книги / Непараметрическая статистика

Таблица 9.10б

распределений в канонической форме обеспечивает практи­ ческое совпадение мощностей.

4. Суждения о порядке предпочтительности тестов по их мощности являются условными в том смысле, что этот по­ рядок может изменяться при изменении класса рассматри­ ваемых альтернатив. Однако, если практик не желает слиш­ ком большой детализации, то он может руководствоваться тем, что почти всегда Т^-тест Гринвуда оказывается в груп­ пе тестов с высокими мощностями.

§ 9.11. О НЕКОТОРЫХ СПОСОБАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СОГЛАСИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ ПОРЯДКОВЫХ СТАТИСТИК

До сих пор речь шла о проверке гипотезы согласия с по­ мощью сравнения гипотетического распределения F(x) с ис­ тинным распределением G(x). Считая G(x) неизвестным, мы прибегаем к его непараметрическому оцениванию, а затем тем или иным способом устанавливаем приемлемость или неприемлемость расхождения между F(x) и GN(x) в пред­ положении истинности гипотезы.

Однако гипотезу согласия можно сформулировать не толь­

255

из равномерного в [0, 1] распределения, то плотность рас­

Отсюда следует сходимость G(x{R)) к R/(N-\-1) в среднеквад­ ратичном:

будет выполняться со все большей точностью. Если теперь разрешить (9.11.3) относительно X(R), то получится оценка неизвестной квантильной функции

которая, в силу предположенной однозначности G- 1(и) и (9.11.3), является состоятельной.

Имеются по крайней мере две возможности использования оценки (9.11.4) для установления сходства или различия между F~l (u) и G~l (u). Рассмотрим сначала одну из них, которая основана на геометрических свойствах совокупности

256

Доказательство следует из теоремы сходимости рациональ­

торой кривой (Тарасенко, Шуленин [4]).

Рассмотрим теперь несколько примеров, отличающихся

эту функцию. Из этого простого факта вытекает ряд инте­

используются на практике для проверки соответствия истин­ ного и предполагаемого распределений с помощью «вероят­ ностной бумаги», на которой заранее нанесена разметка по одной из осей, определяемая функцией F~l (u). Правда, обыч­ но на вероятностную бумагу наносится эмпирическая функ­

ричными плотностями можно получить дальнейшие резуль­ таты. Напомним (§ Д .4), что если E eQ имеет более затяну­

ществует такая точка Мо^Г/г, 1), что при всех и > и 0а ( и ) > 1. Теперь может быть доказано

С л е д с т в и е 3. Если F&Q имеет более (менее) затяну­

257

изводная всегда больше единицы, что и доказывает основное утверждение следствия 3. Утверждение в скобках доказыва­ ется аналогично.

Для решения задачи согласия со сложной гипотезой

HO'.F I- — ] желательно установление фактов, которые бы не

были связаны с параметрами 0 и/или а гипотезы. Такими свойствами, очевидно, будут обладать разности и отношения порядковых статистик и квантилей. Это приводит нас к дру­

Для симметричных распределений можно продвинуться даль­ ше и утверждать, что

то есть отличаются только сдвигом и/или масштабом, G(x) =

будут располагаться выше (ниже) соответствующей прямой. П р и м е р 9.11.3. Пусть ф(£ь \ъ Ь> b) = (h—h) / (h —l*) ■

Тогда

‘VRKLM = (X ( R ) — X w ) l ( X { L ) — X m ) , WRKLM =

R>K, L>M .

258

Если сохраняются предположения о распределениях F и G и об асимптотическом поведении последовательностей номеров

ных выше свойств порядковых статистик и их комбинаций. Отметим основные особенности этого подхода к статистиче­ ским задачам.

Во-первых, сам собой напрашивается класс процедур для проверки гипотезы о согласии, основанных на оценке близо­ сти соответствующих эмпирических точек к прямой. Харак­ терно, что количественное определение «прямизны» оказы­ вается хотя и возможным, но при практическом использо­ вании громоздким (например, по методу наименьших квад­ ратов). Часто для практики оказывается полезной аппелляция к геометрическому восприятию человека: одного взгляда на последовательность точек бывает достаточно, чтобы ска­ зать, приемлема ли ее аппроксимация прямой линией. Такие способы, несмотря на их «неформальность» и нестрогость, широко употребляются в практике и даже имеют свое назва­ ние — «быстрые процедуры». К сожалению, при этом оста­ ются неопределенными вероятности ошибок.

