книги / Теплофизика в металлургии
..pdfQ = I 2R = 252 -3,5 = 2185 Вт. Тепловой поток на 1 м проволоки
q, = 0 / / = 2 1 8 5 / 1 0 = 218,5 Вт/м.
Температура поверхности проволоки определяется по формуле (5.58)
/„ = / с + - ^ — = 20 + -------- — -------- = 769 °С 2лаг0 2-3,14-46,5-0,001
Вопросы для самоконтроля
1.Вывести решение стационарного уравнения теплопроводности для плоской стенки.
2.Как определить расход тепла через однослойную плоскую
стенку?
3.Теплопроводность многослойной плоской стенки. Эквивалент ный коэффициент теплопроводности.
4.Теплопередача через плоскую стенку. Коэффициент теплопере дачи, его размерность и физический смысл.
5.Особенности расчета теплопередачи через ребристую стенку.
6.Стационарная теплопроводность цилиндрического слоя. Удель ный тепловой поток.
7.Теплопередача через цилиндрическую стенку. Линейный коэф фициент теплопередачи, его размерность и физический смысл.
8.Расчет тепловой изоляции. Критический диаметр слоя изоляции.
9.Получите решения задач теплопроводности плоского слоя с внут ренним источником тепла.
10.Получите решения задач теплопроводности цилиндрическог
стержня с внутренним источником тепла.
Математическая формулировка краевой задачи теплопроводности включает дифференциальное уравнение теплопроводности
начальное краевое условие
н II |
II |
о |
играничное краевое условие
-* - £ ; U o = a ( ' n - О -
6.2. Теплопроводность плоской стенки. Аналитическое решение
(6.1)
(6.2)
(6.3)
Рассмотрим задачу охлаждения плоской стенки толщиной 21при по стоянном коэффициенте теплоотдачи на ее поверхностях (рис. 6.2). Тем пературное поле одномерно, изменяется только в направлении одной ко ординаты х . Охлаждение нагретой до температуры t0стенки происходит в среде с постоянной температурой tc.
Математическая формулировка краевой задачи в этом случае имеет вид
dt |
|
|
d 2t |
|
|
— = a |
— |
- |
|
||
дх |
|
|
дх2 |
|
|
t ( t = 0 ) = |
fо |
, |
|||
£ № |
и |
|
/—s а |
1 |
о |
|
|
s |
|
|
|
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Знак (+) в граничном условии (6.6) относится к левой поверхности стенки (х= -/), знак (-) - к правой поверхности (*=/)• Учитывая симмет рию температурного поля относительно оси х=0, будем искать решение для половины расчетной области в пределах 0<х</. Кроме этого, введем избыточную температуру 0 = t — tc. Тогда математическая формулиров ка краевой задачи принимает вид
пз
Рис. 6.2. Температурное поле при остывании плоской стенки
Х (х)
дв |
= а |
д 2в |
|
(6.7) |
|
— |
— |
- |
|||
дх |
|
д х 2 |
|
||
6 (t = 0) = /0 - t c = 0 О, |
(6.8) |
||||
дв |
|
|
— а 0 |
(6.9) |
|
дх х=0 - |
• |
- I |
|||
*=/ |
|
||||
Общее решение дифференциаль ного уравнения (6.7) в соответствии с методом разделения переменных
представим в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от времени, другая - только от координаты,
0 (*, т) = Г(т) •* (* ). |
(6.10) |
Подставим функцию (6.10) в урав нение (6.7),
d 2X {x)
dx2
или с учетом разделения переменных
1 I d Т _ |
1 |
d 2X (x ) |
a Т(х) dx ~ |
Х (х ) |
dx2 |
где р2 - неизвестная постоянная разделения переменных. В результате получаем систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений
^ Й + а р 2Г ( т ) = 0,
dx |
|
(6.11) |
|
d 2X |
(x ) |
||
n2 . . |
|||
------- — |
+ P z A r(x ) = 0, |
||
