Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

14.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2115 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Решение и так же ищем в виде суммы решений v и w задач (6.62) и (6.63), в одной из которых вместо уравнения Лапласа рассматривается исходное уравнение Пуассона. Пусть для определенности уравнение Пуассона будет в задаче для v:

^ХхЛ~'Vyy~f y)i

V\|х-о =	®\|x-e = 0,	(6.68)
T»\|ÿ= o = viU'),	v\y-b=v2(xh	0 < * < a .

Решение задачи (6.68) представляют в виде ряда по собствен ным функциям задачи (6.64), (6.66) с коэффициентами, зави сящими от у:

оо

•о{х,у)=У^ап(у) s i n - ^ - .

(6.69)

П=1	CL

Подставляя этот ряд в уравнение и краевые условия при у —О и у = Ь , получаем

2 [**(#)—	2^ M ÿ ) j s i n - î!î£-=/(.>c,ÿ),
л-11-	й	J	а

2 a „ (0 )'s in -^ -= v 1(j:), Я=1

2 a „ (é)sin -2 ^ -= v 2(x). Л-1

откудаУ л=1, 2,...

а*п(У)----- j - a n{y) = —		ï f ( x ty ) s in - ^ - d x
а*	a	J	а

(здесь в интеграле по переменной х у рассматривается как па раметр)

ап(0) —	a	f vi (*) si n ——dx ,
	a	J	a
		о	(6.70)
		CL	(6.70)
		CL
an(b)==-^- f v2(A:)sin ^ ^ —dx.
	a	J	a
		о

Найденные решения an(y) краевых задач (6.70) подстав ляем в ряд (6.69). Сумма полученного решения v{x, у) задачи

(6.68) и решения w(x, у) задачи (6.63) является решением ис ходной задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

Пример 3. Решить задачу Дирихле для уравнения Пуассона

в области	/} = \|(г ,< р )\|0 < г < а , 0 < < р < ~ -
	} :

	t J i - yttrr-\	— iir-J—— ип — г,
	и lç>=«о— и ]<р= я/з— О ,		(6.71)
	и lç>=«о— и ]<р= я/з— О ,
	« lr -a= ?(3'f —л),
\| м (0, 0 ) \| < о о	(условие	регулярности решения	в точке
г = 0 ).			однородные,
Так как при ф = 0 и ф = я /3 краевые условия			однородные,

то можно искать решение в виде суммы u—v+w, где v — ре

шение задачи Дирихле для уравнения Лапласа	с исходными
краевыми условиями	...

Av=0,

v \|?-о= т;\|1р-я/з=0, \| к (0,0) \|< оо,	,	,	(6-72)
	® \|/-а = ? (3 ? — л),

и w — решение задачи Дирихле для исходного уравнения Пуас сона с нулевыми краевыми условиями

дw = r ,

W \|f_o=ŒI \|,_,/з=!Ю Ir-o —0,	I w (0,0) К	(6.73)
W \|f_o=ŒI \|,_,/з=!Ю Ir-o —0,	I w (0,0) К	СО.
(Задачу с неоднородными краевыми	условиями	при ф = 0 и

Ф = jt/З сводят предварительно к задаче с однородными крае


выми условиями, вычитая из решения и функцию,		удовлетво
ряющую при ф = 0 и ф = я /3 исходным краевым	условиям).
Задачу (6.72) решаем методом Фурье. Представляя		решение
и{г, ф) в виде произведения #(г)Ф (ф), подставляя	в уравнение

и однородные краевые условия, разделяя в уравнении перемен ные, получаем

r W + r R '		ф•
R	~	Ф	’
/?(г)Ф (0)=Я (г)Ф ( у ) = 0		Y г ,	0 < г < ® .

