книги / Сигналы и устройства ближней радиолокации. Автодины
.pdfS o n пренебречь значением слагадмого |
t , |
DO срав |
нению оо значением £ 9 то последнее уравнение |
систем* |
(20) бу |
дет иметь и д |
|
|
Систему уравнений (20) можно решить различными способами. Точное решение может бить получено с применением численных ме тодов; приближенное аналитическое - о помощью методов [ I ] :
енергетичеоиого, медленно меняющихся амплитуд Ван-дер-Поля, малого параметра Крылова - Боголюбова, укороченных символичес к и уравнений (метода Евтянова С .И .).
Рассмотрим применение методов медленно меняющихся ампли туд Ван-дер-Поля и укороченных символических уравнений к оиотемэ (20) на двух примерах.
П р и м е р I . Получить укороченные ДУ, которые соот ветствует системе (20)» пренебрегая влиянием паразитных пара
метров ( |
О, J |
» 0 ) , |
методом медленно меняэдихоя амплитуд |
|
Ван-дер-Поля. |
|
|
Г |
|
Р е ш е н и е . |
При |
* 0 и SГ/. * О оиотема ДУ (20) |
||
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
(21) |
Разберем первое уравнение систем* (21). Введем переменные |
||||
ооотояния jcf |
~ и t |
J T , = JC/ |
=и %получим оиотему двух ДУ в нор |
|
мальной форме: |
|
|
|
|
Обычно затухание контура |
S « / . Найдем решение систем* (22) |
цри S * 0. В этом случае |
система ДУ (22) принимает вид |
и ее решение можно ашшо&ть в форме
т, = и = и саз (СО i + < f).
. |
(23) |
ЭСЛ = и - -СОп и s in (со0 t * f ) .
Предположим, что реленив сиотеш (22) можно представить
в виде, аналогичном (23), |
где 1 /(0 и < /(0 “ |
Функции, |
завися |
|
щие от времени, |
|
|
|
|
ос{ = U(t)cos[co0 t |
* 4>(i)\ |
|
|
|
■зг,=-со0 (/(O s in |
J * |
|
(24) |
|
[coot+<j>U)\ |
|
|
||
Подставляя (24) в (22), получим |
|
|
||
U(i)coj[coo6 *</>((.)]- 1 /(0 [cje +</>(6)]sin fej06 +</>(£)] = |
|
|||
= -cO0 1/(6)sin [a)ci * |
t |
|
|
|
- CJOU(O sin [cog6 *<f(6jj-cov L'(OfeOg*■f(6)]cas[H 6 |
- |
(2S) |
||
= -GO*U(i)cos[oJ0l <f(6)J+u ? S U ( t) s in [ c o t*</(6)] -
-cJ0 S [ fii/O > e (O ]
Представим сиотему (25) жав ожотему линаймх акгебраичео-
ких уравнений относительно прожзводшх 1 /(0 в < f(0 : |
|
U (i)c o sf-U (t)< f(O sin f - О ; |
|
-tooU(6)sinf - aj0U(Oy(Ocasf * со*$U(6)sin<// - |
(26) |
-Gj0S[R C t (O +e a ^ f
где if/ =CJo £ +
Разрешая эту систему отюоителыю V (t) ■ <f(t) %оояучам нор мальную оногаму ДУ
[ /( O ^ - C J S U (t)s in % |
+ S [ f i ( / 0 + e (6 )h in y / j |
