книги / Основы метода конечных элементов
..pdfлежащих W\ (£2) и удовлетворяющих условию |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ик(х) = 0, |
х £ Г2 |
|
|
|
|
(VI.52) |
||||||
(I\ = {* |
= (х1, |
х2), |
а, ^ хх < |
|
Ръ |
х2 = |
Р2})> |
н з — пространство |
|||||||||||
функций иа (х), |
принадлежащих Wi (Q) и удовлетворяющих условиям |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
« 3W = |
- § - = |
0, |
х£Гг. |
|
|
|
|
(VI.53) |
|||||
В этом случае билинейные функционалы от вектор-функций |
U, |
V £ |
|||||||||||||||||
£ Н (Q) |
(U = |
[ult и2, и3]т, V = |
|
\vv v2, оа]г) имеют в |
(VI.46) |
вид |
[17) |
||||||||||||
|
|
а(U , |
10 = JJ г |
{ |
Е1(*0Б100 + |
00 е* (10 + |
|
|
|
||||||||||
|
|
+ |
|
© (U) © (V) + v [ех (£/) е2 (V) + е2 (U) г, (V)} + |
|
|
|||||||||||||
|
+ |
[v (« 1 (*/) *2 (V) + |
MU) х2 (V)) + |
2 (1 - |
v) т (U) т (V) + |
|
|||||||||||||
|
|
+ X,(С/) х2 (V) + |
хх (U) к, (V)]} б (х) Аг (х) А2 (X) dx, |
|
(VI.54) |
||||||||||||||
|
|
b(U, |
V) = |
j j Р (им + |
u2v2 + u3va) 6 (x) A, (x) A2 (X)dx, |
|
|||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(**0 = |
- j - -щ - + |
~^AT |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
«< *> ~ % - £ г ( т к ) + ■ ^ • s r ( t ) + ‘ “ w - 2 ■ |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
М Щ - - х Г Щ ё 1- + |
- А Ж - Ш Г У ^ + |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dxi |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
л\п2 ил1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
+ |
" и д т |
(~шг ('4'" v) — |
ж г |
' |
|
|
|
<V I55> |
|||||||
|
|
|
Ъ(й67) = ku (х) wt + |
/?12 (*) w,------j - |
дш . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
-gJL , |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
д у ? |
I |
|
кla |
dWj |
, |
|
dw1 |
|
|
|
dw. |
+ |
|
|
2 |
д х 2 |
' |
А , |
д х , |
|
|
Л, |
д х , |
|
|
d*, |
|
л, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Р Г |
('i |
t щ + |
- щ г !S |
- |
2^ |
Шз] + |
|
||||
|
1 |
dAj |
dw9 |
+ |
1 |
4 Ла- |
|
|
(W£H(Q), i = |
1, |
2; |
/ = 3 — t), |
|||||||
+ |
- 5 ------- з— |
д х , |
^ |
— V |
о*2 |
||||||||||||||
д2л2 |
B xt |
|
а ,А\ |
axj |
|
V |
^ |
V /, |
|
|
|
1 |
|
>, |
|||||
6 (л:), Аг (х), А2(х), ku (х), k12 (х), k22 (х) — непрерывные в й (VI .51) функции (в дальнейшем по ходу изложения предполагается их необ ходимая гладкость). При условиях
р > 0 , £ > 0 , |v |< 1,
|
|
0 < c e< 6 M < C j , 0 < с 8< Л , ( * ) < £ „ |
|
|||
|
l * i / W |
l < c 10< o o , |
i = |
1, 2, |
/ = 1 , 2 , &21 — ^12» |
|
используя [1021 и [1171, можно доказать неравенства (V I.49), (V I.50), |
||||||
где |
теперь |U (н = |« , f.i |
+ |« 2 |,i |
+ Цы3 $.2 1| и |i/ ||о= |
||«i |р + |
||
+ |К 12 +||«зГ. |
|
|
^ |
... |
||
Введенные |
в представленных |
задачах функционалы а |
(с/, И), |
|||
b (U, |
V) можно рассматривать как скалярные произведения в некото |
|||||
рых энергетических пространствах На, Нв положительно определенных
операторов А и В.
