книги / Многомерный анализ и дискретные модели

Первой член в правой части (4) совпадает с первым членом в последней строке' (3), получающимся после раскрытия скобок. В последнем члене правой части (4) не обращается в нуль лишь произведение —(?(р) (&(р) ^ ® е*) ^ (ds{r) ® 5**). Если dsir)¥=0, оно приводится к: виду

Q(r) QСР) (s(p) ^ d s ir)) ® (ех о 5Ц) ,

т. е. совпадает с соответствующим членом в последней

проверка по индукции; несколько утомительна.' Если теперь

— некоторая фиксированная <область»--совокупность /г-мерных элементов комплекса <£(тг) (всегда; если не оговорено противное, предполагаемая конечной), то фор­ мула

говорить 6 гильбертовых пространствах HP(V). Как и ранее, для форм различной степени произведение (6) по­ лагается равным нулю.

1.3.Подразделения и предельное пространство. Со

рассмотрен предельный переход, связывающий дискрет­ ные объекты с континуальными. При этом будет пред­ полагаться, что дискретная структура возникает при «подразделении» некоторой области евклидова простран­ ства. ^ Существует, однако, предельный процесс иного

152 МОДЕЛЬ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА [гл. г а

типа, позволяющий связать с соответствующим образом

разделениями связываются одновременно так называе­

изоморфными группам исходного. .Подобные конструкции, играют важную роль в определении групп гомологий то­ пологических пространств и в -доказательстве их тополо­ гической инвариантности.

Мы проиллюстрируем сказанное рассмотрением три­ виального одномерного примера, отделив к тому же-опи­ сание предельного перехода от определения цепных/ото­ бражений. Удобным введением в описанный круг вопро­ сов, не требующим предварительных сведений, может служить статья [2].

Пусть i©(v)}, v = 0, 1,' ...,— бесконечная последова­ тельность одномерных комплексов с . образующими -трупп цепей (одномерных и нульмерных), записываемыми в

в2к «точкой» 'Х2к. Определим проекции Jtv: ©(v+i) -*■ ©(v) — отображения элементов:

в а н ы с гомологической структурой, т. е. не коммути­ руют с оператором д. Другой* тип отображений, лишен­ ней этого недостатка, будет указан ниже.

Образуем топологическое пространство Е, точками

(/v “г какая-либо из образующих eh х5\ мы не имеем дела (уцепями), в которой выполняется требование jtv£v==£vr-i. Заметим далее, что всякий комплекс обладает естествен­ ным частичным упорядочением: х < у, если ж е ду\ В ча­ стности, в ©(v) xkj ххк< ек. Совокупность окрестностей (открытых) точки | определим,,считая, что при каждом

всех v. Множество всех точек, определяемых,минималь­

имно однозначного соответствия между минимальными последовательнрстями и точками I, рассматриваемыми как прёделы цепочек вложенных интервалов, получаю­ щихся при последовательных подразделениях I на. 2V частей. Одновременно может быть установлено и взаим­

осуществляемом с помощью цепных отображений,' т. е. отображений цепей, перестановочных с операцией д, Как отмечалось, наличие подобного соответствия между комп­ лексами обеспечивает изоморфизм групп гомологий.

Сохраним обозначения, использованные в (7), отме­ чая дополнительно штрихами образующие комплекса @(v+t) (в отличие от образующих комплекса ©(V)). Опре­

Общее определение подразделения комплекса и тесно связанного-с ним понятия подкомплекса можно найти, например, в [30], с. 220; [21], с. 3Q. Построения, аналдгичныё проведенным, могут быть реализованы в случае симплициальных (или кубических) комплексов произ­ вольной размерности.

§ 2] РАЗНОСТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ 155

В данном параграфе мы не будем пользоваться ^яв­ ным» видом оператора d (или определяемого ниже опе> ратора б). Подобная запись будет для нассущественна лишь в § 3, 4. Пока нам потребуется более внимательно рассмотреть дискретный аналог формулы Грина, связы­

При условии обращения в нуль «граничных членов»— первого слагаемого последней строки (2)— будем

(^©?. x ) r = « 6 x ) v .

Упомянутые условия могут быть выбраны в виде тре­

Досадным свойством соотношения (2), являющегося фундаментальным для дальнейших рассмотрений, ока­ зывается отмеченный в § 1, гл. О факт недостаточности при его использований задания со, % только как элемен­ тов пространств^ Яр~! (7), HP(V) соответственно. 'В (2) входят «лишние» компоненты форм <в, %. Следствия это­ го явления, с которым необходимо считаться при вни­ мательном анализе конкретных задач, иллюстрирует со­ держание § 3. Пока мы ограничимся замечаниями, от­ носящимися к формальной стороне вопроса, имеющей два нсйекта: один связан с нашим способом определения скалярного произведения и пространств Я р, а другой — с «нелокальностью» дискретных'операторов d, б.