Учитывая, что И(г)Ф0, и полагая Ф"/Ф=—Я, приходим к си стеме уравнений

r2R " + r H ' - l R = 0;	(6.74)
Ф''- f ХФ=0;	(6.75)

	ф ( 0 ) = ф ( т ) = 0.		(6.76)
Задача (6.75), (6.76)	относительно	Ф(ср) является	задачей
Штурма — Лиувилля. Ее собственные значения и собственные
функции соответственно равны
Х„=(3я)2,	<D„(<p)=sin3/i<p,	п,— 1,2,....	(6.77)

Переходим к нахождению решения уравнения (6.74) при

Х=Ял. Это уравнение	Эйлера.	Его решение ищем в виде
R ( r ) = r a. Подставляя	г° в (6.74)	при Х = (3я)2, находим

г2а(а— 1 ) г0-2 -(-гог0-1 — (3я)2га= 0 ,

откуда а = ± 3 я . Функции Rn\{r)—r3n и Rn2{r)=r~3n образуют

фундаментальную систему решений уравнения Эйлера, его об щее решение имеет вид Rn{r) = A nr3n+Bnr~3n. Из условия регу

лярности решения в точке г = 0 получаем				\|	(0) \| <оо. Этому
условию не удовлетворяет Rni(r). Поэтому следует						положить
Вп= 0 . Тогда решение задачи		(6.72)	ищем в виде ряда
■и=	2 Апг3п sin 3/z.cp,					(6.78)
	л-1
коэффициенты которого находим из краевого условия						t/i \|г==а=
=ф (3ф —я). Имеем
<р(3<р_я)=^ Лла3яэ1пЗя«р,
откуда	л-1
откуда
ж/3
2-з						(6.79)
л I <р(3«р — JT) sin		Зя<рд?<р=		9а3лял3		(6.79)
л I <р(3«р — JT) sin		Зя<рд?<р=		9а3лял3
Решение задачи (6.73) будем		искать в виде ряда по уже най
денной системе собственных функций (6.77)					задачи Штурма —
Лиувилля (6.75), (6.76) с коэффициентами,					зависящими от г.
Имеем
да(/- < р )= 2 ô„(r)sin Зя<р.						(6.80)
	л-1
Из условия регулярности в точке г—0 получаем
1МО)\|< оо,		я — 1	, 2	,	( 6 .	8 1 )
а из краевого условия w \|г = а = 0 —
оО
2	6я(я)81пЗя<р=0,

л -1

		bn(a)=0,		л = 1 , 2 , . . . .	(6.82)
Подставляя ряд (6.80)			в уравнение Пуассона, получаем
	2 { b ' n + - j K — ^ 6 „ ) s ln 3 n 9 = r ,
	П=»1 4			'
откуда
	9л2	,	iç/3	. 0 , _	2г[1 - . ( ~ 1 ) п]
Ь'Л	9л2	,	2*3 Г	. 0 , _	2г[1 - . ( ~ 1 ) п]
Ь'Л	К -----—	Оп= —— \		rsin3/îcpi<p	лл
					лл

(6.83)

л = 1 , 2 , __

Таким образом, искомые коэффициенты Ья(г) являются реше ниями краевых задач (6.83), (6.81), (6.82). Решение однородно го уравнения

в силу условия (6.81) имеет вид (6„(г))0днор=/СпГ3л. Подберем теперь частное решение уравнения (6.83), предварительно ум

ножив его на г2. При п=2т уравнение (6.83)					однородное. При
п = 2т + \ рассмотрим два случая.
1) п—2т + 1>1. В этом случае, представляя решение в ви
де СлГ3 и подставляя его в уравнение				(6.83), находим
			4
		9 (л2 — 1)ля
2) п = 1.	В этом	случае,	представляя		решение	в виде
Dir3lnr и подставляя в уравнение (6.83), находим
		D =	1
		D =	2л ‘
			2л ‘
Окончательно имеем
(	К пг'3/\|		при	п=2т ,
I		4г3	при	п= 2т -\-\ ф 1,
Ь„(П=		Элл (л2 — 1)	при	п= 2т -\-\ ф 1,		(6.84)
	АТ,г»-	Г3 lnr	при	п — 1.
	Зя

Используя краевые условия (6.82), найдем значения

144

при п = 2 т л

9ПД ( t f - o g3~3'’ при л = 2 т + 1> 1-	(6.85)
при я = 1 .