Применяя теоремы вложения Соболева [98], можно доказать, что в обеих задачах пространство На вкладывается в Нв вполне непрерыв но. Следовательно, можно использовать вариационную постановку этих задач, а именно находить экстремальные точки отношения Рэлея
|
|
|
w |
>— ш |
|
|
|
|
|
или решать задачу на условный минимум |
|
|
|
||||||
|
"ki = minаШ) = а(Уi), |
1 = 1 » 2, . . . » п, |
(VI.56) |
||||||
при |
условиях |
VWA |
|
|
|
|
|
|
/ЛП |
|
b(U)= 1, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
(VI.57) |
||||
|
b[U,Vk) = 0, |
k = |
1, |
2, . . . . |
I— 1, |
l > 2. |
(VI.58) |
||
При |
kn = k12 = |
= 0 |
и |
= |
A2= |
1 |
вместо |
оболочки |
мы имеем |
задачу для пластинки. Легко проверить, что в этом случае задача (VI .46), (VI .51) — (VI .55) распадается на две задачи — об изгибных
ио тангенциальных колебаниях.
2.Дискретизация задач. Рассмотрим вначале дискретизацию зада
чи |
(V I.46) — (VI.48), т. е. случай стержневой модели. |
|
|||||
|
Разобьем отрезок [а, (1] точками |
|
|
||||
|
|
а = |
*0 < |
хг<. хг< |
< .XN—\<C XN = $ |
(V1-59) |
|
на N элементов Et = (х,_i,Xi), i = |
1» 2, •••» N. Точки (VI.59) являются |
||||||
узлами полученной сетки, которая характеризуется величиной |
|||||||
|
|
|
h = |
шах ht^ |
max (Xt |
xi—i). |
(VI.60) |
|
|
|
|
с |
‘ |
|
|
|
Будем |
искать |
приближенное |
решение |
задачи (VI.46) — (V I-48) |
||
в конечномерном подпространстве Р3 пространства^ Н (а, |
р). Это под |
||||||
пространство образуем из вектор-функиий U = 1щ, «г1 |
>компоненты |
||||||
которых |
на каждом из Е( являются кусочными эрмитовыми кубиче |
||||||
скими полиномами. |
|
|
|
|
|
||
|
За счет приравнивания в узлах одноименных узловых параметров |
||||||
|т. е. значений и\ и |
обеспечивается |
требование ы* £ W\ (а, 3), |
|||||
k = |
1, 2, и если и* (х) подчинить условиям (VI.47), то iti € Р3а Нг (а, |
||||||
Р). Так как Р3 = |
Ря х |
Р3, то имеем необходимое соотношение Р3 с |
|||||
<г Н (а, Р). |
|
|
|
|
|
||
Выражая функцию Uh через узловые параметры и подставляя ее в (VI.48), записываем функционалы а ( Uh, И ), b (Uh, Vh) в виде били нейных форм неизвестных узловых параметров из [а, 0] (исключаются параметры, определяемые условиями (VI.47)):
|
|
|
a{U\ |
Vh) = (q(Uh))TKq(Vh), |
|
|
|||
|
|
|
b(U\ |
Vh) = (.q(Uh))T Mq{Vh), |
|
|
|||
где q ( |
) — вектор |
размера n неизвестных узловых параметров |
из |
||||||
[а, Р) для вектор-функции |
Wh £ Р3, К и М — симметричные положи |
||||||||
тельно |
определенные |
матрицы порядка п (К — матрица |
жесткости, |
||||||
М — матрица |
массы), |
лг = |
4А^ — размерность подпространства |
Р3. |
|||||
Приближенная |
задача |
на собственные значения записывается так: |
|||||||
|
Я/ |
= |
min a (£/ft) = |
а (V?), |
1=1, 2, |
(VI.61) |
|||
при условиях |
|
|
|
|
b(Uh) = |
1, |
(VI.62) |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
b(U \Vhk) = 0, |
* = 1 , 2 , |
/ — 1, / > 2 , |
(VI.63) |
|||||
где X?, V? — приближенные собственное число и соответствующая ему собственная вектор-функция. Исходя из (VI.61) — (VI.63) методом неопределенных множителей Лагранжа получаем обобщенную алге браическую задачу на собственные значения