Во-вторых, ценной особенностью представления экспери­ ментальных данных с помощью методик, описанных выше, является то, что проверка гипотезы согласия с их помощью -позволяет не только принять или отвергнуть гипотезу, но и при ее отвержении дает информацию об относительной затянутости хвостов неизвестной альтернативы по сравнению с гипотезой. Это существенно может облегчить определение ис­ тинного распределения (что часто и является целью исполь­ зования критериев согласия) за счет целенаправленного пе­ ребора гипотез.

Для иллюстрации этого свойства на рис. 9.11.1 приведены результаты эксперимента с пятью типовыми распределения­

259

ческое распределение. Объем выборки 200 (на графике на­ несены не все точки), номера кривых соответствуют: 1 — рав­ номерному распределению, 2 — нормальному, 3 — логистиче­

скому, 4 — Лапласа, 5 — Коши. R — N-\-\ — i, K~ i, L— ~-\- i,

V

Рис 9.11 1

Наконец отметим, что использование результатов приме­ ров 9.11.1—9.11.3 позволяет, при необходимости, как исклю­ чить параметры сдвига и/или масштаба гипотетического рас­ пределения, так и, наоборот, оценивать эти параметры. Из этих соображений можно предложить конкретные статистики

а для сдвига при произвольном масштабе имеем:

260

Как уже отмечалось выше, для решения задачи согласия можно предложить не только «быстрые», неформализован­ ные методы, описанные выше, но и построить ряд крите­ риев алгоритмически. Тесты, использующие свойства поряд­ ковых статистик, будут возникать, если вводить «расстоя­ ния» между гипотезой и альтернативой через их обратные функции, F~l и G~l, а оценки этих расстояний строить путем оценивания G~l через порядковые статистики. Как и при построении тестов других типов, «расстояния» p(F-1, G - 1) могут быть введены различным образом, так что возникает целый класс тестов. Для примера приведем некоторые «рас­ стояния» р и порождаемые ими тестовые статистики S.

Свойства тестов данного класса пока не изучены. Неко­

§ 9.12. О КРИТЕРИЯХ СОГЛАСИЯ ДЛЯ СЛОЖНОЙ ГИПОТЕЗЫ

Пожалуй, наиболее интересной для практики является задача согласия со сложной гипотезой, когда делается пред­ положение лишь о принадлежности истинного распределения к определенному классу распределений с произвольными па­ раметрами: H0:F(£) —F (х/ви ..., 0ft).

261

К настоящему моменту развито несколько различных под­ ходов к решению этой задачи. Исторически первым является подход, при котором неизвестные параметры {0г} гипотети­ ческого распределения оцениваются по самой выборке, а за­ тем решается задача согласия с простой гипотезой Ho'.F(х) =

ЛЛ

=F(x/Q ь .... 0*). Особенность при этом, оказывается, состо­ ит в том, что не всякие оценки параметров обеспечивают не­ обходимые качества такого теста. Второй подход основыва­ ется на том, что некоторые типы распределений допускают построение статистик, статистически нечувствительных к из­ менениям параметров, но обнаруживающих переход к рас­ пределениям другого тала. В отличие от первого подхода, здесь речь идет пока лишь о типах, определяемых произволь­ ными сдвигом и масштабом. Так, классы распределений Рэ­ лея-Райса и у-распределений могут служить нулевой гипоте­

основан на том, что можно найти оценку FN(x/Qu ..., 0А), ко­

мая при первом подходе оценка F(x/Q......... 0*). Четвертый подход состоит в том, чтобы, используя некоторые свойства выборочных моментов и остроумную рандомизацию, спроек­ тировать сложную гипотезу на простую.

Кратко изложим результаты, полученные в указанных че­ тырех направлениях.

Основная идея первого подхода состоит в том, чтобы рас­ сматривать вместо «расстояния» p(F, G) меру уклонения

ЛЛ Л

p(.F(jf/0i, ..., 0ft), G); тестовые статистики при этом будут по-

Л

лучаться путем оценивания р при использовании вместо G эмпирической функции распределения GN. Практическое зна­ чение получаемых таким образом тестов зависит от ответов

на следующие вопросы:

л

1. При каких условиях тесты на статистиках рдг облада­ ют непараметризностью? Точнее, какие требования должны

сохранение уровня значимости и позволило бы пользоваться уже имеющимися таблицами критических значений).