|
|
ф (0 — c o j s i n y c o sy |
X |
. |
<27) |
+ — |
[tf i / O t e w ] cos f |
|
|
Первое уравнение в (27) показывает, что амплитуда 1 /(0 |
иаменк- |
||
етсж медяеню по оравпенив о колебанием шоохой частоты сОа , так как ее производная имеет порядок ScJ0 (при малом S ). Аналогично ведет оебя фаза колебаний <f(t) . Поетоцу без боль шой ошибки возможна замена левых частей уравнении (22) их сред ними значениями за период Т - 2 3 / со 12
U ( t ) ~ - ^ - U ( l ) + j j |
S J |
\RCt (i)^ e (€ )\ ^ u u f)d f; |
|||||
|
|
25Г |
0 |
|
|
|
|
^ а Ш ) 2 S SJ [ ^ ' , ( 0 * е № ) ] а а ^ |
|
||||||
|
О |
|
|
|
€ ( 6 ) действует на частоте |
||
Допустим, |
что внешний оигная |
||||||
c jj ~coQ+Sh |
близкой к резонансной частоте контура CJ0 ( S 1 « C J ): |
||||||
e(6) = £ ^(6 )co s[a )0t |
+ S i t |
+tf0 ] |
|
||||
придам его амплитуда |
Е ^ ( £ ) |
является медленно манящейся |
|||||
функцией на периоде колебаний высокой частоты Г = 2 $ J cJ0 |
|||||||
В этом случае |
ЁА.< < c j, |
F ,(6)~ C JF^ (6)а справедливо прибли- |
|||||
кенное равенство*н. |
4» |
4н |
|
0 4н |
|
|
|
ё(6 )* -сО |
f 6 |
(6)jin(cJ0t * S |
i t + </>)= |
. . |
|||
Таким образом,) о учетом (29) |
и условия S 1 <г<'о £ , |
получаем |
|||||
2J, J e(€)sOiydy |
|
E6J t)a > s \S lt + % -<f(i)\) |
|||||
о g fi |
|
|
|
|
|
|
(30) |
Jf, J e(t)cas(f/d<fj К - |
E^(t)sca\si.t+ifо- </>(6)} |
||||||
О |
|
|
|
|
|
|
|
Предположим, что активный элемент представим в виде парал лельного соединения нелинейной активной н реактивной проводимо стей, прячем реактивная проводимость макет иметь как емкостной, так к индуктивный характер. Активная доставляющая тока са (6)
является функцией напряжения на диоде и„ - u + F : iQ(6) = J(U Q). Учитнвая, что и(£) = 1/(0 cos^ где U (tr ~ медленно меняющаяся функция Тюмени, получаем приближенное равенство
ФTjjVT*
t j b ) * - |
ArcJ0 I ka (t)jc n к У f |
где |
воеффяцввнт раалокения в ряд Фурье |
функции ia (£). |
I# ((/, F ) изменяется медленно, по |
Учитывая, что функция |
|
лучаем |
а |
23i OO ^
Ш J 4 (V jLn |
* - J j 2 J ka)o I (Ц f)sin kyjinydlfx. |
||||
|
|
a |
t t , |
|
|
. . . |
i |
f - |
. |
& |
|
> y |
J $ |
J |
ta (6)cos<fc/<+>*-^jj- J |
kcOo x |
(31) |
* IAa(U, E ^ s tn k y c o s y /c ly t K O.
E on реактивная проводимоотъ шея* емкоотвой характер, то Йеаэтнвную ооотавхящув тока можно записать в вида
*рс6) = С(и^ ~ ы Г ^
где С(и9 )~ нелинейная емкость диода.