Kq = bhMq. |
(VI.64) |
В случае задачи для оболочечной модели (VI.46), (VI.51) — (VI.55) прямоугольная область Q (VI.51) разбивается на прямоугольные элеме нты
|
E t = |
{* = |
(x lt х 2) : Х \'/,—i < |
< |
x i ./,, |
x 2,i, -i < |
x 2 < x |
2 |
||
ЗдеСЬ |
Xkt0^ |
Xkt\ |
Xfe'2 |
^ Xk.Nt. |
| |
^ |
Xk,Q |
Ctfti |
Xk,N^ Pft, |
|
i = |
+ (/'a — 1) Nlt |
jk = 1, |
2, ..., Nk, k = |
1, 2. |
Общее |
количество |
||||
таких |
элементов |
N = |
Nl х |
N2. Точки ( х \ х 2,/,) являются вершина |
||||||
ми прямоугольников Ei и узлами полученной прямоугольной сетки. Она характеризуется величиной
|
h = max (ft? + |
h2)l/t, |
|
|
(VI.65) |
|
где |
/i»/i |
|
|
|
|
|
hfr — |
ь |
k — 1» 2. |
|
|
||
|
|
|
||||
Конечномерное подпространство |
P a H (£2) здесь образуем из век |
|||||
тор-функций Uh = |
[и\у u%, uh3V, компоненты которых |
на |
каждом из |
|||
Ес определяются формулами |
|
|
|
|
|
|
из (*) = ф*. Сх) = Pl3) + P23)^x + Рз3)*2+ Р43)^? + |
Рб3)^1^2 |
+ Р? * 2 + |
||||
+ № х\х2+ Р |
+ pf’jc? + $ 4 |
+ |
рй’дс?^ + |
Р12 *ft*2 + |
Р1з*1*2 + |
|
+ Р ^ + Р Й Ж 8+ Р Й *М .
Uhk (X) = W = Pi** + р2Л)^1 + $3k)X2 +
+ |
X iX 2 + |
РбЛ)^2 + |
$7k)x\x2+ Pe***]*!» |
x£Eit |
k = 1, |
2. |
|||
Полиномы ф/, (x), |
ф*, (а:), |
ф,я(х) определяются |
однозначно |
через |
|||||
узловые параметры. Для |
ф*. (*) выбраны |
значения |
A |
ди* |
ди* |
||||
и3, |
|
, |
|||||||
|
в каждом узле |
сетки. Для ф^ (х), k = 1,2, |
узловыми парамет- |
||||||
|
|
h |
|
du!l |
duhk |
|
|
вершине эле |
|
рами служат значения ики либо-^j- , либо |
в каждой |
||||||||
мента |
Ei, причем узлы, |
где фиксируются |
одноименные производные, |
||||||
расположены в Q (V I.51) в шахматном порядке (рис. 36). Таким обра зом, имеем два типа наборов узловых параметров на элементе, а эле
менты с одинаковыми наборами |
параметров также располагаются в |
Q в шахматном порядке. |
приравниваем одноименные узловые |
Как и в предыдущей задаче, |
параметры в общих |
вершинах |
элементов Elti = 1, 2, ..., N. Известно |
||
(см. например, [101]), что |
за счет этого обеспечивается условие |
иг £ |
||
£ Wl(Q), а для uky |
k = |
1, 2, |
аналогично можно доказать, что |
ик£ |
£ W\ (О). Если потребовать, чтобы на Гг функции и\ и и\ удовлетворя ли условиям (VI.52), а иг — условиям (V I.53), то ик£ Pkcz Hk(Н2=э = Я х); здесь Рк— конечномерное множество функций uhk, k = 1,2, 3-
Так |
как Р = |
Рг X Р2 X Р3, |
будет |
выполняться соотношение Р с |
|||
с= Н (Q). |
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично |
предыдущему |
можно |
поставить соответствующую ва |
||||
риационную задачу вида (V I.6 1 )— (VI.63) и |
получить |
алгебраиче |
|||||
скую |
задачу (VI.64). В этом случае п = |
(8N2 + |
1) (Л^ + |
1). |
|||
3. |
Оценка точности приближенных |
решений. Используя методику, |
|||||
изложенную в работе [101], можно доказать теоремы о сходимости ре шений приближенных задач вида (VI.61) — (VI.63) к решениям за
дач вида (VI.46), (VI.56) — (VI.58).