Подставляя в ряд (6.80) полученные из (6.84), (6.85) выраже ния для коэффициентов Ьп(г), найдем решение w краевой зада чи (6.73) для уравнения Пуассона.

Пример. Найти стационарное распределение температур внутри цилиндра, высота которого Н, радиуса а, если его бо ковая поверхность теплоизолирована, на нижнем основании поддерживается нулевая температура, а на верхнем основании

температура	является известной функцией расстояния г от
оси.	сводится к нахождению температуры ы=«(г, z)
Решение	сводится к нахождению температуры ы=«(г, z)

как функции цилиндрических координат г, z, удовлетворяющей уравнению Лапласа

игг Н— й г +	= 0	(6 .8 6 )
и следующим условиям:
tti,-o = 0 ,	0 < г < я ,	(6.87)
\|Я(0)\|<ОО, Иг[г-а= 0.		(6.88)
Р е ш е н и е . Согласно методу Фурье полагаем
u(r,z)=R (r)Z(z).

Подставляем это произведение в уравнение (6.86), краевые ус ловия (6.88) и разделяем в уравнении переменные

R " + — R '
--------J --------+ - Ç = 0 . /? '« !)= О,		1/?(0)\|<оо.
Отсюда, полагая первое отношение равным— X,			имеем
1	r W + r R ' +>.r*tf=0;		(6.89)
•	\|tf(0 )\|< o o , R '(a )= 0;		(6.90)
.. z"—X z=0.			(6.91)
Решениями задачи	Штурма — Лиувилля	(6.89),	(6.90) явля

ются функции Бесселя /о(У Хг) нулевого порядка, удовлетворяющие условию

Jü(V^r) |r -a = A (V ^ ^ )= 0 .

Обозначая через ць р,2>•••* р-л,... положительные				нули функции
получаем собственные значения и собственные функции
задачи Штурма — Лиувилля
	Я » (г)= /в(Л*-г),		п = 1,2 .......
Решениями уравнения	(6.91) при	являются
Z n(z)= A nz «		+ Я яе	« .
Представляем решение и (rt z) в виде ряда
и (г, z )= 2	{лпе ~ * + В пе~ ~ *) J0			»

коэффициенты которого находим, удовлетворяя краевым усло виям (6.87). Имеем

2 И л + а « ) Л ( —			2)= о .
л —*1	'	Л	*
2 ( л ^ " + 5 . е ' ^ ) у 0
ОтсюдаV п— 1, 2,... имеем Вл= —Ап и
	j e / (/•)/„			r)dr
А.=-	IW^Hf
*А[ ^ И)	IW^Hf
\ а	и	\	a j	\|\|
Учитывая, что ря— нуль h{x)	и что /</(л:) = —				П0ЛУчаем

~ f - p 7 ( h ) + (

«Таким образом,

f '*/('')/о ( *~f” r) dr

я - l sh

4 о**)

не

§ 6.6. ПОТЕНЦИАЛЫ, ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА СВЕДЕНИЕМ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

С ПОМОЩЬЮ ПОТЕНЦИАЛОВ ПРОСТОГО И ДВОЙНОГО СЛОЯ

Потенциалы потенциальных векторных полей без стоков и источников являются гармоническими функциями. Действитель но, как известно из векторного анализа, векторное поле потен циально тогда и только тогда, когда оно является полем гра диентов некоторой скалярной функции, и если с = —grad и, то и— потенциал векторного поля й. Если векторное поле а в об