Учитывая; что |
U j(l)* - c o o U(t)sCnf9. функция С(и„) мою* быть |
|
разложена в ряд вдрье |
& |
|
С(и |
) - Co(Ut £ )* g C.(Ut £ ) c o s k y , |
|
tf |
k~i |
|
вайдем |
|
^ |
ip (i)*-co0CJUt £)U(i)sCny - 'Ey jb i0 Ck (Vt £ )U a )«
K ^in(k-ti)iff- J in ( k - i) y t J
Таким образом, справедливо приближенное равенство
;р (б)*-со0 со( с / £ ) u a ) c o s y - E j ct* ck <vt e ) m u
л \{kn)cos(k+ i)4> -(k-i)cos ( k - i ) y ]
/ |
^ |
(32) |
|
|
W |
оSr
/Jr tp^casydf• *Г -со*°-Cf---j u e )+ со* C\J---U E ) yj(i\]
Втом случае, когда реактивная проводамооть диода ноокт индуктивннй характер,
( J ( i ) c o j p }
* « > - т к >
где L ( u . ) ~ нелинейная индуктивность. FhafaiM фунхцво L '^ U g ) в ряд Фурье
|
L~l(u)= € ~ '( и E ) + T L |
e '/( U , |
E ) c o s r |
|
тогда оправедаивн ооогаопения |
|
|
|
|
L |
(6)= e -‘(U, F) U(t)cosy> / |
2 |
К |
< 4 e > U (i)* |
P |
О |
k = j |
|
|
x[c a s(* -O p '* c o 3 (k + j)y / J |
|
|
|
|
Jfr J |
ОШйгус1у*0, |
о |
(33) |
iji F |
^cJ % Ц £ )\т ‘ |
Сравнивая (33) я (32) приподи* к выводу, что era форму» можно аашоать в вяла
^ |
/ i / t i c c r d |
f * - - f 1 (< U ,E )U (t), |
(М) |
|||
|
О |
|
|
|
___ |
|
где со 6 (U F) - усредненная по первой гармонике реактивная |
||||||
проводимость диода, |
причем при емкостном характере проводимости |
|||||
S(C/,F)‘ [cJ0 С0(Ц Е)~qSco0 C /U F )\> O f |
а при индуктивном - |
|||||
4 a /F ) — [ l/o jJ 0(u,£)*QF/bJ0 t j y o |
] < О . |
|
||||
Подставляя (30), (31) и (34) в (28), получаем |
|
|||||
Ш ) — |
^ y - U ( t ) - - ^ |
1 |
E6H (€)OOS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 36) |
Впадем |
■т |
{ |
ы |
б* п ^ |
|
|
обозначения: |
|
Тк = Zjo Ja S - постоянная времени колеба |
||||
тельного контура; G(Ut Е) - /?//a (U ,F )ju - уореднеиная по пер вой гармонике нормированная активная проводимость диода;
ВЩ Ю *R 6(Cft E)- усредненная по первой гармонике нормирован ная реактивная проводимость диода.
Тогда укороченные ДУ ооответотвущие системе (21), будут иметь
f r o — Ф т г М - * 2 * -* * > + * „ ]-T B (u >e y > |
ZX |
|
|
1к U |
* |
|
|
r0 F + f = £CMRCM To (U>f ) , r*e |
!o (U>E > l 3 i |
J |
. |
о
П р и м е р 2. Получить укороченные ДУ, соответствующие сиотеые (20). методом символичеокнх уравнений (методом Евтявова С.И .).
р е ш е в н е . Будем искать решение первого ДУ сиотемв
(20)в вида уакополоою.х) оигвала
|
и(6) - |
U (t)cos [о >0 6 +<f(6)] |
(37) |
|
где |
U(l) и >f(t) |
- медлзаю меняющиеся амплитуда и |
оиг- |
|
нала. |
Lj (t) в этом уравнении представим в виде |
|
||
Той |
|
|||
i{(6)=g((JE)U(£)co3[<u)0 |
+ 6 (Ц E)V(i)*s£n |
(38) |
||
Здесь §<ЦЕ)и &(Ц £ ) - усредненные m первой гармонике ак тивная и реактивная составляющие проводимооти диода.