Теорема VI.2. Если коэффициенты в выражениях (VI.48) такие, что выполняются соотношения (VI.49), (VI.50) и собственные век тор-функции VL= [vitf vi,V задачи (VI.46), (VI.47), (VI.56) — (VI.58) удовлетворяют условиям
v,k£Wt(a, Р), А=1, |
2, |
|
|
то при молях значениях h (VI.60) и I ^ |
п имеют место оценки |
||
+ |
с, > |
0, |
(VI 66) |
с , > 0 .
Теорема VI.3. Если коэффициенты в выражениях (VI.65), (VI.55)
такие, что собственные элементы Vt = [у /,, у /„ У/,1Г задачи (VI.46), (VI.51) — (VI.55), (VI.56) — (VI.58) удовлетворяют условиям
vh £ W l ( Q ) , k = l , 2, v i , £ W l ( Q )
ивыполняются соотношения (V1.49), (VI.50), то при малых значениях h (VI.65)
и1^. п справедливы оценки
^ Х[ |
cjl*, С2 |
0, |
^у| |
—с2> О.
Если для дискретизации задачи, опи сывающей изгибные колебания пластинки, использовать пространство кусочных би кубических полиномов Ра, то при условии О/, £ W2(Q) имеем оценку
Wvt — viAKcgh*,
---- *<---- — *с—>—*
) i'
Гг
I
N
а собственные числа оцениваются, как в (VI.67).
Если для дискретизации задачи, опи сывающей тангенциальные колебания плас тинки, использованы указанные выше
пространства кусочных полиномов |
РЛ и |
Я2, то справедливы оценки |
(V I.67) при условии viif vLi £ W\ (Q), |
VL= |
[v v i t]T |
Для решения задачи (VI.64), где матрицы К и М положительно определенные, использованы широко известные методы, упоминаемые в параграфе IV.2. Поскольку погрешность вычисления методом деле ния отрезка пополам наименьших собственных чисел (представляю щих особый интерес для практики) заметно выше, чэм наибольших, то целесообразно вместо задачи (VI.64) решать задачу
|
Mq = iiKq, Ji" = — |
теми же методами. |
|
4. |
Численные примеры. Рассмотренные схемы МКЭ применялись |
для численного решения задач определения частот и форм собственных колебаний различных моделей компрессорных лопаток.
