема N из распределения N (0, 1), то случайные величины x't , ..., x'N, определенные равенством

(*;—* ')/s'= (* i— x)isy

оказываются независимыми и распределенными нормально N(0, 1), независимо от того, каковы а и аа. Дурбин [1] дал строгое доказательство этого и изложил общий метод полу-

266

пределения величин

^ 6 < о о совпадают с таковыми для уМОд и у NDn . Послед­

ние подробно табулированы (Большев и Смирнов [1], Оуэн [1]). Для случая умеренных значений т и п Боровков [1] и Королюк [1] получили приближенные формулы; Большев и Смирнов [1] привели их к виду, более удобному для ста­ тистических приложений. Гнеденко с сотрудниками получили

пределение Dmn и Dmn — Гнеденко и Рвачева [1]); Кар-

вальхо [1] повторил результат Гнеденко и Королюка изящ­ ным методом теории случайных блужданий. Свойством ста­ тистик (9.13.1) — (9.13.3) посвящено значительное количестворабот; их обзоры можно найти у Дарлинга [1], Большева и Смирнова [1], Гихмана, Гнеденко и Смирнова [1].

При больших объемах выборок вычисление статистик (9.13.1) — (9.13.3) становится громоздким делом. Возникает мысль о возможности сокращения объема вычислений за счет предварительной группировки данных, подобно тому, как это делается при построении гистограмм. Гихман [1, 2] рассмот­ рел вопрос об асимптотическом поведении таких модифици­ рованных эмпирических функций распределения и статистик (9.13.1) — (9.13.3) для них. Красиво, например, выглядит ре­ зультат

lim Pr{Fn (х) > Gn (х) для всех х, таких, что а < U(x) < р } =

1

arcsm

где U(х) — гипотетическое распределение (= F — G ).

Значительный интерес представляет изучение мощностных свойств Dmn -теста. Капон [2], пользуясь результатами Мэс­ си [2], получил нижние границы питмановской эффективно­ сти Dmn -теста для ряда альтернативных распределений. Сравнивая D тп -тест с L-тестами отношения правдоподобия, Капон получил следующие неравенства:

а) нормальная альтернатива сдвига:

б) нормальная альтернатива масштаба:

0,117= — -< ARE (Dmn, Z)<1;

Tie

268

в) распределение Коши, альтернатива сдвига:

0,811 = 4 < ARE (Dmn, Z )< 1;

иг

г) распределение Коши, альтернатива масштаба:

о,2оз=-| < ARE(D-«’

д) лапласовская альтернатива сдвига:

ARE (Dmn, L) = 1;

е) лапласовская альтернатива масштаба:

0,541 = 4 -CARE (Dmn, Z)< 1.

е2

При сравнении Dmn -теста с Атестом Стьюдента, опти­ мальным для нормальной альтернативы сдвига,

что (9.13.4) может быть сколь угодно велико. Нижняя граница (9.13.4) при условиях j xgdx= 0 и j x2gdx— 1 оказывается равной !/з.

Рамачандрамурти [1] проделал аналогичную работу по отношению к Dmn -тесту и нормальным альтернативам сдви­

га и масштаба и к Dmn -тесту и нормальной альтернативе сдвига. Он обнаружил зависимость нижней границы ARE от

Dmn -тестов для нормальных альтернатив сдвига и масштаба и привел таблицы зависимости этой эффективности от пара­ метров альтернатив.

Т е с т К у п е р а . Как и в тестах согласия, в тестах од­ нородности критерии Колмогорова—Смирнова гораздо более чувствительны к альтернативам сдвига, нежели к масштаб­ ным альтернативам (сравни, например, нижние границы эф­ фективности Dmn -теста, приведенные выше). Купер [1]

предложил использовать Ку-тест согласия (VN —D~N-\-DM ); который имеет те же, что и тесты Колмогорова — Смирнова, мощностные свойства для альтернатив сдвига, но значитель­

26 9

денко [3] получил асимптотическое распределение Vтп статистики при истинности гипотезы (m = n— N, z > 0):

lu n /2 N P r }C«„= j / i [ ^ 2 « | } ^

J= I.

Комо [1] дает точное и асимптотическое распределение Vтп- статистики при гипотезе в следующей удобной форме:

В этой же статье Комо вусказал соображения, согласно ко­ торым питмановская эффективность Vmn -теста при масштаб­ ных альтернативах вдвое превышает эффективность тестов Колмогорова — Смирнова и остается той же при альтернати­ вах сдвига. -

®тп -тест. Естественным аналогом сог-теста для задачи однородностей является тест, основанный на статистике

где Fm и 6 n — соответствующие эмпирические функции рас­ пределения. Розенблатт [3] показал, что при т-*~оо, п-*-оо и m/«->-A.=const>0 предельное распределение статистики Wтп (при ф==1) совпадает с таковым для w l . Для этого

распределения (при ф==1) среднее и дисперсия равны соот­ ветственно 7 6 и V «, тогда как

270

Поэтому при практическом использовании кРтп -теста реко­

мендуется пользоваться соответствующими поправками на ко­ нечность т и п , хотя скорость сходимости к предельному распределению весьма высока (см. Болыиев и Смирнов [1]).

и дал таблицы для f(t).

