книги / Основы метода конечных элементов

Г л а в а V

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

В данной главе рассматривается использование МКЭ при решении не­ линейных краевых задач для эллиптических уравнений второго поряд­ ка и некоторых нелинейных вариационных задач (без перехода к диф­ ференциальным уравнениям). Термин «нелинейные вариационные задачи» означает, что дифференциальное уравнение Эйлера, соответству­ ющее функционалу данной задачи, будет нелинейным; иными слова­ ми, рассматриваются вариационные задачи с функциональными, отлич­ ными от квадратичных. Как и в предыдущих главах, здесь

в основном изложение будет касаться функций одной переменной и (х),

х£ [а, Ь]. Однако представленные результаты аналогичны и для слу­ чая функций многих переменных.

У.1. Нелинейные краевые задачи

Будем рассматривать решение краевых задач для уравнений вида

v (/) — положительная невозрастающая непрерывная функция, оп­ ределенная при t О, р (t) — положительная неубывающая непре­ рывная функция, определенная при t ^ 0.

Ограничимся задачей Дирихле, т. е. решением уравнения (V.1) при краевых условиях

1.Обобщенное решение задачи. Определим понятие искомого ре-

о.

шения задачи (V.1), (V.2). Функцию и (х) £ (/) называют обобщен­ ным решением задачи (V.1), (V.2), если она удовлетворяет интеграль­ ному тождеству

(V.l), (V.2). Сделано это с использованием теории монотонных опера­ торов и метода Бубнова — Галеркина. Схема этого метода в данном случае следующая.

Приближением по методу Бубнова — Галеркина обобщенного ре­

На основании определения подпространства PN <= W2(/) можно по­ казать, что из системы (V.7) следует справедливость тождества

Выражение В (uN, т]) является ограниченным линейным функциона­

лом в PN над т] при любом фиксированном элементе uN£ PN, так как для него из предположений 1), 2) следует оценка

Л)К*Н||2.1.

где k — константа, зависящая от uN.

Согласно теореме Рисса об общем виде ограниченного линейного

или операторному уравнению AuN= 0 в гильбертовом пространстве

PN € W\ (/).

Предположения 3), 4), обеспечивающие ограниченность всех воз­ можных обобщенных решений (и их приближений) и строгую монотон­ ность оператора Л, позволяют доказать, что система (V.7), определя­

Замечание. Как уже упоминалось, подробное исследование разре­ шимости п-мерных краевых задач в различных функциональных

виям 1), 3), 4) (с соответствующей поправкой: функции и (х), v (х) при-

где (и) — непрерывные функции и, то утверждения об однозначной

о

разрешимости задачи Дирихле (V.l), (V.2) в Wr (0 и однозначной раз­ решимости систем для соответствующих галеркинских приближений

остаются в силе. (Доказательство основано на использовании свойств монотонных операторов в рефлексивных банаховых пространствах.)

2.Оценка погрешности метода Бубнова — Галеркина. Для оценки

близости приближенного по методу Бубнова — Галеркина решения

творяет условию Липшица при ограниченныхаргументах, то справед­ ливо неравенство

Отметим, что в данной теореме условие (V. 13), гарантирующее сильную монотонность оператору Л, обеспечивает тем самым выпол­

нение условий 3), 4).

0.

Замечание. В случае обобщенного решения и (х) £ Wr (/) аналогич­ ный результат вытекает из следующей теоремы [16].

Теорема V.2. Пусть оператор А, действующий из рефлексивного банахова пространства 33 в сопряженное пространство S3*, сильно монотонен и удовлетворяет условию Липшица, т. е.

Неравенства (V.14), (V.15) позволяют оценить для некоторых не­ линейных краевых задач погрешность приближенного решения, по­ лученного методом конечных элементов (вариант метода Галеркина). В этом случае в качестве пространства PN выбираются описанные ранее конечномерные пространства Р* метода конечных элементов,

следовательно, оператор А удовлетворяет условию Липшица для ог­ раниченных аргументов. А это гарантирует сходимость приближенно­ го МКЭ решения к искомому обобщенному решению со скоростью, оп­ ределенной теоремой V.3.

Для дискретизации исследуемой задачи и вычисления ее прибли­ женного решения разобьем отрезок [0, 1] на N отрезков [х,_ 1, xt], дли­ на которых ht — Х[ — Xi-1, i = 1,2, N, х0 — 0, XN = 1. Посколь­ ку искомое приближенное решение uN(х) должно принадлежать

пространству W\ (/), достаточно предположить, что uN {х) является непрерывной кусочно-линейной функцией, однозначно определяемой на каждом отрезке \xi-i, х(] своими значениями в двух узловых точ­ ках: Х{ - 1 и х(. Согласно теореме V.3 в этом случае гарантируется схо­

содержащего все непрерывные кусочно-линейные полиномы, обраща­

Для рассматриваемой задачи (V.16), (V.17) в случае равномерной сет­ ки hi = h, i = 1, 2, ..., N — 1, система (V.24) имеет вид (интегралы вычислялись точно)

- j- (ы,_ 1 — 2и( + Щ+1) — 1,5 (ы*+1 — «,_ ]) — 0,2hut —