книги / Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики

ной сфере Sat’y't) равны удвоенным интегралам по верхней полу­

В случае неоднородного уравнения с правой частью f(x, у, t) согласно методу Дюамеля к выражению (5.25) следует приба­ вить слагаемое

X(ÏJy)>

Полученное согласно (5.25), (5.26) интегральное представление решения задачи Коши для волнового уравнения относительно

и(х, у, t) называется формулой Пуассона.

§ 5.2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ

Рассмотрим заДачу Коши иц=й2Аи в полупространстве

Введем энергетическое неравенство, рассматривая для нагляд­ ности свободные колебания мембраны. Пусть в положении равно­ весия мембрана находится в плоскости Оху. Выделим в мембра­ не круг Q радиуса R с центром в,точке (х, у). Пусть в момент времени / = 0 вне этого круга и на его границе возникли возму­ щения. Пусть скорость распространения волн от возмущений рав­ на а и пусть и(х, у, /) — отклонения точек (х, у) в момент t от

положения равновесия. В момент времени t—x, 0 < т < — , волна

CL

от возмущений вызовет колебания точек круга Q, отстоящих от границы круга на расстояние, не превосходящее ах, а невозму­

Из физических соображений можно заключить (строгое матема­

Это неравенство называется энергетическим неравенством. Оно имеет место и для решений задачи Коши (5.27) в случае пф2.

откуда в силу непрерывности подынтегральной функции следует, чтой*=0, grad* и = 0. Поэтому ws=const внутри построенного ко­

нуса. На основании конуса Q по условию йн=0. Следовательно, и==0 внутри конуса. В силу произвольности т и Qt получим, что

йен0 и, следовательно, и \= и 2всюду в полупространстве /?++1.

Из теоремы единственности следует, что всякое решение за­ дачи Коши в случае я = 1 , 2, 3 может быть записано соответст­ венно по формулам Даламбера, Пуассона, Кирхгофа.

«PiM» Ф1 (х) и Ф2.М» фа(*). Пусть Т > 0 — произвольное число.

Так как формула Пуассона является следствием формулы Кирхгофа, то эта теорема будет справедлива и для решения за­ дачи Коши (5.27) при л = 2 .

З а м е ч а н и е . Следует обратить внимание на тот факт, что в условии (5.32) теоремы 2 в отличие от условия (5.30) теоремы 1 мы потребовали малость модуля |grad(<pi—<рг|. Это не связано с методом доказательства, а соответствует физической сущности волнового процесса. Действительно, из (5.34) при ф = 0 , | ф|< 0 ,

2й |grad<p|^ гй > 6 и i l > - — имеем

\и(х, у, г, t)\^atk—

Это означает, что расположенное на расстоянии г от точки М (я, у, г) возмущение ф, малое по модулю, но с большим модулем градиента, распространяющееся со скоростью а, через время f = = г /а вызывает в точке М «всплеск», величина которого превос­

ходит -£-r|grad<p|.

§ 5.3. ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. ФУНКЦИЯ ИСТОЧНИКА. ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА

Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности

ф(х)~— ограниченная функция.

Для простоты рассмотрим случай л = 1. Аналогичные рассуж­ дения справедливы и для произвольного п. Убедимся в том, что

1) функция

создаваемое единичным точечным источником, сосредоточенным

в точке 5.

Это можно объяснить таким образом. Пусть функция (ре (sJ удовлетворяет следующим условиям:

1)при |И1>е>0;

2) <р,Ш>0 V5, 151 <оо;

3)| <p.«)rfS=l.

Эту функцию можно рассматривать как плотность распределе­ ния источников тепла, выделяющих суммарно единицу количест­ ва тепла.

Пусть в монотонно стремится к нулю. Естественно при этом рассматривать lim<pe(£) как единичный точечный источник тепла, сосредоточенный k точке 5= 0 . При (р=<рв темпе­ ратурное поле определяется интегралом Пуассона

В заключение заметим, что решением задачи Коши

щ = а 2Ьл в /?++1= {л ;е/?я, *>()},

и |/ - о = < р ( л : )

является интеграл Пуассона

U(x, < > - J ,«)< ?(* . ,,

где

и

i * - s i J= i2- 1

ГЛАВА 6

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИИ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА

§6.1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ПРИНЦИП МАКСИМУМА. ФОРМУЛЫ ГРИНА. ЕДИНСТВЕННОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ

'РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Пусть DczR2— ограниченная область с границей Г.

Гармонической в области D функцией называется дважды не­ прерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая в этой области уравнению Лапласа Aw=0.

Как известно из теории функций комплексного переменного, гармоническими функциями двух переменных являются действи­ тельная и мнимая части аналитической функции. Так, взяв ана­ литические функции ez, In z, zn, где z —x+iy, получим соответст­ венно следующие гармонические функции:

v(x, v )= In iln 2 = a r g 2 = a rctg — + 0Jt» a==l ?’ x '> ®t

* l 1, * < 0 ;

u(x, y ) = R e z 2= x 2—y2; u(x, y ) = R e z n= r ncos n<?; v (x f y ) —\m zn—rns\nti<çt где r —\z\, <?=argz.