книги / Многомерный анализ и дискретные модели

§ 21 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ (Hh Ю1

ства, а на гладком многообразии Ж, и вместо скалярных функций рассматриваются дифференциальные формы.

Введем на IHr f| С1 новое скалярное произведение, по­

где ©л, Хд —проекции 0 , х на,91д. Пополнение указанного

зоваться гладкой аппроксимацией). Аналогично устанав­

То, что Ша входит одновременно и в условие разреши­ мости, и в условие единственности решения является есте--

зательства существования обобщенного решения при про­ извольной /еЭ?д. Представим правую часть в (11) в виде

/ = /d®/e, U = dfu /в = б/2.

В (11) должны, очевидно, иметь

йбсо = fd7 бdto = /б.

Можем решить уравнение dS®\ = dfu или 6 coi = Д, при дополнительном предположении dto\ = 0 , так что 6 d<oi = = 0. Аналогичным образом поступим с уравнением 6 d<02 s

ным решением уравнения (И), принадлежащим 81д. Име­

надлежащее 9?д.

Теперь ясно, что всякая форма й)<=91д будет обобщен­ ным решением уравнения (9). На гладком М -«■ одновре­ менно классическим.

Из наших рассмотрений следует, что для замкнутого оператора А: 3>(Д)(Шд -^91д существует обратный А-1, заданный на всем подпространстве 9?д. Следовательно, со­ гласно теореме Банаха [10], справедливо

У т в е р ж д е н и е 5. Оператор А-1: Шд -^91д огра­ ничен. ■

Отметим в заключение, что и на Ж справедлива, ко­ нечно, теорема вложения:

Wc:IHr, |«>,lHrJ< C |(o ,W |,

без использования которой мы обошлись. Л о получение ее требует дополнительных построений. (Ср. равенство (7), § 3 этой главы.)

2.3.Теоремы де Рама, Ходжа и Коданры. Возвращаяс

кразложению (8 ), установим связь приведенных построе­ ний с алгебраическими и геометрическими конструкция­ ми, рассмотренным в § 2, гл. I. При этом одновременно полезно иметь в виду точку зрения, относящуюся к инте­

грированию ц операции ^.изложенную в пн .-3, 4, § 4, гл. г:

Будем рассматривать Нг как пространство к о ц е п е й некоторого комплекса Ж(М), a d: lHr ->!Hr+1— как по­

г р а н и ч н ы й о п е р а т о р . v3 aMeTHM далее, что при на­ личии гильбертовой структуры рассмотренное в п. 2 под­

Разумеется, на уровне наших построенйй приведенное замечание — не более чем некоторая аналогия. Тем не менее действительно справедлива

Те о р е м а (де Рам). Пусть на гладком многообразии

Мзадано полиэдральное подразделение, позволяющее со­ поставить ему комплекс К(М) коцепей (вещественных). Тогда группы когомологий Жг{К{М)) и ЖТ(Ж(М)) изо­ морфны. ■

Примерами комплексов, определяемых полиэдральным подразделением гладкого многообразия, могут служить построенные в п. 2 .2 , гл. I для окружности, сферы и тора.

Из приведенной теоремы следует, что размерность

образия это число всегда конечно.

Для заданного М изоморфными оказываются не толь­ ко группы ЖГ(К), Жг (Ж), но и упоминавшиеся в § 2,

внешним умножением дифференциальных форм.

Теорема де Рама, хотя и остается несколько в стороне от основной линии изложения, играет фундаментальную роль в выяснении принципиальных установок данной мо­ нографии. Теорема устанавливает, что некоторые; важ­ нейшие характеристики такого объекта, как дифференци­ руемое многообразие, могут быть получены, с одной сторопы, в результате изучения заданной на нем контину­ альной структуры, а с другой — в результате анализа со­ ответствующей «конечной модели» алгебраического харак­ тера, даваемой полиэдральным подразделением.

Следует отметить, что мы привели простейший вари­ ант теоремы де Рама, допускающей далеко идущие обоб­ щения (например, [38])

§ 3] ИНВАРИАНТНЫЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Ю5

предполагая dimM = 3. Система (1) будет; как очевидно, переопределенной (неизвестных функций-компонент © — три, а уравнений — четыре). Дополнительным необходи­ мым условием разрешимости (1 ) является требование

# = 0 .

Разложение (8 ), § 2 , примененное к* И2, указывает воз­ можность избавиться от переолределенности, сделав си­

Для второго из уравнений, как в (1), так и в (2), условие й е К’д с № также необходимо для разрешимости (в дан­ ном случае 9^ = %*). Окончательно, разложение (8 ), § 2 и результаты п. 2 . 2 дают

связано с использованием определенных в п. 2 . 2 расшире­ ний операций d, б.