Внешни) ЭДЗ запишем в
е (6 ) - £ j" (6 )c o s [соо 6 / S L 6 |
f / |
] |
(39) |
где J 2 - малая раостройка ( S Z « c J 0 ); |
£ |
_ ^ |
атп |
нящаяоя амплитуда внешнего сигнала. |
он |
|
|
Воонольэуемоя жомплеконой формой записи для м и И И « |
|||
(37), (38) и (39): |
|
|
N\ |
й Ш - и ( * ) е М * -, |
|
|
|
\ $ Ц £ ) Ч * си. О } Ш |
) е ^ . |
{40) |
|
где й (6 )-‘ С/(б)е ^ |
Ш1 |
- комплеконне |
амплитуда. |
|
Операторное уравнение относительно комплексной амплитуда 0(6) имеет вид
[ |
О |
' 4 : |
" |
|
^ |
о |
|
и |
|
||||
' [ ^ |
' Ф |
/ * ] д V v ' ^ V ' L * / , ) ^ V > V 4 } * ]я \ > |
||||
'\ a < u , f ) y a ( u £ ) \ u m - | ^ |
4 |
й |
. |
|||
Раокрывая аяобки, |
получим |
|
|
|
||
Ч*<-‘Ч. *W >h> |
>*j<h * t \ ) ' * " / , ' Л )]4 ' |
|
' |
Q t - P 3 \ [ G ( u e > > j e < u a ] u m - |
|
о |
о |
J |
- £ 0(p+j°>o> |
|
<«> |
Будем учитывать, что <Г« У жJ j |
« { . ъ этом случае U (t) |
|
явхявтоя медленно изшвящеВоя функцией времени. Поэтому в пер
вом приближении, пренебрегая операторами вида |
р * |
$р, j fi р |
j |
р |
|
в (41), получим уравнение в первом приближении |
‘ |
‘ |
L |
|
|
( - Q - P ' t y 0 (0 ' |
V * 4 f >] On) = |
|
|||
ш- 4 ВРбнШ- |
|
|
на j S , |
( « |
) |
Разделим правуюи левую чаотш уравнения (42) |
|
|
|||
в результате получим |
|
|
|
|
|
( ГМР *0 v(t) * [О*]й) V <Гд] [#Ц f) > |
|
|
|
|
|
v B ( V , f ) ] 0 ( € ) * - |
E . ( t ) , |
|
|
«3> |
|
,J* ffO
утопывая, что 1/(6) • U (6)e |
, P& J6)*E^(D e |
, |
17
p U (£)= £ ^ ^pU(£)+jU(£)pif(£^^ приравнивая действительную
■ мнимую части правой и левой чаотей уравнения (43), приходил X системе ДУ относительно огибающей £/(£) и фазы </(£) иолебаний, которую необходимо рассматривать совместно о ДУ. одюнваюцим цепь смещения,
Проанализируем полученную оиотему ДУ. Введем проводимости
^ щ е ) - а ^ р ) б ( и , £ ) - { ^ в ( Ц £ ) ;
80<U ,E)-SJ L G(Ut E) + ( i* f fi)B (U ,E ).
В том ояучаа когда учитываются сопротивление и индувгиввоогь выводов диода, эквивалентная активная проводимое» зависит да только от активной проводимооти кристалла диода 0(U, Е ), да и от его реактивной проводимости В(Ц, £ ) . Аналогичную завионмооть мокло записать и для эквивалентной реактивной проводяшоти 8JU ' Е ) . Уравнения (44) соответствуют следующему допуще нию: проводиыооть диода о выводами слабо изменяется в зависимо сти от частоты вблизи частоты автоколебаний. В противном одучае необходимо учитывать производные в правой чаоти уравнения (41).
С учетом вышесказанного получаем систему ДУ в я ц »
тк и+у* б0 (Ц£)\ и= - Е6н(£)cos(SLl +<f0-4>)\
где
Сравнивая уравнения (46) щ (36) видим, что они будут
m en одинаковые вид, воли в система ду (36) заменить 6 (Ut Е)
ва 60(U,E), а ВШ,Е) на B JU t E).
Таким образом, подучены ДУ автодива при воздействии ва на го внаовахо сигнала. Как видно из оравнения моделей, рассчитайшх двумя различными опоообами, в первом приближении метода мадиенво манящихся аъдингуд Ван-дер-Поля и укороченных оимводичеоиих уравнений дав» одинаковый результат.