ласти D не имеет	стоков и источников, то divfl=0 в области
D. В этом случае div grad и—0 или Аи=0, и потенциал и—
гармоническая в	D функция. Отсюда следует, что решение

краевой задачи для уравнения Лапласа можно искать в виде

соответствующего потенциала. Рассмотрим								используемые при
решении краевых задач потенциалы.
	Потенциал точечного заряда. Пусть электростатическое поле
создано		единичным		точечным	зарядом	е+, расположенным				в
начале координат О (рис. 6.10). Вектор							напряженности		Ям	в
точке М этого			электростатического поля по закону Кулона ра
вен	Еи	k	г	где г=ОМ и г = \| г\|.			Нетрудно показать,
		Г2	г
	_
что			г	, откуда	следует,		что	потенциал	этого
	=	— grad—
электростатического				поля и =	k	Так как потенциал				в
					----- \-с.

точке М есть работа вектора Ё по перемещению одноименного заряда из бесконечности в точку М, то м->0 при оо, откуда с = 0 (заметим, что при с = 0 потенциал ti=k/r удовлетворяет условию регулярности гармонической функции на бесконечно сти). Итак (полагая 6 = 1 ) , имеем

и ( М ) = ----

(6.92)

гОл

Потенциал диполя. Пусть на прямой I расположены в сим метричных относительно точки Р точках Pi и Р2 два разно именных заряда q+=Nln и q-=N/h, где h— \PiP2\ (рис. 6.11), так что при сближении зарядов, т. е. при 6->-0, остается постоянным произведение qh—N. Такая система двух зарядов называется диполем, а величина N — моментом диполя. Пря мая / с выбранным на ней направлением от отрицательного за ряда к положительному называется осью диполя. Найдем по

тенциал диполя	в точке	М.	Из	того, что grad « i+ grad и2=
=grad(wi + M2),	следует,	что	для	потенциальных нолей имеет

место следующий принцип суперпозиции: при наложении по лей их потенциалы складываются.

Полагая п = | Р\М| , Гг= |Р2М | , г— | PM| , 6 = ( .PM| , Т), полу

чаем, что потенциал диполя в точке М равен
и(М)=Нш —	I—--------	д1	grad у cos 0 =
Л -* о h	\ г2 гх )	д1
	N	cos 0
	г2

или

и ( М ) = N	cos (РМ, 1).	(6.93)
РМ

Логарифмический потенциал. Пусть заряды распределены на оси OZ с постоянной плотностью р. Тогда во всех плоскостях, перпендикулярных оси OZ, создаются одинаковые электростати ческие круговые поля с центрами на оси OZ. Рассмотрим поле в плоскости XOY и найдем его вектор напряженности в точке М. Для этого выделим в точках А (6; 0; z) и В{0; 0; —z) заряды величины рdz и построим вектор напряженности Е3 создавае

мого ими поля	(рис. 6.12). Пусть г— ОМ, r = \| f \| , а=(ВМ , Ох).
Имеем
\|S 3\|= 2 \|£ j c o s a = 2 - ^ = p - c o s a ,
	z A= r tg a , d z = - rda
	c o s2 a
Следовательно,	\| Æ’a \|= 2p cos ada

Обозначая через Е вектор напряженности поля, создавае мого заряженной осью OZ, получаем

121= 2 ?-“		^ rfa-.it-,	£ = J L - L .
J	r	г	г г
о

Непосредственными вычислениями можно проверить, что

£ = - g r a d ( 2 p l n - 4 ,

откуда следует, что потенциал и в точке М равен
и(Л1)=2р1п—— .	(6.94)
ОМ
Этот потенциал называется логарифмическим.
Пусть на оси OZ распределены диполи с осями, параллель
ными одному и тому же вектору nJ-OZ, и с одинаковыми		мо
ментами. Пусть также плотность распределения	диполей	по

стоянна: p=const. Проводя те же рассуждения, что и при вы воде потенциала диполя, заменяя при этом потенциал точечно го заряда в R* на логарифмический потенциал, получаем