С использованием стержневой модели решались задачи для лопа
ток со следующими данными: |
|
|
|
|
h (х) = h М cos2 Ф М |
+ |
^ (* )sir|2 Ф (*)• |
||
/ 2 (х) = h (х) sin2 ф М |
+ |
/т] (х)COS2 ф (л;), |
||
In (*) = |
Vя — h ) cos ф sin Ф» |
Q(X) = |
ЬЬ(х), |
|
|
h { Х ) = Щ^ Ь Ч ( Х ) , |
|
||
Ь W |
= ( т й - + |
- з § г 62 <*>) ^ |
ЬЬ (*), |
|
X |
Фо |
Фо |
|
*0 |
|
N |
0), |
А |
А |
А |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
4 |
6774,4382 |
25555,712 |
32480,314 |
84217,633 |
|
0 |
|
|
0 |
|
8 |
6774,1907 |
25555,109 |
32453,363 |
83782,470 |
|
0 |
|
|
0 |
|
16 |
6774,1761 |
25555,069 |
32450,848 |
83737,426 |
|
0 |
|
1.6 |
|
4 |
6823,3527 |
25555,712 |
32792,407 |
85104,426 |
||
0 |
|
1.5 |
|
8 |
6823,1081 |
25555,109 |
32765,031 |
84665,612 |
||
0 |
|
1.5 |
|
16 |
6823,0867 |
25555,069 |
32762,497 |
84619,068 |
||
20 |
|
1.5 |
|
4 |
6835,1838 |
24340,619 |
34474,996 |
83848,922 |
||
20 |
|
1.5 |
|
8 |
6834,6892 |
24336,482 |
34433,286 |
83322,263 |
||
20 |
|
1.5 |
|
16 |
6834,6541 |
24336,132 |
34429,934 |
83271,631 |
||
0 |
|
5,0 |
|
4 |
7296,0634 |
25555,712 |
35757,238 |
93480,481 |
||
0 |
|
5,0 |
|
8 |
7295,7954 |
25555,109 |
35726,073 |
92988,601 |
||
0 |
|
5,0 |
|
16 |
7295,7738 |
25555,069 |
35723,360 |
92937,531 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
24 |
|
в. |
6k |
|
N t |
|
|
А |
|
'4' |
Ш4 |
|
10,8 |
10,8 |
2 |
|
4 |
4796,1372 |
23840,485 |
71715,571 |
156302,82 |
||
10,8 |
10,8 |
3 |
|
6 |
4788,5338 |
23784,728 |
71506,218 |
145269,93 |
||
10,8 |
10,8 |
3 |
|
7 |
4786,9966 |
23775,523 |
71470,859 |
144940,52 |
||
10,8 |
10,8 |
4 |
|
8 |
4785,9569 |
23770,126 |
71450,620 |
144737,96 |
||
7,2 |
14,4 |
2 |
|
4 |
6923,5804 |
28723,949 |
71094,661 |
138378,10 |
||
7,2 |
14,4 |
3 |
|
6 |
6916,1302 |
28697,160 |
70989,368 |
137061,00 |
||
7,2 |
14,4 |
4 |
|
8 |
6913,6301 |
28689,524 |
70956,047 |
136832,70 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
25 |
|
|
|
|
й. |
|
л. |
|
<о'! |
|
А |
|
з,аз5 |
11,55 |
|
5,774 |
2 |
4 |
2186,558 |
10371,21 |
11846,65 |
47043,93 |
|
3,835 |
11,55 |
|
5,774 |
:2 |
г |
2184,461 |
10351,58 |
11834,23 |
46610,53 |
|
3,835 |
11,55 |
5,774 :3 А1 |
2186,219 |
10364,70 |
11831,59 |
46843,72 |
||||
3,835 |
11,55 |
|
5,774 |
:2 |
6 |
2183,282 |
10342,43 |
11825,81 |
46461,44 |
|
3,835 |
11,55 |
|
5,774 |
:3 |
Е |
2183,921 |
10345.26 |
11820,05 |
46451,91 |
|
3,835 |
11,55 |
5,774 :2 7г |
2182,822 |
10339,87 |
11822,39 |
46446,12 |
||||
3,835 |
10,10 |
|
7,217 |
:2 |
е |
1833,777 |
9814,308 |
10788,12 |
46819,14 |
|
3,835 |
8,660 |
|
8,660 |
:2 |
е |
1518,695 |
9091,844 |
9797,142 |
45272,65 |
|
0 |
11,55 |
|
5,774 |
2 |
6 |
2153,290 |
10174,30 |
11635,63 |
46158,39 |
|
1,280 |
11,55 |
|
5,774 |
2 |
А[ |
2159,646 |
10211,98 |
11698,64 |
46551,30 |
|
1,280 |
11,55 |
|
5,774 |
:2 |
е |
2156,661 |
10193,39 |
11671,66 |
46196,20 |
|
7,643 |
11,55 |
|
5,774 |
:2 |
6 |
2269,798 |
10767,50 |
12089,85 |
47028,29 |
|
12,63 |
11,55 |
|
5,774 |
:2 |
А\ |
2475,481 |
10769,49 |
12489,48 |
48966,55 |
|
L12,63 |
11,55 |
|
5,774 |
!2 |
6 |
2469,365 |
10706,89 |
12466,78 |
47714,66 |
|
а = 0, |
р = 0,1 |
м, р = 4500 кг/м3, Е = 1,16 |
1011 н/м2, где Ъ— длина |
хорды |
профиля |
лопатки, 60 — максимальная |
толщина сечения х — |
= а, 6* — максимальная толщина сечения х = |
Р, <р0 — угол, на кото |
||
рый сечение* = |
а повернуто относительно сечения х = (5, h0 — макси |
||
мальное отклонение средней линии профиля лопатки от его хорды.
