книги / Строительная механика стержневых систем. Ч. 2

ГЛАВА 12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ

12.1. Определение перемещений от нагрузки

Формула перемещений от нагрузки для статически неопределимых систем такая же, как и для статически определимых систем (см. гл. 6, Ч. 1). Приведем ее для балки и рамы:

где МР – эпюра изгибающих моментов, построенная относи-

тельно заданной статически неопределимой системы (рамы или балки) от внешней нагрузки.

Иначе эпюра МР есть окончательная эпюра моментов, для

построения которой применяется либо метод сил, либо метод перемещений.

М1 – единичнаяэпюрамоментов, построенная относительно:

а) заданной статически неопределимой системы (рамы или балки) по методу сил или методу перемещений, от загружения силой F = 1 или моментом m = 1;

б) основной системы метода сил от загружения силой F = 1 или моментом m = 1.

При определении линейного смещения точки системы единичная эпюра моментов М1 строится от единичной силы F = 1,

а для определения угла поворота сечения – от единичного момента m = 1, приложенных в точке, перемещение которой требуется найти по направлению требуемого перемещения. Рационально построение единичной эпюры М1 рассматривать относительно

основной системы метода сил, т.е. по случаю б).

122

Пример.

Найти смещение точки k по вертикали рамы на рис. 12.1, а. Принять жесткость при изгибе EJ = const.

Число неизвестных метода сил (степень статической неопределимости nст ) равно 3. Число неизвестных метода перемещений

(степень кинематической неопределимости nкин ) равно 1, т.е.

nст 3 , nкин 1.

Рис. 12.1

Строим эпюру моментов от внешней нагрузки методом перемещений. Основная система метода перемещений представ-

лена на рис. 12.1, б, где i1 и i2 – погонные жесткости. Единичная эпюра моментов М1 от угла поворота Z1 1 и

грузовая эпюра моментов MP методаперемещений(рис. 12.2, а, б) построены сиспользованием прил. 1.

Рис. 12.2

123

Реактивные моменты в дополнительной связи: r11 0,8

0,667 1,467 и R1P 36 6 30 .

Из канонического уравнения r11Z1 R1P 0 получим

Z1 1,46730 20,45.

Окончательную эпюру моментов от внешней нагрузки обозначим М (рис. 12.3, а).

Рис. 12.3

Единичная эпюра моментов от вертикальной силы F = 1, приложенной в точке k основной системой метода сил, изображена на рис. 12.3, б. Тогда перемещение

При перемножении эпюр М и М1 использовались формулы умножения прямолинейной трапеции на трапецию и площади сегмента.

12.2. Определение перемещений от разности температур

Для статически неопределимых систем, как и для статически определимых, справедлива формула определения перемещений от воздействия температуры, приведенная в гл. 6, Ч. 1:

124

где α – коэффициент линейного расширения, зависит от материала и является справочной величиной; h – толщина стержня;М , N – площади соответственно эпюры моментов и эпюры

продольных сил, построенных относительно заданной статически неопределимой системы от единичной силы F = 1 или единичного момента m = 1, приложенных в точке, перемещение которой требуется найти по направлению требуемого перемеще-

ния. Эти эпюры M и N могут быть построены либо методом сил, либо методом перемещений.

Знак слагаемого формулы kt – положительный, если деформации элемента от воздействия температуры и единичного усилия (Р = 1 или m = 1) аналогичны. В противном случае знак слагаемого отрицательный.

Пример.

Найти перемещение точки k по вертикали в раме от разности температур (рис. 12.4).

Жесткость при изгибе EJ = const; h1 0,3 м; h2 0,5 м;

10 5 град 1.

Рис. 12.4

125

Построим методом перемещений эпюру М от вертикальной единичной силы F = 1, приложенной в точке k (рис. 12.5, а).

Рис. 12.5

Основная система метода перемещений (см. рис. 12.1, б), единичная эпюра моментов от угла поворота Z1 1 показана на

рис. 12.2, а. Грузовая эпюра моментов от силы F = 1 построена относительно основной системы метода перемещений (рис. 12.5, б) приэтомиспользовалосьприл. 1.

Из равновесия узла R1P 0,75.

r11 1,467 (см. пример подразд. 12.1).

Каноническое уравнение метода перемещений r11Z1 R1P 0, т.е. 1,467Z1 0,75 0.

Отсюда

Z1 1,0,75467 0,511.

Окончательная эпюра моментов М построена по формуле

М М1Z1 M Р (рис. 12.6, а).

Эпюра продольных сил N на рис. 12.6, б.

126

12.4. Построение эпюр от воздействия температуры и осадки опор

В статически неопределимых системах от воздействия температуры и осадки опор возникают дополнительные усилия. Для построения эпюр дополнительных усилий воспользуемся методом сил. Статическую неопределимость сооружения раскрыва-

ем, решив систему канонических уравнений при пст п:

Хi основной системы метода сил от воздействия температуры;

iС – перемещение точки приложения Хi по направлению Хi

от осадки опоры основной системы метода сил; it определяем по формуле (12.2); iС – по формуле (12.3).

Окончательная эпюра моментов строится по формуле

М М1 Х1 М2 Х2 ... Мп Хп.

Проверка эпюры моментов М основана на отрицании перемещений точек примыкания связей по их направлениям, т.е.

где M S – суммарная эпюра единичных моментов, т.е. M SM1 M2 ... Mп , построенных относительно основной сис-

темы метода сил от единичных лишних неизвестных.

Эпюра поперечных сил строится по эпюре моментов или по формулам метода сил Q Q1 X1 Q2 X2 ... Qn Xn .

129

Эпюра продольных сил строится по эпюре поперечных сил или по формулам метода сил N N1 X1 N2 X 2 ... Nn X n .

Пример.

Построить эпюры М, Q и N в раме на рис. 12.9, а от разно-

Рис. 12.9

Степень статической неопределимости пст 3. Основная

система метода сил изображена на рис. 12.9, б, единичные эпюры моментов – на рис. 12.10.

Рис. 12.10

Определим неизвестные усилия Х1, Х2 , Х3 из системы канонических уравнений:

130