Рассмотрим матештичеажув модель автодива при воздейотвии ва вето ооботвенаого задераднвого сигнала.
Оря опардровавии о действительными узхоюлооянми иродеоо*- мв формулу (14) следует представить в вида
+ \ * Л е ~ рХ |
(47) |
|
Z H(f>r~ |
e - p x ' |
|
i * * z |
|
|
где f #» V - т /ь>Т-со/гХ- период выооиочаототных колебаний. Эквиважевгнув охацу автодива при воздействии ва вето соб
ственного задержанного сигнала (см. рио. 7) можно опиоать ожотемой ДУ а операторной форме
LS A - ig > f> c s , u b + f> c a “ Cs i
i rp ° s u cS - р с и с * ~ г ^ с ^ й ,
|
|
- е см |
; |
V |
i |
f U f |
“ a - |
Z 9 » i g ‘ |
U c |
, |
|
• » г< р > -» „ 2 и <р)/0>п |
'Ъ н < p))\ Z^go) манне опредвлвть no |
||
форЧР» (47).
После преобразован»* оиотеш (48), лаж вто дало оделяю ■» получвм ояотецу ДУ отвоожталью внооночаототнкх в нваио-
яастотаа ооотавлявцкх това в надряиешм
^ ^ |
4/ |
~т77. (*■/ |
*■/ * и ) / |
(49) |
*** Са * С + С .
|
Представим оператор |
ij7.(p) |
в виде двух слагаемых: |
|
|||||
/ |
|
R„M+ ^ e ' p z)+RHU *^2 e~pZ) / |
+ л |
/ / . u |
pZ |
(бо) |
|||
s ~ : |
-------Л |
— -o r< ;----------- т г |
u - p r s ’ |
||||||
Z(p) |
|
RnRHU+ \*Ле~р г ‘) |
~,R |
RHd A ^ ' p v ) |
|
||||
где |
R = RH Rn> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'H ''n j(RH* *n). |
|
оистемы (49)» получим |
|||||
|
Подставляя (50) в первое уравнение |
||||||||
( " | * < | e ^ t ) , ( ^ |
v 4 r /3 ' / ) u |
|
ч |
1Н |
• |
||||
«(М*>|е'/>Г'Х & ‘ 4 |
/< /О* |
иг Pi*2e-fiT-\*,\e~pT'y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
- |
|
-<* ъ : Р ( * я е 1 р Г ~ \ * A e ~p t ) “ > |
|
|
(6D |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
- |
коэффициент потерь в колебательном кон |
|||||
туре. ' |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для записи укороченных уравнении первого |
приближения» |
со |
||||||
ответствующих первому ДУ в операторной форме |
(51), |
воспользуем |
|||||||
ся методом укороченных символических уравнений (Евтягова С .И .).
Проведем преобразования |
(ом. пример 2 ), учитывая, что |
в д ц ч р т т |
|||||
-рт |
|
* ° |
^ л “/О V |
|
|
||
’ г |
заменяется в& е |
е |
, подучим |
|
|||
Ы |
* ^ а ° е Р г ) ^ ть Р ) Н Ч \ * , \ ' * а ° Г* |
) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
( 62) |
‘ [ w p t j m |
i \ o ^ ( x 2 - j \ s i n e - ^ v e 'p t о - 0 |
||||||
где |
|
|
|
|
6(UrE); |
|
|
0o(utn=(l*jR)0(Ut6)~ S j |
|
||||||
|
В0( Ц О ш&JL G(0) E ) *■U+J J |
g (l/' f ) . |
|
||||
G i(u, £ ) x<XffiG(Ut E )-o (jc(r s ( z j £ |
) ; |
|
|||||
|
B /U t £ ) - |
o(j |
|
♦ * ; |
<f ^ |
f > • |
|
V = U (t)e< *S . |
*L |