dx2
которые имеют следующие частные решения:
T = Cle~^1) |
X — C2 cos Рх + С3 sin рх, |
где Ci, Сг, C3 —неизвестные постоянные интегрирования уравнений (6.11). Тогда частное решение для избыточной температуры принимает вид
е = Т Х = (С2 cos рх + С3 sin рх) е"орт |
(6.12) |
Из-за симметрии температурного поля 0(х) = 0(—х) частное решение выполняется при С3=0, поэтому
0 = C e ' “pl' cos рх. |
(6.13) |
Значение постоянной Р найдем из граничного условия при х=/. Для этого запишем значение функции (6.13) и ее производной на поверхно сти стенкиЛ
0(х = /) = С e~a^ c o s р/ |
f ( x = /) = - С Р e '^ s i n р/ |
|
и подставим в граничное условие (6.9) |
|
|
—Х — = а 0 => Р - sin |
р / = — cos |
р/ => ctg р/ = — . |
дх |
Х |
а |
Преобразуем правую часть последнего уравнения, умножив и поде лив ее на / и выделив число Био Bi = a -1/Х, в результате получим ctg р/ = p//Bi или с учетом обозначения (I = р/
ctg Ц= — . |
(6.14) |
Bi |
|
Трансцендентное уравнение (6.14) решают относительно корней ц(, Й2. |Х3>• • • графическим путем. Из рис. 6.3 видно, что имеется бесконечное множество корней |ХЛ, причем ц (< |х2< Ц3<... В частном решении (6.13) проведем замены
а Р2т = a l ^ - x = | x 2 ^ = |х2 -Fo, |
11 |
Р * = — X. |
|
|
I |
УI=ctg р.
Рис. 6.3. К решению уравнения (6.14)
В результате эти частные решения принимают вид
0С„ e“^"Focos У у , п = 1,2,3,....
Общее решение равно сумме частных решений
0 = " g |
C „ e ^ ”Foc o s b f . |
(6.15) |
п=1 |
I |
|
Постоянные Сп находим из начального условия. Подчинив уравнение (6.15) начальному условию (6.8), получим
e 0 = £ |
c , e- ^ ^ " |
g c , c o |
s ! i f |
(6.16) |
11= |
‘ |
и=1 |
I |
|
Уравнение (6.16) есть разложение четной функции в ряд Фурье с задан ными параметрами \1П9определяемыми характеристическим уравнением (6.14). Для этой последовательности чисел |х„ справедлива формула
|
\1пХ |
\1тХ , |
= 0 при п ^ т , |
|
cos |
cos ^ - d x |
= |
/ |
/ |
/ |
^Опри п = щ |
|
|
|
с помощью которой можно определить все значения коэффициентов С„ в уравнении (6.16). Для этого умножим обе части уравнения (6.16) на cos(|i„x//) dx и проинтегрируем по толщине стенки, тогда
|
|
+/ |
|
|
|
+/ |
|
|
|
|
|
9 0 J |
c o s ^ d x = C„ J c o s 2^ d x . |
(6.17) |
|||||
|
|
-i |
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл в правой части уравнения (6.17) равен |
|
|
|||||||
|
|
+/Гcos2 |
1 |
= / |
1Ч— ^—sin2|x_ L |
|
|||
|
|
i |
|
|
|
2ци |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с . - т |
- г ^ |
----------^ |
J_t |
. (6.18) |
|i„ +smp.„cos)X„ |
|
|||
/((Х„ +sm|i.ncos|i„) |
|
I |
|
|
|||||
|
|
+ / |
\i„X. |
21 |
. |
_ |
|
|
|
так как интеграл |
Г |
|
|
||||||
I cos-—JL-cLx: = — sin|i |
.Подставив полученное выра- |
||||||||
|
|
J |
I |
|
ц |
|
|
|
|
жение для |
постоянной С„ в уравнение (6.15), получим окончательное |
||||||||
выражение для температурного поля при охлаждении плоской стенки
е = " s r - |
в °ш |
^ |
cos^-^-e- ^ FO |
(6.19) |
ТЗ'И, +sin |
11„C0S |
l |
|
|
С введением безразмерной температуры 0 = 0/0 0 и координаты А" — х/1 решение (6.19) принимает вид
0 = " g |
2 sin |X„ |
(6.20) |
|
cos(|X„Ar) exp(-p2Fo). |
+ sin p„cos
Для практических расчетов решение (6.20) сведено в график зависи мости безразмерной температуры от чисел Био и Фурье (рис. 6.4, 6.5).