Обратимся к первому. Введем некоторые вспомога­ тельные понятия. Совокупность <£' элементов из Ш(п)

ется его р-остовом.

В частности, замкнутый подкомплекс Fx можно сопо­

комплекса Fx содержит 2Ср элементов и все они, в ча­ стности, входят в p-остов^границы dFx, что существенно, если речь идет об использовании (2) . В области (5), § 1 общего вида с отмеченным явлением приходится счи­ таться в окрестности определенной части границы dV.

.В отношении второго4из упомянутых аспектов доста­ точно заметить, что, как очевидно, для определения dee (или бо) на некоторых элементах, принадлежащих dV (или близких к 9F), необходимо задание рассматривае­ мых _форм на остове комплекса JIF, более широкого, чем V.

Обращаясь к вопросу о «явной» записи оператора б,4 задаваемого (3) (записи, подобной. (1) для d), удобнее всего как и .для d, воспользоваться аналогией с конти­ нуальным определением. При этом, однако, дастные раз­ ности-будут иметь несколько иной вид. К примеру, ана­ логом частной производной —Dzv, входящей в 6г>, будет разность

—^х1ах2х3 —

2.2.Ортогональные разложения и коюшилипш. Фик­ сируем размерность п для 6 (гг) й, область F, задаваемую конечной суммой (5), .§ 1. Будем писать Нр в.место HP(V): Под Кр будем понимать линейное пространство форм степени р, заданных над всем р-остовом (5?с:®гз

23 ©(гг). Пусть ФбСгД*4"1— линейное пространство форм, подчиненных дополнительно однородным условиям (Г*), п. 2.1; через Ml с Нр обозначим область значений

ничных условий, и удобно несколько изменить запись. Рассмотрев одновременно ортогональное дополнение

в Нр к 8td, можем представить^#* в виде

#p - 9 ? d ®9Ц

Ут в е р;ж д е н и е 2. Имеет место включение Щ с 91$* ■

= ф 91$ ® Зв ' и сравнивая с (4) *будем Иметь

- я&п я* = ж

Полученное разложение

=\%@.Ж

является аналогом т е о р е м ы К о д а и р ы для много­ образия с границей. Подпространство Ж играет; при этом роль группы когомологий для V.

. Приведенные построения допускают много вариантов. Например, начав (вместо ) с — подпрост­

п р о с тр а н ств а^ ,.^ оказываются; как правило, изоморф­ ными. Другой вариант — выделение подпространства форм, «гармонических внутри V»:

( ср . §3) .

2.3. Естественные уравнения. Удобно иногда называть1 «естественными» уравнения (системы), рассмотренные в § 3, гл. II, подчеркивая их простую инвариантную за­ пись с помощью d, б. Теперь к этому прибавляются и «естественные» дискретные аналоги.

Продолжая считать 'фиксированной некоторую об-

тинуальном случае (с заменой спаривания OV, ...> на поверхностный интеграл) и, как отмечалось в § 4, гл. II, может быть использована при исследовании соответ­ ствующих дифференциальных уравнений.

Обычным способом использования (5) при изучении граничных задач является введение в рассмотрение со-

Аналогичные построения осуществимы для решений системы (L) и переносятся.на общие системы (Z), (L*),

§3, гл. II, соответствующие тг-мерному случаю.

За м е ч а н и е . Использованный прием получения не­ равенств (7), (9) не годится, разумеется, при введении масштаба и «размельчений» комплекса <£(и), неограни­ ченно увеличивающем размерность (конечную) про­ странства HP(V) при фиксированной «геометрической» области У. Соответствующие процедуры размельчения нужны для рассмотрёния аппроксимаций континуальных объектов дискретными. Пригодные в этом случае кон­ струкции приведены в § 3.

Воспользовавшись сделанным замечанием о справед­ ливости аналогов неравенств (7), (9) в /г-мерном слу­ чае, сформулируем вытекающие отсюда следствия, от­ носящиеся к уравнению Пуассона:

У т в е р ж д е н и е 3. Для *любой /; ортогональной Жр, существует единственное ортогональное подпростран­

и условия (11) обеспечивают обращение в нуль гранич­ ных членов, ядро оператора А принадлежит Ж Из (12) одновременно следует, что для x> *to, удовлетворяющих (11), верно равенство (Ах, ®)r = (x> А’©)У; т. е. задача чявляется самосопряженной. ■