Некоторые общие соображения об одном методе иссле­ дования мощности к>2тп -теста имеются у Андерсона и Дар­

линга [!]• Д р у г и е т е с т ы о д н о р о д н о с т и , о с н о в а н н ы е

на э м п и р и ч е с к о й ф у н к ц и и р а с п р е д е л е н и я . Различие между F и G и, соответственно, между Fm и Gn мо­ жет быть обнаружено не только с помощью оценки некото­ рого «расстояния» p(F, G), но и за счет изменения любого свойства эмпирических ф. р. Fm и Gn при переходе от гипо­ тезы к альтернативе. Так например, Гнеденко и Михалевич [1, 2] установили, что ч и с л о п е р е с е ч е н и й Fm и Gn статистически различно при гипотезе однородности и при альтернативе. В случае истинности гипотезы число С(т, п) «положительных скачков» функции Fm (х), т. е. таких {яг}, что

— > G n(x),

т

подчиняется весьма простому распределению:

истинности альтернативы распределение величины С(т, п) будет отличаться от равномерного, что позволит применить подходящий критерий согласия для проверки гипотезы одно­ родности.

Особое замечание следует сделать в связи с тем, что эм­ пирическая функция распределения однозначно связана с

271

рангами выборочных значений и, следовательно, любой дву­ выборочный тест, основанный на Fт и G , может быть пред­

ние тестов согласия для задачи однородности возможно и по отношению к тестам, основанным на выборочных интерва­ лах (см. § 9.4). При использовании подходящих статистик можно исключить влияние сдвига и масштаба, обеспечив тем самым решение задачи однородности при сложной гипотезе

рой. При этом он обнаружил, что независимость предельно­ го распределения статистики от гипотетического распреде­ ления наблюдается лишь асимптотически и лишь для

2 ~^r=sn, и рассмотрел мощностные свойства данных тестов.

При больших конечных объемах выборки Тп-тест оказывает­ ся по мощности хуже колмогоровского, но лучше %2-теста.

К числу тестов на выборочных интервалах относится так­ же критерий пустых блоков, подробно описанный Уилксом [1]; Кудлаев [1] показал, что критерий общего числа серий (см. Уилкс [1]) является эквивалентным критерию пустых блоков.

272

В заключение отметим, что вопросы решения задачи од­ нородности при наличии связок рассматривались Нётером [3] и Фудзимото [1]; здесь мы не будем вдаваться в детали.

ГЛАВА X

О РАНГОВЫХ ТЕСТАХ

§ 10.1. ВВЕДЕНИЕ

По ряду причин статистические процедуры, основанные на рангах, привлекли большое внимание статистиков. При­ страстие к рангам иногда доходит даже до того, что их пред­ ставляют наиболее важной и чуть ли не единственной осно­ вой непараметрических выводов. Например, Я- Гаек [1] дал своей книге по ранговым тестам (надо сказать, очень хоро­ шей книге для первоначального знакомства с предметом) на­ звание «Курс непараметрической статистики». Впрочем, та­ кое пристрастие простительно не только потому, что можно понять личную увлеченность того или иного ученого пред­ метом своих исследований, но и потому, что ранговые про­ цедуры действительно обладают рядом замечательных свойств. Во-первых, ранговые тесты непараметричны по своей природе: для всех гипотез, охватывающих распределения, симметричные относительно перестановок аргументов, ранго­ вые тесты имеют фиксированный уровень значимости неза­ висимо от конкретного вида гипотетического распределения. Во-вторых, исследования ранговых тестов показали, что они в ряде случаев не уступают по мощностным свойствам па­ раметрическим тестам при заданных распределениях гипо­ тезы и альтернативы, и могут значительно превосходить по­ следние при отклонениях истинных распределений от пред­ полагаемых. Оба эти свойства ранговых тестов, по существу, являются следствиями соответствующих свойств рангов (см. гл. V): первое вытекает из равномерности распределения ран­ гового вектора при гипотезе (см. § 5.2), второе связано с усилением статистической связи между рангами и выбороч­ ными значениями при возрастании объема выборки (см. § 5.4). Следует, однако, подчеркнуть некоторую ограниченность об­ ласти применения ранговых тестов: альтернативные распре­ деления обязательно должны быть неинвариантными к пере­ становкам аргументов (см. § 5.1).

273

§ 10.2. ОПТИМАЛЬНЫЕ И АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ РАНГОВЫЕ ТЕСТЫ

Поскольку распределение Pf рангового вектора при гипо­ тезе f(x) известно (см. (5.2.3)), а при альтернативе g(x) это распределение Pg дается формулой Хёфдинга (см. (5.3.4)), то, согласно фундаментальной лемме Неймана-Пирсона, наи­ более мощный ранговый тест получится, если использовать в качестве тестовой статистики отношение правдоподобия (или его логарифм). Берк и Сэвидж [1] исследовали свой­ ства такого отношения правдоподобия и, показали, что оно асимптотически эквивалентно отношению правдоподобия для исходной выборки. Однако на практике вычислить Р g в яв­ ном виде обычно не удается. Эту трудность можно обойти, если ограничиться классом локально наиболее мощных ран­ говых тестов.

чается от (10.2.1) лишь отсутствием множителя

Предположим, что g отличается от f некоторым малым па­ раметром 0 и выполняются условия регулярности, позволяю­ щие раскладывать L в ряд по степеням 0 и проводить диф­ ференцирование под знаком математического ожидания (по­ дробности см., например, у Капона [1]). Тогда

274