Пример 1. Резиновая пластина толщиной 25=20 мм, нагретая до температуры ^ Н О °С, помещена в воздушную среду с температурой Гс=15°С. Определить температуру в середине и на поверхности пласти ны через х=20 мин после начала охлаждения. Коэффициент теплопро-
водности резины Х,=0,175 Вт/(м-К). Коэффициент температуропровод ности резины а=0,833-10‘7 м2/с. Коэффициент теплоотдачи от поверх ности пластины к окружающему воздуху а=65 Вт/(м2 К).
Решение. Температуру в центре безграничной пластины при охлаж дении (нагревании) в среде с постоянной температурой можно опреде лить с помощью графика (рис. 6.4).
По условиям задачи
а / |
65-0,01 = 3,73; |
а т _ 0,833 |
10~7 |
1200 |
Bi |
||||
"аГ |
0,175 |
5 2 |
0,012 |
|
При этих значениях критериев Био и Фурье по графику на рис. 6.4 находим в х=0 = 0,26 и по графику на рис. 6.5 Эх=6 = 0,083. Безразмерная температура
t ~ t c |
' |
|
Ох = 0 |
|
|
^0 * с |
|
|
следовательно, |
|
|
',= 0 = + Э,=о('о - О= 15 + °*6 |
(140 |
-15) = 47,5“С, |
= *с + » 1=8('о " 0 = 15 + 0,083 -(140 |
-1 5 ) =25,4°С |
|
6.3.Метод регулярного теплового режима
Этот инженерный метод расчета нагрева охлаждения тел применяет ся тогда, когда можно пренебречь внутренним тепловым сопротивлени ем тела по сравнению с внешним.
Ранее были получены формулы теплового сопротивления плоской
и цилиндрической стенок: |
|
|
R |
1 |
, d2 |
= — |
In — , |
|
|
2X |
d, |
из которых видно, что эти сопротивления стремятся к нулю в двух случаях:
1)/ —^ 0; d2 ~^d{ -тела имеют малый размер по одной из координат;
2)X —>оо —тела являются хорошими проводниками тепла.
Таким образом, метод эффективен при расчетах нагрева охлаждения металлических листовых материалов. На практике метод используется уже при Bi<0,l.
В математической формулировке краевой задачи для плоской стен
ки (6.7-6.9) |
|
|
|
|
|
дв у |
d 2Q _ / -ч _ |
дв |
=о. |
- x f> |
= а в |
рс — = X |
д х2 ■е (,= 0 >=в°' |
ш*=0 |
|||
К дх |
|
ох Х = 1 |
|
градиенты температуры отсутствуют, и для стенки объемом V с поверх ностью S уменьшение внутренней энергии происходит за счет рассеяния тепла через ее поверхность,
—Урс — = а 0 S. |
(6.21) |
dx |
|
Полученное обыкновенное дифференциальное уравнение решается ме тодом разделения переменных
|
<ю = —т J*dx => 1пв = —т х + С , |
(6.22) |
|
/ в |
|
a |
S |
|
где т = ---------- |
темп охлаждения (нагревания) тела. Для нахождения |
|
V р с |
|
|
постоянной интегрирования воспользуемся начальным краевым услови ем 0 (х = О) = 0 о
1п0о = —т - 0 + С=Ф-С — 1п0о=>0 = 6 0е~"п=>/д = 0/00 = е~тх, (6.23)
т.е. в соответствии с методом регулярного теплового режима температу ра убывает по экспоненциальному закону.
Преобразуем выражение для тх через числа Био Bi — а//Х и Фурье
Fo = ах/12 |
|
|
|
|
a S x |
а х |
X |
а I ах |
_. _ |
тх- |
|
•—= — = — = Bi • Fo, |
||
р с |
У_р с |
X |
X / 2 |
|
в итоге уравнение метода регулярного теплового режима принимает вид
d = e"BiFo |
(6.24) |