и(Л 4)=-^-/2р1п— — ) =		2р cos (ом, д)
àn \	rQM J .	го At

Потенциал простого слоя в пространстве. Пусть s — гладкая поверхность в R2, и на ней распределены заряды с плотностью р(Р). Выделим в точке Р элемент поверхности площади ds (рис. 6.13). Будем считать, что в точке Р сосредоточен заряд величины p(P)ds. Потенциал создаваемого этим зарядом поля

в точке М согласно формуле (6.92) равен ■ ^— . Исполь-

грм

зуя принцип суперпозиции для потенциала электростатическо го поля, создаваемого заряженной поверхностью 5, получаем выражение

ц (М )= Г Г -р-(Р) ds .

(6.96)

ГРМ

Этот потенциал Называется потенциалом простого слоя.

Потенциал двойного слоя в пространстве	R3— это потен
циал электростатического поля, создаваемого	в точке М рас

пределенными по поверхности диполями. Оси диполей направ лены по нормали к поверхности (рис. 6.14). Плотность распре деления диполей р(Р). Выделяя в точке Р элемент поверхности площади ds, используя формулу (6.93) при N = p(P )ds и прин

цип суперпозиции				для потенциала
двойного	слоя,		получаем		выраже
ние	•SS
u(M)t		р (Р) cos (P M , пр )				ds.
				PM
						(6.97)
Потенциал			простого		слоя в
R2— это	потенциал плоского					поля,
создаваемого зарядами, распределенными			с	плотностью		р(Р)

на гладкой дуге L. Выделяя элемент дуги dl, используя выра

жение (6.97) для логарифмического потенциала	со значением
р(P)dl вместо 2р и принцип суперпозиции, имеем
и (М )= Г р(Я)1п —-— dl.	(6.98)

уГР М

Потенциал	двойного слоя в	R2— это потенциал	плоского
поля, создаваемого диполями,		распределенными	на	дуге L.
Пусть плотность распределения диполей р(Р), L — гладкая ду
га. Используя	формулу (6.93)	со значением р (P)dl		вместо

2р и принцип суперпозиции, для потенциала двойного слоя по лучаем выражение

и (Ж ) = f	I>(P)cos(PM,np) d[	(6.99)
l	Г™
Все введенные потенциалы вне области распределения за
рядов являются гармоническими функциями.		Все они, кроме
логарифмического и потенциала простого слоя в R2, стремятся
к нулю при М-*-оо.
Сформулируем свойства потенциалов простого и двойного
слоя. Будем предполагать, что поверхность 5		(дуга L) принад

лежит классу С2 (т. е. в окрестности каждой точки в некоторой локальной системе координат она является графиком дважды непрерывно дифференцируемой функции). Пусть S (L ) — замк нутая поверхность (дуга), D — ограниченная ею область, плот ность р (Р) — непрерывная функция.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2115 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
19.11.202333 Mб0Методы исследования надежности низковольтных аппаратов..pdf
#
12.11.202312.32 Mб9Методы исследования центробежных компрессорных машин..pdf
#
12.11.20237.68 Mб3Методы качественного анализа в динамике твердого тела..pdf
#
12.11.2023224.55 Кб1Методы лингвистического анализа..pdf
#
19.11.202353.4 Mб1Методы математического моделирования рудничных аэрологических процессов и их численная реализация в аналитическом комплексе Аэросеть..pdf
#
12.11.202314.42 Mб7Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики..pdf
#
12.11.20232.07 Mб4Методы нанесения покрытий..pdf
#
12.11.20235.52 Mб0Методы научных исследований..pdf
#
12.11.202310.92 Mб2Методы обеспечения надежности изделий машиностроения..pdf
#
12.11.20239.17 Mб6Методы оптимального проектирования..pdf
#
12.11.202313.27 Mб2Методы оптимизации эксперимента в химической технологии..pdf