Некоторые |
результаты решения таких задач при Ь= 0,05 м, б0 = |
= 7,2 мм, |
= 14,4 мм и различных значениях ф0 (в градусах) и/г0(я |
миллиметрах) приведены в табл. 23. В табл. 23—25 значения со? =
= (kfi)1/t даны в радианах в секунду. Все задачи решались при постоян ных шагах: h = рIN для одномерных задач, hk = рk/Nk$ k = 1,2, для двумерных. С использованием пластиночной модели решались зада чи для лопаток со следующими характеристиками:
в ( * ) = - ф |
- / i |
r |
( 1 - |
i r |
) [ ( |
6* |
- 6o )-g - + 6o ] , |
(V i.68) |
a t = a 2 = 0, pi = |
0,05 |
м, |
р2 = |
0,1 |
м, |
р = |
4500 кг/м3, Е = |
1,16 X |
X 1011 н/м2, v = 0,32. Здесь 60 и Ькимеют тот же смысл, что и в преды дущем примере. Некоторые результаты решения задачи об изгибных колебаниях пластинки приведены в табл. 24 (80 и Ькздесь и в табл. 25 даны в миллиметрах).
Оболочечная модель использовалась для лопатки со следующими
данными: б (х) задается в |
виде |
(VI.68), |
kn — const, k22 = kl2 = 0, |
|||
А1 = Л2 — 1,0^ = a 2 = |
0, |
P] = |
0,0625 м, p2 = |
0,16 м, p = |
4500 кг/м3, |
|
E = 1,16 1011 н/м2, v = |
0,32. |
В табл. |
25 |
приведены |
некоторые |
|
результаты решения этой задачи при различных значениях kn (м~‘)>
б0 и 8к. На рис. 37 и 38 приведены узловые линии для компоненты |
v}, |
||||||||||
некоторых приближенных вектор-функций (при |
Nx = 2, N2 = |
6) |
в |
||||||||
зависимости от kn, 60 |
и Ьк. |
|
|
соответствующие |
60 = |
||||||
На |
рис. |
37 |
представлены результаты, |
||||||||
= 5,774 |
мм, |
Ьк = |
11,55 м м :------------------ при |
kn = |
1,280 м-1 ; ------------- |
||||||
при |
ku = 3,835 |
м-1; |
— .— .-------- при |
ku = |
7,643 |
м-1 ; — |
-------- |
||||
при |
ku — 12,63 м- *; |
о?, = о?.з,/ = 2, |
3, 5, |
6, |
7. |
|
|
|
|||
На рис. |
38 |
узловые |
линии представлены |
для- |
значения kn = |
|
= 3,835 м-1 : ----------- при 80 = 5,77 мм, |
= 11,55 м м ;------------------при |
|||||
80 = 7,217 |
мм, |
бЛ= 10,10 |
м м ;------------------ при] |
60 = |
8* = 8,660 мм. |
|
Анализ полученных результатов показал, что с помощью рассмот ренных схем МКЭ с достаточной точностью могут быть вычислены 12— 15 минимальных собственных чисел, порядки сходимости для которых вполне удовлетворительно совпадают с теоретическими в оценках (VI.66) и (V I.67). Это устраивает практику, так как при ис пользовании стержневых моделей необходимо 3—4 минимальных соб ственных числа, а при использовании оболочечной и пластиночных моделей представляют интерес собственные числа, соответствующие частотам до 20 кГц.