2. Если таких условий не существует или они выполня­

262

При каких ограничениях эти предельные распределения не зависят от конкретных значений параметров {0f}? (Тогда появилась бы возможность составления таблиц специально для этих тестов).

Поиску ответов на эти вопросы посвящены работы Дар­ линга [3], Гихмана, Гнеденко и Смирнова [1], Лиллифорса [1, 2]. Ими были рассмотрены модификации тестов Колмо­ горова (Ддг) и Крамера — Мизеса — Смирнова (ш2). Оказа­ лось, что для модифицированного <а2-теста предельное распре­ деление совпадает с таковым для простой гипотезы, только если параметры {0;} допускают «суперэффективные» оценки,

\

то есть если Л^£[(0(-—0г) 2]->-О при N-*~oо. Существование су­ перэффективных оценок является чрезвычайным событием; на практике обычно встречаются оценки, для которых

УЛД0г—0 ,) имеет предельное нормальное (0, о2) распреде­ ление. Для таких оценок модифицированные оо2- и DN-тесты теряют свойство непараметричности. Предельные распреде­ ления при гипотезе в этом случае совпадают с распределе­ нием величины J Y2(t)dt, где Y(t) — определенный гауссов процесс и зависит от типа распределения при нулевой гипо­ тезе и от истинных значений параметров. Только в том слу­ чае, когда параметры являются сдвигом и масштабом и их оценки асимптотически эффективны (например, оценки мак­ симального правдоподобия), исчезает зависимость предель­ ного распределения статистики от этих параметров. В связи с этим Кац, Кифер и Вольфовиц рассмотрели критерий нор­ мальности: параметры нормального распределения оказыва­ ются именно параметрами сдвига и масштаба (немаловажна также широкая распространенность нормальных распределе­ ний во многих практических случаях). Они довели резуль­ таты до получения таблиц предельных распределений для модифицированных со2- и D -тестов.

Несколько слов об использовании %2-теста. Уже сам Пир­ сон [1] сделал попытку обобщить х2-тест на случай сложной гипотезы путем замены истинных математических ожиданий тг на их оценки, полученные с помощью предварительного оценивания неизвестных параметров {0;} по самой выборке. Ему, однако, не удалось полностью решить вопрос о пра­ вильном выборе числа степеней свободы в этом случае. Этот вопрос был решен Фишером [1]. Последний подчеркнул, что предельное распределение х2-статистики существенно опре­ деляется тем, какой метод выбран для оценивания парамет­ ров. Если берутся оценки максимального правдоподобия, то верна следующая теорема (Крамер [1]):

Т е о р е м а 9.12.1. Пусть вероятности рг (01, ..., 0*),

263

непараметрическим, если пользоваться оценками максималь­ ного правдоподобия для неизвестных параметров (при этом лишь число степеней свободы уменьшается на число оцени­ ваемых параметров). Это, естественно, делает х2_кРитеРий весьма привлекательным для практики именно в случае сложной гипотезы. Правда, оценки максимального правдо­ подобия не всегда оказываются существующими или доста­ точно просто вычислимыми, но это особый вопрос.

Принципиально иной подход к решению задачи согласия со сложной гипотезой состоит в том, чтобы сконструировать «расстояние» (или сразу статистику), заведомо не зависящее от неизвестных параметров, но изменяющееся при переходе от распределений одного типа к другому. Иными словами, вводимая мера уклонения между гипотезой и альтернативой должна быть функционалом этих распределений, инвариант­ ным относительно неизвестных параметров. К настоящему времени принципы построения таких «расстояний» (или не­ посредственно статистик) разработаны лишь по отношению к параметрам сдвига и масштаба. Эти принципы состоят в использовании свойств выборочных интервалов и леммы Вайсса (см. § D.4) для исключения сдвига и в использова­ нии операции деления для исключения масштабного пара­ метра.

Например, Вайсс [4] предложил пользоваться статисти­ ками вида

(9.12.1)

в которых сдвиг уже исключен, а тестовую статистику Вайсс конструирует в виде

264