изучавшейся рядом авторов [3], £6 6 ].

Займемся теперь некоторыми свойствами, системы (2) , весьма существенными для обобщений; Заметим, что в ка­

и рассмотрим транспонированную (формально сопряжен­ ную) систему, содержащую оператор L*, определяемый со­ отношением

(L&i, Хи) = (®1 ? Ь4хи),

где Хи ~ совокупность достаточно гладких форм четной

тде индекс в скобках — степень соответствующей формы. Уравнения (4) в свою очередь могут рассматриваться как аналог (3). Для них очевидным образом справедливо утверждение, аналогичное утверждению 1 , относящемуся к (2). Сформулируем окончательный результат для си­ стем (L)f (L1), используя обозначения, смысл которых

очевиден.

Т е о р е м а 1. Для любых fu, g существует един­ ственное обобщенное решение систем (L), (Ц), удовлет­ воряющее условию

OI IA = % н 1д = 0. ■

Обратимся теперь к случаю dimM = 2, остановившись специально на вопросе о «двумерном векторном анализе». На основе проведенных рассмотрений нетрудно указать двумерные аналоги систем (L), (£*). В развернутой за­ писи они будут иметь вид

0 , / для совокупностей как четных, так и нечетных форм).

ком).. Если считать, что компоненты 0 (i)— пара функций

Таким образом, системы (2), (4) являются, в исполь­ зуемом круге идей, трехмерными аналогами уравнений Коши — Римана. Это отмечалось в [3], [6 6 ]. На некоторых результатах, связанных с указанной аналогией, мы оста­ новимся в тг-мерном случае.

щей степени. При ?г нечетном вид. последней строки в каждой из систем будет иной:

Каждая из систем будет содержать 2П“! неизвестных ^функций (компонент форм) и такое же количество урав­ нений.

Воспользовавшись тем, что (d + 6 ) (d + 6 ) = d6 + 8d = = —Д, немедленно заключаем, что квадрат характеристи­ ческого определителя для каждой из систем (L ), (1?) имеет вид

(й + - • • + Й )1 (следовательно, в самом определителе надо заменить по­

пользуя цепочки ортогональных разложений пространств

1НГ и те же рассуждения, что и в п. 2.2, п. 3.1, Получим аналог теоремы 1 .

Т е о р е м а 2. Для любых /г, /п <= 9iAсуществует един­ ственное решение .систем (L), (IS), удовлетворяющее ус­ ловиям

Из теоремы 2 и рассмотрений п. 2.3 следует интерес­ ное утверждение, относящееся к так называемому ин­ дексу рассматриваемых систем, определяемому как раз­ ность между числом условий на неизвестные функций, обеспечивающих единственность решения, и числом усло­ вий на правые части, обеспечивающим разрешимость. В обычных обозначениях

ind L = dim Ker L — dim Coker L

(зачастую индекс определяется также как разность числа

линёйно независимых решений данной и сопряженной однородных систем).

В нашем случае/согласно теореме 2,

Как было отмечено в п. 2.3, dimS^ = В%, т. е. совпа­ дает с соответствующим числом Бетти для М. Альтерни­ рованная сумма чисел Бетти называется эйлеровой харак­ теристикой М (см. [2 1 ], [31]). Отсюдё ползаем

У т в е р ж д е н и е 2. Для систем типа Коши — Рима- на, рассматриваемых на многообразии М,

indL* = %(М) = —ind L.

Остановимся на принадлежности обобщенных решений пространствам W. В общем случае, как й В п. 2.2, про­

странство W срИг получается пополнением линейного

многообразия - IbfQC1—по норме, порождаемой скалярным произведением

{со; %}= (dco, йх) + (бсо, 6 х) + (<0 а/ х*) •

Рассматривая скалярные квадраты правой и левой части каждого из равенств, входящих в (L) (в (L*)), и пользу­ ясь тем, что для-гладких форм (d<a, бы) =^0 , а исследуе­ мые решения являются сильными (допускают гладкую аппроксимацию), получаем для каждой из форм, входя­ щих в систему (и удовлетворяющих, условию (6 )), оцен­ ку суммы (do), йш)"Н(бсо, 8 <о) через правые части. Сово­ купность этих оценок даст

I®i, W |2 —

=(ctoi, d^i) -Ь (Scoi, 5coi) = | Lm, [Н|2 = ] /и, !Н|2. (7)

Аналогичная оценка справедлива, очевидно, и для форм 0)ц, входящих в (L*).

Из (7) следует принадлежность обобщенного решения пространству W, и одновременно— независимое от ис­ пользования ортогональных разложений доказательство

надлежит , т. е, пусто (здесь мы снова используем