Из анализа результатов решения ряда задач при различных мо делях лопатки и затраченного машинного времени, учитывая, что рас смотренные здесь схемы имеют четвертый порядок скорости сходимости для собственных чисел, можно сделать вывод о целесообразности применения стержневых моделей как более грубых для предваритель ных расчетов. Для более точного определения частот и форм собствен ных колебаний должны использоваться пластиночные (если кривизны Ап, А22, А12 малы) или оболочечная модели.
VI.3. Расчет упруго-пластического состояния элемента летательного аппарата [82]1
1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу расчета упруго-пластическо го состояния обшивки гиперзвукового самолета (рис. 39). Можно выде лить из конструкции повторяющийся элемент и все дальнейшие рас суждения проводить относительно этого элемента (рис. 40). Конструк ция подвержена силовому воздействию и находится в неравномерном температурном поле. Для построения математической модели исследу емых процессов фигуру рис. 40 мысленно развернем в плоскости хбу (рис. 41).
По границе ЕЕ' приложена равномерно распределенная нагрузка N2t по границе A'Ef — нагрузка Nx. Внутренняя граница СС' закреп-
Рис. 39.
лена от перемещений вдоль оси Оу, граница ABCDE от перемещений вдоль оси Ох. Граница АА' свободна от нагрузок и связей. Вследствие того что обшивка представляет собой длинную панель, а фигура на рис. 40 — лишь воображаемый вырез из этой непрерывной конструк ции, появляются дополнительные граничные условия: на границе ЕЕ' все перемещения вдоль оси Оу должны быть одинаковые, а на гра нице А'Е' — одинаковые перемещения вдоль оси Ох. (Заметим, что толщина составляющих фигуру (рис. 41) элементов I—IV различна и элементы нагреты по-разному.)
Для математической постановки задачи нужно выписать функцио
нал полной энергии системы |
|
|
Э = J UdV + |
J fdS, |
(VI.69) |
v |
s |
|
где V — область, в которой решается задача, S — граница области V,
П— потенциал деформации, f — внешние нагрузки. Потенциал деформации выражается формулой
|
|
|
г |
|
|
|
П = £/ + |
| £(Г)Гс(Г + - ^ |
. |
(VI.70) |
|
|
|
|
о |
|
|
Здесь U — упругая энергия объемного сжатия, в случае |
пластично- |
||||
ти U = 0, |
Г — интенсивность деформаций, |
g (Г) — функция связи |
|||
интенсивности деформаций |
и |
интенсивности |
касательных напряже |
||
ний Gi на линейном участке: |
|
с‘ |
в1 |
||
g (Г) = |
-jr- , или о( = |
Гg (Г). |
|
|
|
(VI.71)
Функция (VI.71) в классической тео рии упруго-пластичности обычно пред ставлена в виде семейства кривых, на пример таких, как на рис. 42. Данные зависимости получаются при экспе риментальном одноосном растяжении цилиндрических образцов различных
несжимаемых материалов в процессе простого нагружения. В этих предположениях считается, что закон одноосного растяжения верен для соотношения интенсивности касательных напряжений аг и интен сивности деформаций Г
Для математического описания исследуемой задачи требуется ана литический вид закона (VI .71). Получить его можно путем некоторой
аппроксимации нелинейного участка семейства кривых |
(см. рис. 42). |
Пусть этот закон задан в форме |
|
т + 1 |
|
Г£(Г) = 3“ 2 |
(VI.72) |
где Е — модуль упругости материала, с,т — константы, определяемые экспериментально.
Тогда интеграл полной энергии (V I.69) с учетом (V I.70) и (VI.72) будет иметь вид
pm-j-1
m-H
3 2 ст(m + 1)
Дальнейшие рассуждения по описанию задачи проводятся относи тельно срединной плоскости (хОу) фигуры, представленной на рис. 4L
У
Г
Рис. 42.